近世代数练习题(附答案)

《近世代数》练习题（附答案）一.选择题1.设是实数集,则对任意的,代数运算(C)(A)适合结合律但不适合交换律(B)适合交换律但不适合结合律(C)不适合结合律和交换律(D)适合结合律和交换律2.在群中,,的阶为12,则的阶为(B)(A)12(B)3(C)4(D)63．在7次对称群中和,则等于（A）(A)(B)(C)(D)4．在一个无零因子环中,,对加法来说,有(C)(A)的阶的阶(B)的阶的阶(C)的阶的阶(D)的阶的阶5．设为整环中素元,则下列正确的是(D)(A)为零元(B)为单位(C)有真因子(D)仅有平凡因子6.假定是与间的一一映射,,则和分别为(D)(A),(B)无意义,(C)无意义,无意义(D),无意义7.在群中,,则方程和分别有唯一解为(B)(A),(B),(C),(D),8.设是正整数集,则对任意的,下面“o”是代数运算的是(B)(A)(B)(C)(D)9.设是实数集,代数运算是普通加法，下列映射是的自同构的是(D)(A)(B)(C)(D)10.在偶数阶群中阶等于2的元数为(A)(A)奇数(B)偶数(C)1(D)不可确定11．在5次对称群中元和的乘积是（D）(A)(B)(C)(D)12．若群的阶为48,的真子群的阶不可能为(C)(A)12(B)16(C)18(D)2413．群中元的阶为24中，那么的循环子群的阶为(C)(A)3(B)4(C)8(D)914.在一个环里如果有一个消去律成立，那么下面不正确的是(B)(A)另一个消去律也成立(B)中非零元都有逆元(C)是无零因子环(D)中非零元对加法的阶都一样15．假定是一个域，则一元多项式环一定是(A)(A)欧式环(B)除环(C)域(D)无法确定16．设为唯一分解环中单位,是中任意元，则下列正确的是(B)(A)也是单位(B)互为相伴元(C)都是的真因子(D)有唯一分解17．一个30个元的域的特征可能是(A)(A)5(B)6(C)10(D)1518．假定域与同态,则是（C）(A)域(B)整环(C)环(D)除环19．若是一个唯一分解环,且和(其中都为素元),则下列说法正确的是(D)(A)与互为相伴元(B)与互为相伴元和与互为相伴元(C)与互为相伴元(D)与互为相伴元或与互为相伴元20．假定和是整环的两个主理想,若,则(A)(A)是的相伴元(B)与互素(C)是的真因子(D)21．{所有整数},令:,当是偶数;,当是奇数.则为(B)(A)单射变换(B)满射变换(C)一一变换(D)不是变换22．若,且的阶为有限整数,则下列说法正确的是(A)(A)与模的剩余类加群同构(B)的阶可能无限(C)元中没有相同元(D)与整数加群同构23．若是一个特征为有限整数的无零因子环，且，则（D）(A)(B)，其中为素数(C)存在中元的阶为无限整数(D)对乘法成立两个消去律24.设是有理数集,则对任意的,下列“o”是代数运算的是(C)(A)(B)(C)(D)25.在群中,,则方程的唯一解为(D)(A)(B)(C)(D)26．在6次对称群中的阶是（A）(A)5(B)24(C)12(D)627．除环有理想(C)(A)4个(B)1个(C)2个(D)无穷个28．假定是一个域，则一元多项式环一定是(B)(A)除环(B)欧式环(C)域(D)无法确定29．若是一个域,不正确的是(B)(A)是交换除环(B)对乘法作成群(C)无零因子(D)中不等于零的元都有逆元30．若是主理想环,是中素元,且则(C)主理想不是的最大理想(B)没有唯一分解(C)若,有或(D)不是域31.设是实数集,则对任意的,代数运算(C)(A)适合结合律但不适合交换律(B)适合交换律但不适合结合律(C)不适合结合律和交换律(D)适合结合律和交换律32.设是有理数集,则对任意的,下列“o”是代数运算的是(A)(A)(B)(C)(D)33.在群中,,则方程的唯一解为(D)(A)(B)(C)(D)34．在5次对称群中的阶是（B）(A)2(B)3(C)4(D)535．除环有理想(C)(A)4个(B)1个(C)2个(D)无穷个36．假定是一个整环，则一元多项式环一定是(A)(A)整环(B)除环(C)域(D)无法确定37.在16阶循环群中,循环子群的阶为(D)(A)6(B)3(C)4(D)838．一个有8个元的域的特征是(A)(A)2(B)4(C)6(D)839．