2021届宁夏银川一中高三年级第六次月考理科数学试题

2020届宁夏银川一中高三年级第六次月考理科数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题匕=（）+iA.1-zB.2-2/C.1+/D.2+2/设集合M=｛（禺刃|壬+壬=1｝,N=｛（x,y）\y=2X｝，则McN的子集的个数是（）A.8B.4C.2D.0《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，口益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（）A.7尺B.14尺C.21尺D.28尺以下四个结论，正确的是（）质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔15分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；在回归直线方程y=o.ix+i.3中，当变量左每增加一个单位时，变量jH曾加0.13个单位：在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1:对于两个分类变量X与Y,求出其统计量K'的观测值《，观测值R越人，我们认为“X与丫有关系”的把握程度就越人.TOC\o"1-5"\h\zA.@®B.②③C.①③D.③④在（X-l）U+l）s的展开式中•迅的系数是（）A.-14B.14C.-28D.28抛物线j-=2.pV>0）的焦点为F，准线为/，4，B是抛物线上的两个动点，且满足ZAFB=r，设线段A3的中点M在/上的投影为N,则扁的最人值是（）网|A.逅E.逅C.迺D.^332

7•设〃7小是两条不同直线，Z0是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.m丄ajn丄〃二>“〃aB.加丄a/丄0且a丄0,则m±nC.加丄仏加丄a.n/!P,那么a丄0D.mca.nca.m//p.n///3=>a//已知双曲线的中心在原点，一个焦点为什（一点0），点P在双曲线上，且线段PF]的中点坐标为（0,2）,则此双曲线的方程是（）A.^1-21=1B.F—才=1C.^-21=1D.^-r=lTOC\o"1-5"\h\z324234-已知向量〃;=sinA,#）与向量/?=（3,smA+V3cosA）共线，其中A是MBC的内角，则角4的大小为（）A.壬B.C.1D.兰2436已知/（Q在R上是可导函数，则/（Q的图彖如图所示，则不等式（x2-2x-3）/W>0的解集为（）a,(-co,-2)U(i,y>)B・(yo,—2)U(1〉2)c.(y,—l)u(—1,02⑵s)D.(yo,-12(—l,12(3,*o)11.已知正四面体ABCD的棱长为、/J,则其外接球的体积为（）.8匸9厲A.—KE・7C厂8血厂9C・71D・—71nrr»12.己知椭圆C「一二+丄二=1与双曲线C.：—+^-=1有相同的焦点，则双曲线m+13-/7"mnC.的一条斜率为正的渐近线的斜率的取值范闱为（）a.asE・a.asE・、/3，+ooC.(0,1)D.(1“)二、填空題13.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学检测成绩(满分100分)分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90.100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图•已知高一年级共有学生800名，据此估计，该数学检测成绩不少于60分的学生人数为人.TOC\o"1-5"\h\z在等比数列｛©｝中，冬=3心=81,则数列｛log^,,｝的前〃项和为•在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有个.设S”是数列｛兔｝的前"项和,且q=l,an+l=-2SnSn+l,RiJS2020=.三、解答題设AABC的内角A5C的对边分别为ci,b,c,且2dsin(B+C)=(2sinsinC)b+(2sinC-y/3sinB)c.求角4的人小；若a=4,b=4羽,求AABC的面积.如图，正三棱柱ABC-A^Q的底面边长为1,点M是BC的中点，AAMC；是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（1）求点B到平面AMCl的距离；（2）求二面角M-AQ-C的大小.19.2021年7月，超强台风登陆某地区.据统计,本次台风造成该地区直接经济损失119.52亿元.经过调查住在该地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：经济狽失4000元以下经济拐失4000元以上合计捐款超过500元30捐款低于500元6合计（1）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（2）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，经过调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（3）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由王师傅和张师傅两人进行维修，王师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求王师傅比张师傅早到小区的概率.