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文档简介
浙江省诸暨市诸暨中学2024届高一上数学期末质量跟踪监视试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.若直线与曲线有两个不同的交点,则实数的取值范围为A. B.C. D.2.一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字,已知其表面展开图如图所示,则在原正方体中,互为对面的是()A.西与楼,梦与游,红与记B.西与红,楼与游,梦与记C.西与楼,梦与记,红与游D.西与红,楼与记,梦与游3.已知函数的值域为,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.4.命题“”的否定为()A. B.C. D.5.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:)与时间t(单位:h)间的关系为,其中,k是常数.已知当时,污染物含量降为过滤前的,那么()A. B.C. D.6.下列函数满足在定义域上为减函数且为奇函数的是()A. B.C. D.7.1弧度的圆心角所对的弧长为6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是()A.3 B.6C.18 D.368.在平面直角坐标系中,动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动,每分钟转动一周.若的初始位置坐标为,则运动到分钟时,的位置坐标是()A B.C. D.9.定义在上的函数满足,且当时,.若关于的方程在上至少有两个实数解,则实数的取值范围为A. B.C. D.10.某工厂设计了一款纯净水提炼装置,该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水,假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质,要使水中的杂质不超过原来的4%,则至少需要提炼的次数为()(参考数据:取)A.5 B.6C.7 D.8二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知正实数,,且,若,则的值域为__________12.的值等于____________13.如图是某个铁质几何体的三视图,其中每个小正方形格子的边长均为个长度单位,将该铁质几何体熔化,制成一个大铁球,如果在熔制过程中材料没有损耗,则大铁球的表面积为_______________________.14.若函数(,且),在上的最大值比最小值大,则______________.15.在平面直角坐标系xOy中,已知圆有且仅有三个点到直线l:的距离为1,则实数c的取值集合是______16.已知向量不共线,,若,则___三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.函数的定义域.18.已知二次函数.(1)若在的最大值为5,求的值;(2)当时,若对任意实数,总存在,使得.求的取值范围.19.已知函数(1)若,求实数a值;(2)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围20.如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.21.已知函数,函数的最小正周期为.(1)求函数的解析式,及当时,的值域;(2)当时,总有,使得,求实数m的取值范围.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】表示的曲线为圆心在原点,半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分作出曲线的图象,在同一坐标系中,再作出斜率是1的直线,由左向右移动,可发现,直线先与圆相切,再与圆有两个交点,直线与曲线相切时m值为,直线与曲线有两个交点时的m值为1,则故选D2、B【解题分析】将该正方体折叠,即可判断对立面的字.【题目详解】以红为底,折叠正方体后,即可判断出:西与红,楼与游,梦与记互为对面.故选:B【题目点拨】本题考查了空间正方体的结构特征,展开图与正方体关系,属于基础题.3、B【解题分析】令,要使已知函数的值域为,需值域包含,对系数分类讨论,结合二次函数图像,即可求解.【题目详解】解:∵函数的值域为,令,当时,,不合题意;当时,,此时,满足题意;当时,要使函数的值域为,则函数的值域包含,,解得,综上,实数的取值范围是.故选:B【题目点拨】关键点点睛:要使函数的值域为,需要作为真数的函数值域必须包含,对系数分类讨论,结合二次函数图像,即可求解.4、C【解题分析】“若,则”的否定为“且”【题目详解】根据命题的否定形式可得:原命题的否定为“”故选:C5、C【解题分析】根据题意列出指数式方程,利用指数与对数运算公式求出的值.【题目详解】由题意得:,即,两边取对数,,解得:.故选:C6、C【解题分析】根据各个基本初等函数的性质,结合函数变换的性质判断即可【题目详解】对A,为偶函数,故A错误;对B,为偶函数,故B错误;对C,在定义域上为减函数且为奇函数,故C正确;对D,在和上分别单调递减,故D错误;故选:C【题目点拨】本题主要考查了常见基本初等函数的性质,属于基础题7、C【解题分析】由弧长的定义,可求得扇形的半径,再由扇形的面积公式,即可求解.【题目详解】由1弧度的圆心角所对的弧长为6,利用弧长公式,可得,即,所以扇形的面积为.故选C.【题目点拨】本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式的应用,着重考查了计算能力,属于基础题.8、A【解题分析】根据题意作出图形,结合图形求出3分钟转过角度,由此计算点的坐标.