数学文化讲座(张奠宙)

数学文化与文化数学华东师范大学数学系张奠宙2003.12.3上海目录一。数学是人类文明的火车头。四个数学高峰二。争取中国数学在世界上的平等与独立三。一些数学文化的理论问题四。数学文化视角数学是人类文明的火车头

四个数学高峰古希腊文明--欧几里得《几何原本》文艺复兴--牛顿力学-微积分18、19世纪人类文明--伽罗华群论、非欧几何电磁学方程

黎曼几何与爱因斯坦相对论信息时代文明--冯.诺依曼计算机方案第一高峰：古希腊数学文化“对顶角相等”是否要证明？中国古代算学没有角的概念，谈不上对顶角。认为这是显然的，不需证明。

几何原本。命题15：对顶角相等。用公理3：等量减等量，其差相等。ABC古希腊和中国的春秋战国古希腊城邦实行奴隶主的“民主政治”。男性奴隶主选举执政官，决定财政、战争等大事。民主需要辩论，平等地说服。理性思考。崇尚精神上的真理追求中国春秋战国，实行君王统治。知识分子可以百家争鸣，但是以说服君王为目标。中国古代数学是官方的管理数学。崇尚实用。《九章算术》以丈量田亩，分配徭役，工程土方等计算方法。文化差异决定数学文化：理性演绎数学实用管理数学中国古代算学中国古代的算学

以算法为特征吴文俊继承特点以机器证明（计算机算法）获国家科学奖

祖冲之计算Pi享誉世界

中国数学整体上比埃及、巴比伦、印度晚

第二高峰

牛顿、莱布尼兹发明微积分文艺复兴：笛卡儿创立解析几何、坐标，“运动进入数学”。微积分思想：费马论证：周长一定的矩形以正方形面积最大。取无穷小量E

B(A-B)=(B+E)[A-(B+E)]BA–B2=BA–B2+AE–2BE+E2

整理得到（A-2B）E+E2=0略去E，得到结论A=2B。BA牛顿：自然哲学之数学原理1687完成，1736出版“流数术”。基督教镇压科学、处死科学家基督教的教义为科学留下了空间：人生来是平等的。

王室邀请数学家进入宫廷牛顿（爵士）、莱布尼兹是外交家欧拉（德国腓特烈大帝邀请到柏林、俄过沙皇喀德林一世邀请去彼得堡）中国除康熙邀请梅文鼎以外，数学家不受重视17世纪中国数学。

牛顿发明微积分的时代

前奏1606徐光启和利玛窦翻译《几何原本》前6卷。1690年，康熙帝向传教士白晋等学习几何学，对数。1701年，莱布尼兹将2进制数表交给白晋，白晋把伏羲64卦交给莱布尼兹。鸦片战争后的中国数学

落后欧洲三百年。李善兰（1811--1882）。中国传统数学最后一人，吸收西方数学，开创中国现代数学第一人。与伟列亚力（1815--1867）合作翻译《几何原本》后9卷，美国Loomis的《代微积拾级》（1859）。日本用此书。

中国最早的微积分译作李善兰（1811–1882）禾彳天意思是∫dx第三高峰：

19-20世纪初数学成就法国大革命和法国数学学派（柯西、蒙日……）德国工业的兴起和格丁根学派（高斯、黎曼）群论、非欧几何、复数、四元数、分析的严密化……（强调理性思维）

三个伟大的方程：忽略少谈的数学家

热传导方程

傅立叶（内燃机）

流体力学方程

拉普拉斯（航空）

电磁学方程

马克斯韦尔（电磁波）傅立叶（17681830）马克思韦尔1831-1879数学与物理狭义相对论与四维时空。广义相对论与黎曼几何。杨-米尔斯场–陈省身的纤维丛理论高维–低维（四维最难）Witten（物理学家）获得数学最高奖霍金（理论物理学家）参加2002数学家大会科学文化的代表：希尔伯特提出23个数学问题（1900）报载：瑞典的一位女助教解决了第16问题16。代数曲线和代数曲面的拓扑问题第二部分讨论dy/dx=Y/X的极限环的最大数目。其中Y,X分别是x,y的n次多项式苏联和中国的数学家研究过n=2的情形