附：临界值表*020722.70638415.0246.6357.87910.828P(K2^k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001参考公式："=商韵亀丽'”m+b+c+d・已知动圆0过定点尸（0,-1）,且与直线r.y=l相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，尸是其一个焦点，又点4（0,2）在椭圆N上.（1）求动圆圆心0的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程；（2）若过尸的动直线加交椭圆N于3、C点，交轨迹M于D、E两点，设S］为WBC的面积，S,为△ODE的面积，令AODE的面枳，令Z=S亠，试求Z的取值范围.已知函数f（x）=xlnx.（1）设实数号（*为自然对数的底数），求函数/W在g,2a］上的最小值：（2）若R为正整数，且/（兀）>（&一1）兀一&对任意x>l恒成立，求R的最人值.在平面直角坐标系xOy中，过点P（l,0）作倾斜角为£的直线/，以原点O为极点，6X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为P=1,将曲线c\上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线c,,直线/与曲线c,交于不同的两点M,N.（1）求直线/的参数方程和曲线C?的普通方程：1⑵求网的值•选修4—5：不等式选讲设函数/（x）=|3x-l|+av+3.（1）若旷1，解不等式/W<5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围.参考答案1.A【解析】【分析】利用复数除法运算进行化简，从而得出正确选项.【详解】原式=(3")(2“)3)(2—i)原式=(3")(2“)3)(2—i)5—5.5故选：A【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.2.B【分析】画出集合表示的图像，根据图像交点的个数，判断出Me"元素的个数，由此求得McN的子集的个数.【详解】画出集合表示的图像如下图所示，由图可知McN有两个元素，故有2，=4个子集.故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集的运算,考查子集的个数求法，考查椭圆的图像和指数函数的图像,属于基础题.C【分析】根据题意利用等差数列前〃项和公式列方程，解方程求得第30天织布.【详解】依题意可知，织布数量是首项为4=5,公差d=5的等差数列，且53o=£L±5ox30=390,即15x（5+畋）=390,解得«30=21（尺）.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的前"项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题.D【分析】利用系统抽样和分层抽样的知识判断①的正确性：利用回归直线方程的知识判断②的正确性:利用频率分布直方图的知识判断③的正确性：利用独立性检验的知识判断④的正确性.【详解】①，是系统抽样，不是分层抽样，所以①错误.②，y增加0.1,所以②错误.③，在频率分布直方图中，所有小矩形的面枳之和是1,所以③正确.④，对于两个分类变量X与丫，求出其统计量K'的观测值《，观测值R越人，我们认为“X与丫有关系”的把握程度就越人，所以④正确.综上所述，正确的序号为③④.故选：D【点睛】本小题主要考查抽样方法、回归直线方程、频率分布直方图和独立性检验等知识，属于基础题.C【分析】根据二项式展开式，求得疋的系数.【详解】依题意,（X—l）（x+的展开式中X3的系数是C；_C；=C；_C；=28_56=-28.

故选：C【点睛】本小题主要考查二项式展开式，属于基础题.B【详解】AF+BF2AB,在AB试题分析：设在直线/上的投影分别是则|4^|=|44|,|BF|=|^|,又M是AB中点，所以|MN|=*(|A4J+|BBJ),则惴=扌.凹世引=,在ABA/WF中|a^|A/WF中|a^|2=|af|2+-2\AF\\BF\cos=y==(\AF\+\BF\)2-\AF\\BF\>(|AF|+\BF\)2_(#鬥;0尸“=扌(卜鬥+妙鬥几所以（\AF\+\BF\y4\AF\+\BF\2^3MN馆」[I丨即I鳥＜斗,所以嚅＜1,故选E・\AB[3\AB\3\AB\3考点：抛物线的性质.【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.彖本题弦A3的中点M到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点尸的距离，从而与弦长|4创之间可通过余弦定理建立关系.B【分析】根据线面、面面平行的知识和线线、面面垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，直线”可能在平面Q内，故A选项错误.对于B选项，由于加丄丄0且&丄0,所以加丄〃正确，故E选项正确.对于C选项，Q,0可能平行，故C选项错误.对于D选项，70可能相交，故D选项错误.

