2022-2023学年湖南省衡阳市 衡东县城关中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市衡东县城关中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，集合，则等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：2.若为全体正实数的集合，，则下列结论正确的是

A．

B．

C．

D．参考答案：D3.如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是(A) (B)

(C)

(D)参考答案：C4.执行如图所示的程序框图,输出的值是（

）A．2

B．

C．

D．参考答案：B5.设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知函数，若对于任意的恒成立，则a的最小值等于

A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.已知集合，，则A∩B为（

）A．(2,3)

B．(0,3)

C．[2,3)

D．?参考答案：C集合，，则为.故答案为：C.

8.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A.200,20

B.100,20

C.200,10

D.100,10参考答案：A9.函数：①y=x?sinx②y=x?cosx③y=x?|cosx|④y=x?2x的图象（部）如图所示，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（） A．④①②③ B． ①④③② C． ①④②③ D． ③④②①参考答案：C略10.定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上恰有六个零点，则的取值范围是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在上是单调减函数，则实数的取值范围是_______。参考答案：略12.已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围为_______.参考答案：(2,+∞)【分析】将问题转变为与的图象且只有一个交点，画出的图象，通过平移直线找到符合题意的情况，从而确定参数范围.【详解】由得：函数有且只有一个零点等价于：与的图象且只有一个交点画出函数的图象如下图：的图象经过点时有个交点，平移，由图可知，直线与轴的交点在点的上方时，两图象只有个交点，在点下方时，两图象有个交点，即本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.13.函数的定义域是________．参考答案：{x|－3<x<2}14.已知平面向量满足，且与的夹角为120°，，则

的取值范围是

．参考答案：15.已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为

．参考答案：16.已知中令就可以求出常数，即.

请你研究其中蕴含的解题方法研究下列问题

若，即，则=

参考答案：解：对两边求导：

令x=0得：再两边求导：

令x=0得：再两边求导：

令x=0得：…猜想：所以，所以略17.已知=

。参考答案：因为，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量设函数.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在上的最大值和最小值.参考答案：（1）；（2）最大值和最小值分别为.【分析】（1）求出f(x)化简，即可得出结论；（2）根据整体思想，结合图像特征，即可求出答案.【详解】(1),

..

所以,

所以最小正周期为.(2)当时，

.所以在上的最大值和最小值分别为.【点睛】本题考查向量的数量积，三角函数的化简以及三角函数的性质，整体思想是解题的关键，属于中档题.19.（本小题满分16分）记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数与在区间(0,+∞)内存在“S点”，并说明理由．参考答案：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得．令，则b>0．函数，则．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，即，（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．

20.（本小题满分12分）如图3，是直角梯形，，，E是AB的中点，,是与的交点.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的面积.参考答案：(Ⅰ)由条件可知，

∴

1分∵E是AB的中点，∴，

2分方法一：由余弦定理可知

5分∵是三角形，∴为锐角

6分∴

7分方法二：∵，

由正弦定理得：

7分(Ⅱ)∵是与的交点，由已知可得是的中点，∴

8分∴的面积

12分21.我国某公司预估生产某款5G手机的每年固定成本为40万元，每生产1只还需另投入16元，设公司一年内共生产该款5G手机x万只并全部销售完，每万只的的售收入为万元，且（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，公司一年内所获利润最大？并求出最大利润．参考答案：（1）；（2）年产量32万只，万元【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；

（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【详解】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得

当时，，当时，，

；

（2）当时，，∴时，；

当时，，

当且仅当，即时，

时，W的最大值为6104万美元．【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．22.（本题满分14分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，底面.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值．参考答案：【知识点】线面垂直的判定定理；求作二面角的平面角。G5G11

【答案解析】（1）见解析；（2）－解析：（1）证明：因为，，由余弦定理得.

.............（2分）从而，故.

.............（3分）

面面，............（4分）又

所以平面.

.............（5分）故.

.............（6分）（2）如图，以D为坐标原点，射线DA，DB，DP分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，则．，

.........（8分）设平面PAB的法向量为，则即因此可取．

.............（10分）设平面PBC的法向量为，则可取