希尔伯特1862-1943陈省身和华罗庚

（清华“双子”星座）E.Cartan

陈省身

吴文俊

创立大范围微分几何

哈代

华罗庚

陈景润、王元……中国的解析数论学派如果华罗庚到汉堡随阿丁（E.Artin)学习代数数论，中国的数学历史将要改写了？

两人唯一照片1972。北京希尔伯特的形式主义思潮形式主义和逻辑主义、直觉主义展开论战。形式主义思潮占据主导地位。形式主义。。两点之间有且只有一条直线，也可以说成两个啤酒瓶之间有一张桌子。数学=形式，内容无关紧要数学是公理体系。一切数学命题都可以形式地判定真伪

哥德尔说：不。（1931）数学：思想的体操？数学=公理；数学=逻辑？第四高峰：

第二次世界大战改造数学维纳、科莫哥罗夫：火炮自动控制运筹学产生于战场原子弹爆炸。冯.诺依曼的数学参与.美国国家的应用数学小组(AMP).柯朗.水下爆破。轰炸机的流体力学计算密码破译.图灵机的诞生电子计算机产生

（中国数学仍然停留在纯粹数学，没有介入反法西斯战争的努力战后：1948年的数学地图1948：美国仙农发表《信息的数学理论》1948：维纳发表《控制论》。信息、控制是数学吗？1948：vonNeuman计算机方案形成

中国缺乏这样的数学偶像信息时代的数学技术冯.诺依曼组织“数字天气预报”(1950)线性规划大发展.计算机实时控制.调度.卡尔曼滤波.航天技术CT扫描.拉东变换.计算机模拟技术.军事模拟.计算机软件的数学技术金融数学技术

（中国没有以上原创的数学技术，紧跟）中国科学最高奖吴文俊：机器证明王选：印刷革命数据压缩陈景润：1980年代的数学英雄

1970年：走出布尔巴基的光环布尔巴基的结构主义冲破“函数论”王国的统治用“代数结构、序结构、拓扑结构”统一数学。集合论、测度论、李群论、抽象代数、代数拓扑、泛函分析……融为一体。不能包括微分几何、数论、概率统计、计算数学、离散数学……1950年。吴文俊在《科学通报》介绍布尔巴基。无人喝彩。1970年。年轻数学家走出布尔巴基的影响1980年。中国大规模介绍布尔巴基学派。20世纪核心数学飞速发展从局部到整体（拓扑）从交换到非交换（算子代数。K理论）从线性到非线性（混沌、分维）从低维到高维、无限维随机数学大发展

第二部分

争取中国数学在世界上的

平等与独立二十世纪数学简史

数学中心的转移：巴黎------->格丁根------->普林斯顿1900(1900-1933)(1933--)莫斯科大学.Steklov数学研究所剑桥大学三一学院巴黎Poincare研究所波恩Max-Plank研究所加拿大Fields数学研究所黑色的1933年希特勒上台.排挤迫害犹太人.4月,命令一切犹太籍的教授立即离开校园.爱因斯坦;H.外耳(Weyl,妻子是犹太人);冯.诺依曼;柯朗;诺特;哥德尔;波利亚;兰道;世界一流的顶尖的数学家到了美国.那时美国正在经济危机之中.普林斯顿高级研究所的成立.6名教授:爱因斯坦;冯.诺依曼;外耳;Veblen,Alexander,Morse.中国现代数学的艰难历程同文馆中设天文算学馆的争论。（1860）x,y,z,w取代天地人元的历程1902年，江南考场某举子在试卷上写阿拉伯数字，主考官黄漱兰：“以夷变夏，其心殊不可问”。逐出考场。1847容闳带学生到美留学,没人学数学.1862年日本派人来中国考察,带回<代微积拾级>,为日本唯一的微积分读本.1898年,中国向日本大量派遣留学生.