故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、面面平行、线线垂直、面面垂直的知识，属于基础题.B【详解】试题分析：设双曲线的标准方程为+卡=l(d>0,b>0),由町的中点为(0,2)知,P壮丄X,>2P(<7^,4),即一=4,b，=4a,.-.5-a2=4a,o=l,b=2，二双曲线方程为X2-—=b故选B4考点：1、待定系数法求双曲线的标准方程为；2、双曲线的简单性质.C【分析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得人的人小.【详解】由于〃"共线，所以smA-(smA+^cosA)--x3=0,即siii2A+>/3sinAcosA--=0,+迟sin2A-—=0,222Tsin2ATsin2A4cos2A=Bsm(2A_?=1,由于4e(0s),所以24—£=彳,4=彳故选：C【点睛】本小题主要考查向量共线的坐标表示，考查降次公式和辅助角公式，属于基础题.D【分析】根据/(X)图像判断f'(A-)的符号，由此求得不等式(x2-2x-3)/U)>0的解集.【详解】由/'(X)的图像可知，在区间(-OO,-1),(1,-KX))±/(,r)>0,在区间(T,l),f(x)<0.AAB不等式(x2-2x-3)/(x)>0可化为(x-3)(x+l)/(x)>0,所以其解集为(Y),-12(-1,1)kJ(3,*o)•故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像与导数符号的关系，考查不等式的解法，属于基础题.B【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的体积.【详解】将正四面体B^-ACD,放在正方体ABCD_AQCQ中如图所示，正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为x,方体的外接球，设正方体的边长为x,由于AB严忑,即JTx=JJ,x=体的外接球半径为*x(JI0=,所以外接球的体积为故选：B体的外接球半径为*x(JI0=,所以外接球的体积为故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球体枳的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.A【分析】根据椭圆和双曲线的焦点相同，求得〃?丿的关系式，由此求得渐近线斜率的取值范闱.【详解】m>-177<3m+〃Hm>-177<3m+〃H23—">0根据方程表示椭圆或双曲线得｛t°加+1工3—"mn<mn<0mn<0当加>0/<0时，双曲线的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点也在x轴上，则有m>-1n<3m+l>3-/?>0»即<m+n>2f且〃?+1—(3—〃)=〃?+(—“)，解得n=l,这与〃vO矛m>0/?<0盾.当m<0ji>o时，双曲线的焦点在y轴上，所以椭圆的焦点也在y轴上，则有m>-1n<33—川>〃?+1>0,即<m+n<29且3-7?-(7/7+1)=71+(-//?),解得/?=1,此时m<0/7>0-->1.而双曲线斜率为正的渐近线的斜率为-->1.而双曲线斜率为正的渐近线的斜率为m故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆、双曲线的焦点，考查双曲线渐近线，考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.13・640【分析】求得数学检测成绩不少于60分的学生的频率，由此求得数学检测成绩不少于60分的学生人数.【详解】数学检测成绩不少于60分的学生的频率为(0.03+0.025+0.015+0.01)x10=0.8,所以数学检测成绩不少于60分的学生人数为800x0.8=640人.故答案为：640【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图进行计算，属于基础题.匕2【分析】先求得数列｛①｝的通项公式，由此求得数列｛log3^｝的通项公式，进而求得其前〃项和.【详解】由于等比数列仏讣中，冬=3心=81,所以解得®=1册=3,所以色=3心，1%=81所以log3^=/?-l,所以数列｛log3f/„｝是首项为0,公差为1的等差数列，其前〃项和为0+72-1H2-H//=・22故答案为：H2【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本屋计算，考查等差数列前"项和，属于基础题.192【分析】分3步：先个位、然后千位、排最后百位与十位.【详解】分3步：个位共有4种排法，然后T•位有4种排法，最后百位与十位有£=12种排法，不能被5整除的数共有4x4x192个,