【题目详解】每分钟转动一周,则运动到分钟时,其转过的角为,如图,设与x轴正方向所成的角为,则与x轴正方向所成的角为,的初始位置坐标为,即,所以,即.故选:A9、C【解题分析】原问题等价于函数与的图象至少有两个交点【题目详解】解:关于的方程在上至少有两个实数解,等价于函数与的图象至少有两个交点,因为函数满足,且当时,,所以当时,,时,,时,,所以的大致图象如图所示:因为表示恒过定点,斜率为的直线,所以要使两个函数图象至少有两个交点,由图可知只需,即,故选:C10、A【解题分析】根据题意列出相应的不等式,利用对数值计算可得答案.【题目详解】设经过次提炼后,水中的杂质不超过原来的4%,由题意得,得,所以至少需要5次提炼,故选:A.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解题分析】因为,所以.因为且,.所以,所以,所以,.则的值域为.故答案为.12、2【解题分析】利用诱导公式、降次公式进行化简求值.【题目详解】.故答案为:13、【解题分析】由已知得该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成,根据圆锥和球体的体积公式可得答案.【题目详解】该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成,体积之和为,设制成的大铁球半径为,则,得,故大铁球的表面积为.故答案为:.14、或.【解题分析】分和两种情况,根据指数函数的单调性确定最大值和最小值,根据已知得到关于实数的方程求解即得.【题目详解】若,则函数在区间上单调递减,所以,,由题意得,又,故;若,则函数在区间上单调递增,所以,,由题意得,又,故.所以的值为或.【题目点拨】本题考查函数的最值问题,涉及指数函数的性质,和分类讨论思想,属基础题,关键在于根据指数函数的底数的不同情况确定函数的单调性.15、【解题分析】因为圆心到直线的距离为,所以由题意得考点:点到直线距离16、【解题分析】由,将表示为的数乘,求出参数【题目详解】因为向量不共线,,且,所以,即,解得【题目点拨】向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使得三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】函数的定义域是,由对数函数的性质能够求出结果【题目详解】整理得解得函数的定义域为【题目点拨】本题考查对数函数的定义域,是基础题.解题时要认真审题,注意对数性质的合理运用18、(1)2;(2).【解题分析】(1)时,;当时,根据单调性可得答案;(2)依题意得,当、时,利用的单调性可得答案;当和时,结合图象和单调性可得答案.【题目详解】(1)当时,,因为,故,;当时,对称轴,在上单调递减,所以,不合题意,舍去,综上可得:.(2)依题意得:,即,.①当时,对恒成立,所以,即;②当时,对恒成立,所以,即;③当时,对恒成立,所以,即;④当时,对恒成立,所以,即;综上所述,的取值范围为.【题目点拨】本题考查了二次函数恒成立的问题,所谓“动轴定区间法”,轴动区间定:比较对称轴与区间端点的位置关系,根据函数的单调性数形结合判断取得最值的点,需要分类讨论.19、(1)(2)【解题分析】(1)根据即可求出实数a的值;(2)令,根据由求得的值,再根据正弦函数的性质分析的取值情况,结合题意即可得出答案.【小问1详解】解:,∴,∴;【小问2详解】解:令,则,由得,∵在[-,]上是增函数,在[,]上是减函数,且,∴时,x有两个值;或时,x有一个值,其它情况,x值不存在,∴时函数f(x)只有1个零点,时,,要f(x)有2个零点,有,∴时,,要f(x)有2个零点,有,综上,f(x)有两个零点时,a的取值范围是.20、(1)同解析(2)异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.(3)点A到平面PCD的距离d=【解题分析】解法一:(Ⅰ)证明:在△PAD卡中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.(Ⅱ)连结BO,在直角梯形ABCD中,BC∥AD,AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形,所以OB∥DC.由(Ⅰ)知PO⊥OB,∠PBO为锐角,所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,所以OB=,在Rt△POA中,因为AP=,AO=1,所以OP=1,在Rt△PBO中,PB=,cos∠PBO=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.(Ⅲ)由(Ⅱ)得CD=OB=,在Rt△POC中,PC=,所以PC=CD=DP,S△PCD=·2=.又S△=设点A到平面PCD的距离h,由VP-ACD=VA-PCD,得S△ACD·OP=S△PCD·h,即×1×1=××h,解得h=.解法二:(Ⅰ)同解法一,(Ⅱ)以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).所以=(-1,1,0),=(t,-1,-1),∞〈、〉=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为,(Ⅲ)设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,x0),由(Ⅱ)知=(-1,0,1),=(-1,1,0),则n·=0,所以-x0+x0=0,n·=0,-x0+y0=0,即x0=y0=x0,取x0=1,得平面的一个法向量为n=(1,1,1).又=(1,1,0).从而点A到平面PC
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