19世纪,中国到欧美学数学的竟无一人.中国数学的发展第一个数学博士胡明复。哈佛大学（1917）1920年代数学系：学士水平1930年代数学系：硕士水平1940年代：实际上能够培养博士1980年代：大陆正式授予第一批数学博士世界著名的华人数学家陈省身（美籍）整体微分几何的奠基人）获沃尔夫奖（终身成就）。丘成桐（美籍）获费尔兹奖（40岁以下）华罗庚（1910-1985）美国科学院外籍院士。数论，多复分析，代数。冯康。计算数学。有限元方法创始人之一许宝录（1910-1970）数理统计学创始人之一年轻的华人数学家正在迅速发展中：田刚、夏志宏、张伟平……2002年国际数学家大会霍金来了！纳什来了！中国数学取得世界瞩目的成就。格局：美俄继续领先；西欧紧随其后日本正在迎头赶上；中国是一个未知数。

陈省身猜想“21世纪数学大国”（1988）。数学大国的含义：“在独立平等的基础上与世界各国的数学家进行交流”！

数学上还没有真正的独立！

离开皇冠上的明珠还很远费尔兹奖章

（只授予不超过40岁数学家）拉法格（法国）沃沃斯基（俄-美）他们都出生于1966年，今年36岁。大学毕业后，得到扶植攻Langlangds猜想--顶尖的数学课题。田刚上届（1998）获得提名，但没有获得。他是南京大学学士、北京大学硕士、随丘成桐在美国读博士。现在是麻州理工学院（MIT）教授考试文化的影响竞赛不是在考场上！奥林匹克数学竞赛金牌=数学家？？？好胜与好奇。一字之差。某大学副教务长说：“优秀学生不是‘高考状元’，而是在600分以上的0.618处。如果你的孩子是状元，当心他/她太注重细枝末节，没有大前途。21国参加的国际数学教育调查

（IAEP）1989。13岁学生成绩中国大陆80中国台湾73韩国73瑞士71苏联70法国64英国61美国55巴西37莫桑比克28中国数学水平怎么样？新华社：中国现在十分有陈省身、华罗庚那样的大数学家？离国际水平多远？吴文俊：“不好说”，“不好说”丘成桐：“还差得很远”中国只是潜在的数学大国！许多人以为“中国离皇冠上明珠仅一步之遥”大错特错！！“取法乎上，仅得乎其中”，“取法乎中，则得乎其下矣！”第三部分：

一些数学文化的理论问题1。第三次数学危机？绝对主义的破灭。2。检验数学真理的标准。纯粹数学为什么会有用？3。数学美的认识。4。推测数学是否允许存在？5。中国考据学派对数学的影响。（1）数学绝对主义的破灭数学结论绝对正确是做不到的，但是并没有到达“危机”的程度。选择公理是否准许使用？…………无限多盘糖果，每盘各取一颗，构成一个拼盘。拼盘里的元素不确定，没有指出“选择”的是什么糖！用选择公理可以得出巴拿赫怪论（1923）“一个球，可以分割为两个与原球全等的球”。于是倾向于不准用选择公理但是选择公理十分有用，例如有界的无限点列必可选出收敛子列。如图：究竟用不用？没有绝对正确的选择。