故答案为：192.【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，考查了元素位置有限制的排列问题，属于基础题.14039【分析】根据已知条件求得｛S”｝的通项公式，再求得亠。"的值.【详解】TOC\o"1-5"\h\z1_f1'由于勺=1,%+]=_2S”S”+],所以S”+]—S”=—2S”S”+]‘—=2,所以数列彳是首项为寺=丄=1，公差为2的等差数列，所以｛-=1+(〃一l)x2=2—l,所以5i4S“-,故S©o==—-—.1-0-02x2020-14039故答案为:1故答案为:4039【点睛】本小题主要考查根据递推关系求通项公式，属于基础题.(1)A=—；(2)见解析.6【分析】利用正眩定理和余弦定理化简已知条件，求得cosA的值，进而求得角4的大小.利用正弦定理求得sinB,进而求得角B的可能取值，由此求得角C,进而求得MBC的面枳.【详解】由已知及正弦定理可得2cr=(2b->/3c)b4-(2c-^/3b)c,整理得b2+c2-cr=y/3bc,.qAb~+c~—cry/^bc5/3所以cosA==-——=—.2bc2bc2又故A=—・TOC\o"1-5"\h\z（2）由正弦定理可知一巳一二一?一，又c/=4,b=4书,4=兰，sinAsinB6所以smE=週.2又3丘（0,二），故B=：或年.633若B=巴,则C=彳，于是^aabc=£"=8；22若5=—,则C=-,于是SSAliC=-absmC=^.362【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弓玄定理解三角形，考查三角形的面枳公式，属于基础题.（1）逅；（2）-64【分析】（1）利用等体枳法求得点B到平面AM©的距离.（2）建立空间直角坐标系，利用平面MACL和平面C4C；的法向量，计算出二面角M-AQ-C的余弦值，进而求得其人小.【详解】（1）设点B到平面AMC,的距离为h•则匕一曲=叫由（I）知4M丄C】M,AM丄CB,・・・4M丄平面GCBBl•*A13=1‘=—nJ求出：2AM=MC=—^CCX=—>1212•力=；S、cMB■4M,即—X—XJEX/1=—X—X—X丄匚X-，3AAg3M岡322232222得h卫.6

⑵过M作MMJICC、交QC］于A/】.以M为坐标原点，AM.BC.MM,分别为x轴，歹轴，？轴方向，建立如图所示空间直角坐标系设面ACC｛的一个法向量为u=(x,y,z),—x+—y=O\AC-ti=O[cc1-«=o,取y=i,则x=->/3,z\AC-ti=O[cc1-«=o,取y=i,则x=->/3,z=o,•••"=(一同理可求得面的一个法向量为v=(-JIO,1),设二面角M-AQ-C的人小为0,由图知&为锐角,故二面角M-AQ-C的大小为-.4【点睛】本小题主要考查点面距的求法，考查二面角的人小的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.(1)3360：(2)有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关；(3)1【分析】根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出平均损失.根据已知条件填写2x2列联表，计算出的值，由此判断出有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.利用面积型几何概型的概率计算方法，计算出所求概率.【详解】(1)记每户居民的平均损失为I元，贝IJ：I=(1000x0.00015+3000x0.0002+5000x0.00009+7000x0.00003+9000x0.00003)x2000=3360(2)如图:经诱损失4000元以下经济损失4000元以上台计捐款超过TOO元30939捐款低于500元5611合计25155050x(30x6-9x5/39x11x35x15=4.046>3.841所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.设王师傅，张师傅到小区的时间分别为X，)',则(%,刃可以看成平面中的点.