设为整环中素元,则下列正确的是(D)(A)为零元(B)为单位(C)有真因子(D)仅有平凡因子40．若群的阶为48,的子群的阶为16，则在中的指数为(C)(A)1(B)2(C)3(D)441.设是实数集,则对任意的,代数运算(C)(A)适合结合律但不适合交换律(B)适合交换律但不适合结合律(C)不适合结合律和交换律(D)适合结合律和交换律42.设是有理数集,则对任意的,下列“o”是代数运算的是(C)(A)(B)(C)(D)43.在群中,,则方程的唯一解为(C)(A)(B)(C)(D)44．在5次对称群中的阶是（B）(A)2(B)3(C)4(D)545．除环有理想(C)(A)4个(B)1个(C)2个(D)无穷个46．假定是一个整环，则一元多项式环一定是(A)(A)整环(B)除环(C)域(D)无法确定47.在16阶循环群中,循环子群的阶为(D)(A)6(B)3(C)4(D)848．一个有8个元的域的特征是()(A)2(B)4(C)6(D)849．设为整环中素元,则下列正确的是(D)(A)为零元(B)为单位(C)有真因子(D)仅有平凡因子50．若群的阶为48,的子群的阶为16，则在中的指数为(C)(A)1(B)2(C)3(D)4二．填空题1.设是集合的元间的一个等价关系,那么满足反射律、对称律、推移律.2.若为群,,则.3.循环群的阶是50，则它的子群的阶是10.4.群的中心是的一个不变子群.5.次对称群的阶为.6.假定,那么,.7.假定和同态,和同态,则和也同态.8.在群中,,则方程有唯一解为.9.设集合的元数为3，那么共有子集8个，的元间的关系共有512个.10.若为群,方程的唯一解为.11.一个有限非可换群至少含有______6______个元素.12.设是集合的元间的一个等价关系,那么满足自反律、对称律、推移律.13.若为群,,则.14.5次对称群的阶为120.15.若是环与的同态满射,则同态核中元都是中单位元的逆象，且同态核是的一个理想.16.设是有单位元的交换环的一个最大理想，那么剩余类环是一个域.17.在整数环中，理想等于主理想（1）.18.设为模9的剩余类环，那么的负元为，逆元为【2】.19.设是17阶群，则的生成元有16个.20.除环的最大理想是零理想.21.设是模7的剩余类环，在多项式环中22.设为模10的剩余类环，那么的负元为，逆元为.23.在整数环中，主理想当且仅当是的相伴元.24.设,.那么由决定的的分类为.25.设是一个唯一分解环，那么多项式环是唯一分解环.26.设为模9的剩余类环，那么的负元为，逆元为.27.设是一个唯一分解环，那么的元的两个最大公因子和相差一个相伴元.28.若群的元的阶是15，的阶是8,且,则和的阶分别是15和120.29.在一个特征为的无零因子的交换环中,有为素数,且.30.若群的阶为60,的子群的阶为15，则在中的指数为4.31.若是环与的同态满射,则对，它们的象分别为,则元的象为.32.设是环的一个最大理想，那么包含的的理想仅有和.33.在整数环中，理想等于主理想（7）.34.在唯一分解环中，若素元能整除，则必能整除中一个元.35.若是由集合的全体一一变换所作成,则是一个变换群.36.若是有单位元的交换环,则的主理想中的元有形式为.37.是有单位元的交换环,是的子环上的未定元,则仅当时,才有成立.38.是一个有单位元的环,且，则在中必有一个元没有逆元,它是0;必有两个元有逆元,它们是1和-1.39．唯一分解环中的元和的两个最大公因子和只能差一个相伴元.40.设,.那么{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}.41.若群和集合同态,则是群,并且有中元和的象为中元和.42.在无零因子环中,如果对有,那么必有或.43.群的元的阶是，若是整数和的最大公因子，则的阶是.44.在一个域中,若有,则.45.设是环与的同态满射,则的核是环的一个理想.46.在整环中必有一个元没有逆元,它是0;必有两个元有逆元,它们是1和-1.47.整环的元是的多项式的根,当且仅当能被整除.三．判断题1．设,则能找到到的一一映射.(×)2．无限群中的元的阶都无限.(×)3．除环的最大理想是单位理想.(×)4．整环中的素元只能有有限个数的因子.（×）5．