2022年安徽省合肥市复兴中学高三数学文月考试卷含解析

2022年安徽省合肥市复兴中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y＝ax在区间[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝3ax－1在区间[0,1]上的最大值是A．6

B．1

C．5 D.参考答案：C略2.若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A略3.甲、乙两个射手的奥运预选赛的6次射击的成绩统计如下图的茎叶图，设甲、乙两组数据的平均数分别为，，标准差分别为，，则（

）A．，

B．，

C.，

D．，参考答案：A因为，，所以，因为，所以，故选A.

4.已知向量的夹角为，且，，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略5.设，，，则A．

B．

C．

D．参考答案：B6.设函数

若则实数的取值范围（

）A．

B.C．

C.参考答案：C略7.若，，，如果有，，则值为（

）．

0

1

参考答案：D

略8.下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．【解答】解：当x＞0时，y＞0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D项．故选：C．9.如图所示的程序框图，若输入则输出的值为（）A．56

B．336

C.360

D．1440参考答案：B10.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()．A．13

B．35

C．49

D．63参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的零点个数为（

）A.3

B.2

C.1

D.0参考答案：B12.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；

②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；

④M={（x，y）|y=ex﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是．参考答案：②④考点： 函数的图象．

专题： 新定义；数形结合；函数的性质及应用．分析： 利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．解答： 解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足，对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．对于①M={（x，y）|y=}，其图象是过一、三象限的双曲线，做第一象限的角平分线与双曲线交于点A，与OA垂直的直线是二、四象限的角平分线，显然与双曲线没有公共点．所以对于点A，在图象上不存在点B，使得OB⊥OA，所以①不符合题意；对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合；对于③M={（x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故③不符合题意；对于④M={（x，y）|y=ex﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=ex﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=ex﹣2}是“垂直对点集”．故答案为：②④点评： 这种类型的题目应先弄清所给信息要表达的几何意义，将其转化为一个几何问题，然后借助于函数的图象解决．13.已函数，则f(x)在点处的切线方程为______.参考答案：【分析】先求得切点坐标，然后求得函数导数，由此求得切线的斜率，根据点斜式求得切线方程.【详解】依题意，故切点为，，所以.由点斜式得.【点睛】本小题主要考查在某点处切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线点斜式方程，属于基础题.14.已知向量与的夹角为60°，，，则

.参考答案：6与的夹角为，，又，，故答案为.

15.在中，，，是的外心，若，则 .参考答案：16.直线与曲线相切于点，则__________．参考答案：－5【分析】计算，求导得到，根据，，计算得到答案.【详解】过点，故.，则，，.，故，.故答案为：.【点睛】本题考查了切线问题，意在考查学生的计算能力.17.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是：．参考答案：59，26．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．【分析】第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺；第三天设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺，则X÷4=（0.5﹣x）÷，由此能求出大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比．【解答】解：第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺．第三天按道理来说大鼠打4尺，小鼠尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通．我们现在设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺则打洞时间相等：X÷4=（0.5﹣x）÷解方程得X=，所以大鼠在第三天打了8/17尺，小鼠打了0.5﹣=尺所以三天总的来说：大鼠打了3+=尺，小鼠打了5﹣尺，∴大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是59：26．故答案为：59，26．【点评】本题考查等差数列与等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）记函数的极值点为，若，且，求证：参考答案：(1)，令，则，当时，，当时，，则函数的增区间为，减区间为.（2）由可得，所以的极值点为.于是，等价于,由得且.由整理得，，即.等价于，①令，则.式①整理得，其中.设,.只需证明当时，.又，设，则当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以,；注意到，，，所以，存在，使得g′(t1)=g′(t2)=0，注意到，，而，所以.于是，由可得或；由可得.在上单调递增，在上单调递减.于是，，注意到，，，所以，，也即，其中.于是，.19.已知二次函数为偶函数，集合A=为单元素集合（I）求的解析式（II）设函数，若函数在上单调，求实数的取值范围．参考答案：（I）（II）若在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，即若在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，即20.已知过点P（，0）的直线l与抛物线x2=y交于不同的两点A，B，点Q（0，﹣1），连接AQ、BQ的直线与抛物线的另一交点分别为N，M，如图所示．（1）若=2，求直线l的斜率．（2）试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是请求出此定值，如果不是说明理由．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设直线l的方程为：x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得，，…①，由=2，得y2=2y1…②由①②得m即可．（2）设PQ：y+1=由得，?同理x；直线MN的斜率kMN=…③把①代入③得kMN【解答】解：（1）设直线l的方程为：x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得，，…①∵=2，∴y2=2y1…②由①②得，解得m=﹣8+6＜，m=﹣8﹣6＜，∴直线l的斜率的斜率为：1．（2）设PQ：y+1=由得，?同理x；直线MN的斜率kMN===…③把①代入③得kMN=2（定值）∴直线MN的斜率是为定值2．21.已知函数f(x)=-2lnx，(1)若p=2，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；参考答案：（1）y=2x-2.

（2）f′(x)=p+-=.令h(x)=px-2x+p,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数， 只需h(x)≥0，即h(x)=px-2x+p≥0?p≥,故正实数p的取值范围是［1,+∞).略22.已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=时，求f（x）在定义域上的单调区间；（2）若f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围，并在此范围下讨论关于x的方程f（x）=x2﹣2x+3的解的个数．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=时，求出f（x），然后求f′（x），根据该导数的符号判断函数f（x）的单调区间即可；（2）求f′（x）=，从而得到x2+（2﹣a）x+1≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，根据判别式的取值情况并结合二次函数的图象即可求出a的范围．而判断方程f（x）=x2﹣2x+3解的个数，就是判断函数f（x）和函数x2﹣2x+3的交点个数，容易发现函数f（x）递增的速度小于lnx递增的速度，从而通过函数f（x）和x2﹣2x+3的图象即可找到原方程解的个数．解答： 解：（1）a=时，f（x）=，f′（x）=；∴x时，f′（x）＞0；x时，f′（x）＜0；∴f（x）在定义域上的单调增区间为（0，），（2，+∞），单调减区间为；（2）f′（x）=；f（x）在（0，+∞）上为增函数；∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；∴x2+（2﹣a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立；设g（x）=x2+（2﹣a）x+1，则：①若△=（2﹣a）2﹣4≤0，即0≤a≤4时，满足g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；②若△＞0，即a＜0，或a＞4时，∵g（0）=1＞0，∴a还需满足：；∴a＜2；∴此种情况下a＜0；综上得a的取值范围为（﹣∞，4]；由于当x趋向0时，lnx趋向负无穷；x趋向正无穷时，lnx+趋向正无穷，所以画出