试验的全部结果所构成的区域为Q={(x,y)|7<x<&7.5<y<8.5},则S°=l,事件A表示王师傅比张师傅早到小区，所构成的区域为A=[(x,y)\y>x,7<x<&7.5"<8.5},即图中的阴影部分：面积S4=l-ixixl=l所以心)=学=?,2228%、7・••王师傅比张师傅早到小区的概率是厂本小题主要考查根据频率分布直方图计算平均数，考查2x2列联表独立性检验，考查面枳型几何概型概率计算，属于基础题.20.(1)x2=-4y,+—=1(2)Ze[9,12)437【解析】试题分析：(1)动圆圆心0满足抛物线的定义：QF=j所以方程为x2=-4y,而椭圆标准方程的确定，利用待定系数法：c=14=2(2)先表示面积：抛物线中三角形面积,利用焦点，底边OF为常数，高为横坐标之差的绝对值，再根据直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解；椭圆中三角形面积，利用A点为定点，底边AF为常数，高为横坐标之差的绝对值，再根据直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求解；研究Z=»函数关系式：是一元函数，可根据直线斜率k取值范闱求解Z=S'Z=S'36（1+疋）3,+4“2卜召卜2卜护9试题解析：(1)依题意，由抛物线的定义易得动点0的轨迹M的标准方程为：x2=-4y22依题意可设椭圆N的标准方程为匚+二=1(6/>b>0),crb"显然有・・・"屈・••椭圆“的标准方程为(2)显然直线加的斜率存在，不妨设直线加的直线方程为：y=kx-l®J联立椭圆N的标准方程务+备=1,有(3T+4)F—6也—9=0,设〃).，J,c(±,力)则有优一打=畔手，再将①式联立抛物线方程亍=-4y,有妒+48-4=0,设£>(不必)/(心九)得卜3-兀=4*71+/,:.S?=*|0州冯_兀|=2>/^^,36(l+k‘)(1A(••・Z=S|S,=——=121-——>121--=9，1-3T+4I3/+4丿I4)・••当R=0时，乙屈=9,又z<12,AZe[9,12)考点：抛物线的定义，直线与抛物线位置关系，直线与椭圆位置关系【方法点睛】1•凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.本题中充分运用抛物线定义实施转化，易得动点0的轨迹.2.若P(xo,yo)为抛物线y2=2px(p>0)±一点，由定义易得|PF|=xo+；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(xi,yi),B(xz,y»,则弦长为|AB|=xi+x?+p,xi+xz可由根与系数的关系整体求出：若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.21.(1)(2)3e【分析】(1)求得函数/(x)的定义域和导函数，对a分成a>-和丄va<-两种情况讨论/(x)e2ee的单调区间，由此求得/(x)在区间[彳2可上的最小值.Yh]y+x(2)将不等式f(x)>(k-l)x-k分离常数得到••「>k,构造函数X—1g(x)=m+'l>i),利用导数求得g(x)取得最小值时对应的x的取值范围，由此求X—1得R的最人值.【详解】(1)/(X)的定义域为(0,+O0),vr(x)=lnx+l,令广(兀)=0,得x=(1当XE0,-时，f(x)<0,/(Q单调递减；kc丿当xw(£,+oo)时，f(x)>0,/(X)单调递增.当a>-时，y(x)在[a,2a]单调递增，[/(%)]„^=/(a)=alna,e当^-<a<-时，得a<-<2a,[/W]^=f-1=--.2eee\e)e(2)f(x)>(k-l)x-k对任意x>1恒成立,yInr-Lv即xhix+x>k(x-l)对任意x>1恒成立，即:一:一->k对任意x>1恒成立.x-1Az、xlnx+x.“、x-lnx-2z八令&2匸厂心戶心G厂(E令/?(x)=x-Inx-2(x>1)=>/?\x)=-~~->0=>h(x)在(l,+°o)上单调递增.x•/h(3)=l-ln3<0,/i(4)=2-ln4>0,•••所以h(x)存在唯一零点x。e(3,4),即兀-Inx°-2=0.当xw(1,兀)时,ha)<h{x0)=0=>g\x)<0；当xg(x0,+oo)时，h(x)>h(x0)=0=>g，(x)>0；・・・g(X)在XW(1,X°)时单调递减；在AG(X0,+cO)时，单调递增；・・・曲)]»曲。)=处屮=牛—竝无一1兀一1由题意«<[&(小]込=无，x°e(3,4).又因为kwZ,所以R的最人值是3.【点睛】本小题