任何欧式环一定是主理想环，也一定是唯一分解环.(√)6．为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律.(×)7．有限群中存在某个元的阶无限.(×)8．假定域与同态,则也是域.(×)9．整环中的单位同素元的乘积还是一个素元.(√)10．除环除了零理想和单位理想还有其它理想.(×)四．解答题用循环置换的方法写出三次对称群的全体元.说明集合是的子群,并且写出的所有左陪集.解:,(2分)因为是有限集合,由,,,知是封闭的,所以是的子群.(4分)的全体左陪集为(6分):,,.求模6的剩余类环的所有子环.解：因为剩余类环是循环加群，所有子环为主理想：.3.设是整数集,规定中元间的关系如下:说明是中元间的等价关系,并且写出模6的所有剩余类.解：因为对任意的整数有（1）反射律：与模6同余;(2分)（2）对称律：若与模6同余，那么必有与模6同余;(2分)（3）推移律：若与模6同余，与模6同余，那么必有与模6同余,所以是中元间的等价关系.(2分)模6的全体剩余类为(6分):,,,,,.4.求出阶是32的循环群的所有子群.这些子群是否都是不变子群.解:因为为循环群,所以为交换群,又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36.(2分)所以循环群的所有子群为循环子群：，,，，.(8分)并且这些子群都是不变子群.(10分)5.设是整数环，请把的理想和的元列出来.解:是整数环，理想和如下：(2分)(4分)(6分)(10分)6.设是模8的剩余类环，在一元多项式环中把计算出来，并求的导数.解:是模8的剩余类环(1)(1分)(3分)(5分)(2)多项式的导数为(2分).7.找出对称群的所有子群.解:因为，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.所以它的所有子群为：1阶子群；(1分)2阶子群，，；(4分)3阶子群；(5分)6阶子群。(6分)8.设是模9的剩余类环，在一元多项式环中计算，并求的导数.解:是模9的剩余类环(1)(1分)(2分)(3分)(2)多项式的导数为(5分).(6分)9.取对称群的元和,计算，.解:，，,(或)(3分),（或）(6分)10.验证剩余类环的子集是它的一个子环，并指出的单位元是？解:用加法运算表和乘法运算表验证即可(2分)(2分)可见[4]是S的单位元.(6分)12.求剩余类加群的所有生成元和所有子群.解：因为剩余类加群是循环加群，所以它的所有生成元为：；(3分)所有子群为：.(6分)13.设是整数环，则、是的怎样一个理想？是的理想吗？为什么？解：因为整数环是主理想环，所以(2分)(3分)同时，不是的理想，(4分)因为如果有是的理想，那么；；，矛盾.(6分)14.验证对称群的子集是它的一个子环.解:用乘法表验证即可(6分)15.设是有理数域，假如是中不可约多项式的根，试把写成的多项式.解:因为是中不可约多项式的根，所以，(1分)(2分)(3分)(6分)16.用循环置换的方法写出5次对称群的元和,并计算，，.解:，(2分)，(4分),(或)(6分),（或）(8分).（或）(10分)17.求出模48的剩余类加群的所有子群.这些子群是否是不变子群?解:因为为循环群,所以为交换群,又因为48的所有正整数因子为：1，2，3，4，6，8，12，16,24，48.(2分)所以模48的剩余类加群的所有子群为循环子群：([1]),([2]),([3]),([4]),([6]),([8]),([12]),([16]),([24]),([0]).(8分)并且这些子群都是不变子群.(10分)18.设是模9的剩余类环，在一元多项式环中(1)计算(2)求(1分)(3分)(5分)(2)多项式的导数为.(2分)五．证明题设群中元的阶为，试证：当且仅当.证明:必要性:设,其中为整数,,(1分)那么有,(3分)由的阶为知,即.(5分)充分性:由可设,其中为整数,(6分)那么有,(8分)证明:设是群的指数为2的子群,那么一定是不变子群.证明:由题意知的两个不同的左陪集为,的两个不同的右陪集为.(2分)显然,(4分)若对任意的,有;若对任意的,有,所以是不变子群.