不等式性质及证明

1/1不等式性质及证明一般高中课程标准试验教科书—数学[人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座31）—不等式性质及证明

一．课标要求：

1．不等关系通过详细情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

2．基本不等式：（a,b≥0）

①探究并了解基本不等式的证明过程；

②会用基本不等式解决简洁的最大（小）问题。

二．命题走向

不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础学问、基本方法，而且还考察规律推理力量、分析问题、解决问题的力量。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫。

猜测2023年的高考命题趋势：

1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式消失，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；

2．利用基本不等式解决像函数)0(,)(>+=ax

a

xxf的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，应加强训练。

三．要点精讲

1．不等式的性质

比较两实数大小的方法——求差比较法0abab>?->；0abab=?-=；0abab，则ba．即ab>?ba，且bc>，则ac>。

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。

定理3：若ab>，则acbc+>+。说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理3的证明相当于比较ac+与bc+的大小，采纳的是求差比较法；（3）定理3的逆命题也成立；

（4）不等式中任何一项转变符号后，可以把它从一边移到另一边。定理3推论：若,,abcdacbd>>+>+且则。说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。

定理4．假如ba>且0>c，那么bcac>；假如ba>且0>ba且0>>dc，那么bdac>。说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向转变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）

推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

推论2：假如0>>ba，那么n

nba>)1(>∈nNn且。定理5：假如0>>ba，那么n

nba>)1(>∈nNn且。

2．基本不等式

定理1：假如Rba∈,，那么abba222

≥+（当且仅当ba=时取“=”）。说明：（1）指出定理适用范围：Rba∈,；（2）强调取“=”的条件ba=。

定理2：假如ba,是正数，那么

abb

a≥+2

（当且仅当ba=时取“=”

）说明：（1）这个定理适用的范围：,abR+

∈；（2）我们称baba,2

为+的算术平均数，

称baab,为的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3．常用的证明不等式的方法（1）比较法

比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—推断—结论；为了推断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便推断其正负。

（2）综合法

利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要留意它们各自成立的条件。

综合法证明不等式的规律关系是：12nABBBB?????L，及从已知条件A动身，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B。（3）分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式动身，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，假如能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

（1）“分析法”是从求证的不等式动身，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；

（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探究证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。四．典例解析

题型1：考查不等式性质的题目

例1．（1）（06上海文，14）假如0,0ab，那么，下列不等式中正确的是（）

（A）

11

ab

（2）（06江苏，8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（A）||||||cbcaba-+-≤-（B）a

aaa112

2+

≥+（C）21

||≥-+

-b

aba（D）aaaa-+≤+-+213解析：（1）答案：A；明显0,0ab，但无法推断ba,-与|||,|ba的大小；（2）运用排解法，C选项21

≥-+

-b

aba，当a－bb，c>d，则下列结论中正确的是（）

+c>b+d

－c>b－d>bdD.

c

bda>（2）（1999上海理，15）若a和|

|1||1ba>均不能成立

B.

b

ba1

1>-和||1||1ba>均不能成立C.不等式

aba11>-和（a+b1

）2>（b+a

1）2均不能成立

D.不等式

||1||1ba>和（a+a

1）2>（b+b1

）2均不能成立解析：（1）答案：A；∵a>b，c>d，∴a+c>b+d；

（2）答案：B

解析：∵b0，∴a－b>a，又∵a－b-不成立。∵a|b|，∴

||1||1ba不成立。由此可选B。另外，A中

ba11>成立.C与D中（a+b1）2>（b+a

1

）2成立。其证明如下：∵a|b+a

1

|，故（a+

b1）2>（b+a

1

）2。

点评：本题考查不等式的基本性质。题型2：基本不等式

例3．（06浙江理，7）“a＞b＞0”是“ab＜2

2

2ba+”的（）

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不允分也不必要条件

解析：A；2

2

ba+ab2≥中参数的取值不只是指可以取非负数。均值不等式满意

)0,0(,2

>>≥+baabb

a。点评：该题考察了基本不等式中的易错点。例4．（1）（2023京春）若实数a、

b满意a+b=2，则3a+3b的最小值是（）

3

4

3

（2）（2000全国，7）若a＞b＞1，P＝balglg?，Q＝2

1（lga＋lgb），R＝lg（2ba+），

则（）

＜P＜Q

＜Q＜R＜P＜R

＜R＜Q

解析：（1）答案：B；3a+3b≥2baba+=?3233=6，当且仅当a=b=1时取等号。故3a+3b的最小值是6；

（2）答案：B；∵lga＞lgb＞0，∴

2

1

（lga＋lgb）＞balglg?，即Q＞P，又∵a＞b＞1，∴

abb

a>+2

，∴2

1

lg)2lg(

=时单调递增，

而221132nnnnxxxx+++=+21142nnxx++≤+2

11(2)2nnxx++=+，

所以12nnxx+≤，即

11

,2

nnxx+≥因此1121211.2

nnnnnnxxxxxxx=

??????≥又由于122

12,nnnnxxxx+++≥+令2,nnnyxx=+则

11

.2

nnyy+≤由于21112,yxx=+=所以12

111.2

2

nnnyy--≤?=

因此2

21,2nnnnxxx-≤+≤故1211.22

nnnx--≤≤

点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础学问，以及不等式的证明，同时考查规律推理力量。

例8．（2023江苏，22）已知a＞0，函数f（x）＝ax－bx2。

（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2

b；

（2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；

（3）当0＜b≤1时，争论：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件。（Ⅰ）证明：依设，对任意x∈R，都有f（x）≤1，

∵f（x）＝b

abaxb4)2(2

2+--，∴b

abaf4)2(2

=≤1，∵a＞0，b＞0，∴a≤2b．

（Ⅱ）证明：必要性：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1?－1≤f（x），据此可以推出

－1≤f（1），

即a－b≥－1，∴a≥b－1；

对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1?f（x）≤1，由于b＞1，可以推出f（

b

1

）≤1，即a·

b

1

－1≤1，∴a≤2b；

∴b－1≤a≤2

b．

充分性：由于b＞1，a≥b－1，对任意x∈［0，1］，

可以推出：ax－bx2≥b（x－x2）－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1；由于b＞1，a≤2

b，对任意x∈［0，1］，

可以推出ax－bx2≤2bx－bx2≤1，

即ax－bx2≤1。

∴－1≤f（x）≤1。

综上，当b＞1时，对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2

b．

（Ⅲ）解：由于a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈［0，1］：f（x）＝ax－bx2≥－b≥－1，即f（x）≥－1；f（x）≤1?f（1）≤1?a－b≤1，即a≤b＋1，

a≤

b＋1?f（x）≤（b＋1）x－bx2≤1，即f（x）≤1。所以，当a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是a≤b＋1．22.解：原式?（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2。

当a=a2时，a=0或a=1，x∈?，当a＜a2时，a＞1或a＜0，a＜x＜a2，当a＞a2时0＜a＜1，a2＜x＜a，

∴当a＜0时a＜x＜a2，当0＜a＜1时，a2＜x＜a，当a＞1时，a＜x＜a2，当a=0或a=1时，x∈?。

点评：此题考查不等式的证明及分类争论思想。题型5：课标创新题

例9．（06上海理，12）三个同学对问题“关于x的不等式2

x＋25＋|3

x－52

x|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路。

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像