上海高中2024届数学高一上期末联考试题含解析

上海高中2024届数学高一上期末联考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知集合，，若，则a的取值范围是A B.C. D.2．已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（）A. B.C. D.3．给定已知函数.若动直线y=m与函数的图象有3个交点，则实数m的取值范围为A. B.C. D.4．若不等式对一切恒成立，那么实数的取值范围是A. B.C. D.5．已知角终边经过点，且，则的值是（）A. B.C. D.6．已知集合，，，则A. B.C. D.7．若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（）A. B.C. D.8．已知是第三象限角，，则A. B.C. D.9．直线L将圆平分，且与直线平行，则直线L的方程是A.BC.D.10．已知,，则的值约为（精确到）（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧AB的长为m，那么圆心角_________．（用弧度表示）12．已知，则的最小值为_______________.13．函数的反函数是___________.14．已知向量，若，则实数的值为______15．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，___________.16．如图，扇形的周长是6，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求当时，的解析式；（2）请问是否存在这样的正数，，当时，，且的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.18．武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时（1）求小夏与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；（2）在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少分钟，求t的最小值19．已知函数.（1）若，求的最大值;（2）若，求关于不等式的解集.20．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为.（1）求的值；（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻(单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？21．已知函数（Ⅰ）求在区间上的单调递增区间；（Ⅱ）若，，求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】化简集合A，根据，得出且，从而求a的取值范围，得到答案详解】由题意，集合或，；若，则且，解得，所以实数的取值范围为故选D【题目点拨】本题主要考查了对数函数的运算性质，以及集合的运算问题，其中解答中正确求解集合A，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、D【解题分析】作出函数的图象，结合图象即可求出的取值范围.【题目详解】作函数和的图象，如图所示，可知的取值范围是，故选D．3、B【解题分析】画出函数的图像以及直线y=k的图像，根据条件和图像求得k的范围。【题目详解】设，由题可知，当，即或时，；当，即时，，因为，故当时，，当时，，做出函数的图像如图所示，直线y=m与函数有3个交点，可得k的范围为（4,5）.故选：B【题目点拨】本题考查函数图像与直线有交点问题，先分别求出各段函数的解析式，再利用数形结合的方法得到参数的取值范围。4、D【解题分析】由绝对值不等式解法，分类讨论去绝对值，再根据恒成立问题的解法即可求得a的取值范围【题目详解】根据绝对不等式，分类讨论去绝对值，得所以所以所以选D【题目点拨】本题考查了绝对值不等式化简方法，恒成立问题的基本应用，属于基础题5、A【解题分析】由终边上的点及正切值求参数m，再根据正弦函数的定义求.【题目详解】由题设，，可得，所以.故选：A6、D【解题分析】本题选择D选项.7、D【解题分析】设，由奇函数的定义可得出，即可得解.【题目详解】当时，，由奇函数的定义可得.故选：D.8、D【解题分析】利用条件以及同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值【题目详解】∵α是第三象限角，tanα，sin2α+cos2α＝1，得sinα，故选D【题目点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题9、C【解题分析】圆的圆心坐标，直线L将圆平分，所以直线L过圆的圆心，又因为与直线平行，所以可设直线L的方程为，将代入可得所以直线L的方程为即，所以选C考点：求直线方程10、B【解题分析】利用对数的运算性质将化为和的形式，代入和的值即可得解.【题目详解】.故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由弧长公式变形可得：，代入计算即可.【题目详解】解：由题意可知：（弧度）.故答案为：.12、##225【解题分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【题目详解】解：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.13、；【解题分析】根据指数函数与对数函数互为反函数直接求解.【题目详解】因为，所以，即的反函数为，故答案为：14、；【解题分析】由题意得15、【解题分析】设，则，求出的表达式，再由即可求解.【题目详解】设，则，所以，因为是定义在上的偶函数，所以，所以当时，故答案为：.16、2【解题分析】由扇形周长求得半径同，弧长，再由面积公式得结论【题目详解】设半径为，则，，所以弧长为，面积为故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，（2），【解题分析】（1）根据函数的奇偶性，求解解析式即可；（2）根据题意，结合函数单调性，将问题转化为是方程的两个根的问题，进而解方程即可得答案.【题目详解】（1）当时，，于是.因为是定义在上的奇函数，所以，即.（2）假设存在正实数，当时，且的值域为，根据题意，，因为，则，得.又函数在上是减函数，所以，由此得到：是方程的两个根，解方程求得所以，存在正实数，当时，且的值域为18、（1）（2）25【解题分析】（1）建立坐标系，由得出所求函数关系式；（2）由得出，由余弦函数的性质得出第一圈满足持续的时间，再解不等式得出t的最小值【小问1详解】如图，以摩天轮最低点的正下方的地面处为原点，以地平面所在直线为x轴建立平面直角坐标系，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮的半径为60米，摩天轮的圆心O到地面的距离为68米因为每转动一圈需要t分钟，所以【小问2详解】依题意，可知，即，不妨取第一圈，可得，，持续时间为，即，故t的最小值为2519、（1）（2）答案见解析【解题分析】（1）由题得，利用基本不等式可求；（2）不等式即，讨论的大小可求解.【小问1详解】由，得.，，即(当且仅当时“”成立.).故的最大值为；【小问2详解】，即.当时，即时，不等式的解集为当时，即时，不等式的解集为;当时，即时，不等式的解集为.综上，当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为.20、（1）；（2）分钟；（3）再经过分钟后盛水筒不在水中.【解题分析】（1）先结合题设条件得到，，求得，再利用初始值计算初相即可；（2）根据盛水筒达到最高点时，代入计算t值，再根据，得到最少时间即可；（3）先计算时，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求，再由分钟后，进而计算d值并判断正负，即得结果.【题目详解】解：（1）由题意知，，即，所以，由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得：，当时，，代入得，，因为，所以；（2）由（1）知：，盛水筒达到最高点时，，当时，，所以，所以，解得，因为，所以，当时，，所以盛水筒出水后至少经过分钟就可达到最高点；（3）由题知：，即，由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知，所以，所以，所以，再经过分钟后，所以再经过分钟后盛水筒不在水中.【题目点拨】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.21、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解题分析】