(8分)证明:一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环.证明:设是一个没有零因子的有限环且至少有两个元,由除环定义知仅需证明是一个乘群。事实上对乘法满足:(2分)(1)对乘法是封闭的,这是因为对任意,有,所以,;(2)因为对乘法满足结合律,所以对乘法也满足结合律;(3)因为是一个无零因子环,所以对乘法成立两个消去律,对乘法也满足消去律.(8分)由有限群定义知是一个乘群,所以是一个除环.4.假定,是集合的两个代数运算,并且适合结合律,对适合两个分配律.证明: 证明:左边(4分)右边(4分)所以左边=右边.5.证明:一个循环置换的阶是.证明:设为一循环置换,则在中经过次置换乘法有:,,…,.所以,同时可知当时，，即循环置换的阶是.6.假定和是环的两个理想.证明:也是的理想.证明:(1)对任意的,必有和;再由和是环的理想知和,所以.(5分)(2)对任意的,必有且，再由和是环的理想可知对任意的,有和，所以.(5分)综上可知也是的理想.7.证明:由所有复数(,是整数)作成的集合对于普通加法和乘法来说是一个环.证明:(1)对加法满足(6分):①对加法是闭的,这是因为对中任意的元和总有,并且和还是整数;②有零元,这是因为对中任意的元总有;③对中任意的元,总有中元使得,因此即为的负元.(2)对乘法是闭的,这是因为对中任意的元和总有,并且和还是整数.(2分)再因为复数对加法满足结合律,交换律;复数对乘法满足结合律;复数的乘法对加法满足两个分配律,所以对加法满足结合律,交换律;对乘法满足结合律;的乘法对加法满足两个分配律.所以对于普通加法和乘法来说是一个环.(2分)8.若群的每一个元都适合方程，那么是交换群.证明:任取,可知，，,(2分)所以(4分)(7分)所以是交换群.9.证明:一个循环群必是一个交换群.证明:设循环群，任取，则有(2分)(7分)所以循环群是交换群.(8分)10.假定是环的两个理想，证明也是的一个理想.证明:任取，，因为是环的两个理想，(1分)所以(3分)(5分)所以和(7分)故也是的一个理想.(8分)11.证明：任意整环中零元0和任意单位都没有唯一分解.证明:用反证法：设零元有唯一分解，其中都是素元。因为整环是无零因子环，所以必有某，这矛盾于是素元.(4分)设单位有唯一分解，其中都是素元。因为单位有逆元，所以，即有逆元，是一个单位，这矛盾于是素元.(8分)12.证明：有限群中元的阶都有限.证明:设是一个有限群，对任意的，则元(2分)都是中元，且其中一定有相同元.(4分)不妨设，则有，即.(6分)由且为有限正整数得的阶为有限.13.证明:阶为素数的群一定是循环群,且群中任意元都可作为群的生成元.证明:设是一个阶为素数的有限群,则对任意的,的循环子群有个不同的元,(4分)所以为循环群,且群中任意元都可作为群的生成元.14.假定是偶数环，证明是的一个理想.证明:是偶数环,,显然,所以是的非空子集.(2分)同时满足:(1)对任意,有,其中,则有;(5分)(2)对任意,,有,其中,则有和.(8分)由理想子环的定义知是的一个理想.(9分)15.假定是集合的两个代数运算,证明:若适合交换律,则;若适合交换律和结合律,则.证明:(1)若适合交换律,则;(4分)(2)若适合交换律和结合律,则(4分).16.证明:和是群的两个不变子群,则交集还是群不变子群.证明:(1)对任意的,必有和;再由和是群的不变子群知和,所以.(4分)(2)对任意的,必有且，再由和是群的不变子群可知对任意的,有和，所以.(4分)综上可知也是群的不变子群。17.证明:交换群中所有有限阶的元素做成的一个子群.证明:设中所有有限阶的元素，因为单位元的阶为1，所以是的非空子集.(2分)任取,设的阶为，的阶为，因为是交换群，所以，.(5分)同时，，.所以是的子群.(8分)18.设是循环群，并且与同态，证明也是一个循环群.证明:设,是到的同态满射,且.(2分)任取,必存在某,使得.(4分)同时,因为,所以.(7分)所以也是一个循环群.(8分)19.证明:一个环的中心是一个交换子环.证明:设是环的中心,显然,是环的非空子集.(1分)任取,则对任意有,,(4分),(7分)而显然,所以环的中心是一个交换子环.(8分)20.证明：在整环中,单位和素元的乘积也是一个素元.证明：显然单位和素元,所以.