数学和其他学科一样，没有绝对。第三次数学危机，是故作“惊人之语”数学在一日千里地发展，没有危机。数学和其他科学一样，真理都是相对的，不存在绝对正确。但是，数学是思想材料，按照逻辑展开，在可以感受到的日常数学问题中，数学仍然比其他“经验科学”，更加准确。数学大厦的底层有裂缝，但是不会倾覆倒塌。（2）检验数学真理的标准是实践吗？逻辑正确是数学论文发表的基本要求。不必通过实践检验，结论一定正确。数学结论有好坏之分。只有“好”数学才值得发表。陈省身的好数学例子：方程。流形。球面上用一个直角坐标系是不够的，经纬线在北极相交，坐标和点不能一一对应。陈省身：不大好的数学的例子拿破仑定理：一个三角形，在三边上各作一个正三角形，其中心联起来也是一个正三角形。奥林匹克竞赛的题目，都不是好的数学。冯·诺依曼说：数学象在沙漠中的河流，如果在一些枝节上停留过多，就有干涸的危险。悬赏100万美圆的数学题目P=NP？黎曼猜想。庞加莱猜想Hodge猜想Birch等猜想Naiver–Stokes方程组3维光滑解的存在杨振宁-Mills场质量间隙的存在数学需要实践检验！有效性：信息论、控制论、计算机方案设计。冯·诺依曼放弃纯粹数学研究，投身应用数学深刻性：揭示客观世界的规律！黎曼几何，杨-Mills场，陈省身-西蒙斯理论美学价值：公认的科学价值。费马定理的证明。创新需要时间的检验。康托的集合论。模糊数学的价值（数学的里程碑？）3。数学美的通俗认识（一）壮观的描述：三体问题有效的手段。王选的数据压缩。和谐的规律。公式eiπ+1=0.奇特的证明。素数无限多的证明。绚丽的变化。分形演示艺术的图案。Esher的画数学画

俄罗斯数学家

佛明科作品随机过程爱舍儿

的画另外的世界3。数学美的通俗认识（二）1。美观。1/2+1/3=2/5？（和谐的天性）2。美好。（a+b)2=a2+b2(2ab)二次方程求根公式，丑陋但美好。3。美妙。三条高交于一点。妙！辅助线，代换，变形，对人的冲击。4。完美。数学的体系。数学的发展，人类的数学追求。4。儒家文化与中国数学数学在儒家学说中没有地位。数学家不受重视。中国传统数学缺少逻辑论证。思辨的理性精神，不如古希腊。

儒家文化是演绎的。中国传统数学也是演绎的。只是：缺乏形式逻辑的演绎！

中国中小学数学课程的逻辑要求远超西方宋明以后的儒学不再

面对原始问题孔孟经典不可动摇的公理朱熹的注疏必须遵循的定理和推论读书人的文章不过做一个练习而已八股文：按朱熹老夫子的标准答案做“学答”---美其名“代圣贤立言”

[清]戴震（1722--1777）考据学派对科学的影响

文字狱使读书人回避“原始问题”在“故纸堆”中考据、训诂，重证据、重演绎，接近西方的逻辑推理。儒家文化--宏观上的演绎系统考据文化--微观上的演绎方法考据学派的地位梁启超：“中国旧学，考据、掌故、词章为三大宗”。考据列在第一位。清代学术之特色为考据学。明清一代学术走的是，从反义理，重训诂，到独尊考据，再到兼重义理的道路。清末民初，中西文化屡有冲突，但考据文化和西方科学一直相安无事。梁启超谈考据文化自清代考据学派200年之训练，成为一种遗传。我国学子之头脑渐趋于冷静慎密。此种精神实为科学成立之基本要素。我国对于形的科学（数理），渊源本远。用其遗传上极优异之科学头脑，将来必可成为全世界第一等之科学国民（清代学术概论）

考据遗传=科学头脑胡适与考据

（周昌龙：《戴东原哲学与胡适的知识主义》。汉学研究12卷1期1910年，参加庚款考试。发觉做学问要从《十三经注疏》开始。留美期间，熟悉西方科学的同时，完成《诗言字解》《尔汝篇》《吾我篇》《诸子不出于王官论》。回国后继续整理国故从事《红楼梦考证》以及“三国”“水浒”等考证研究。考据影子：“大胆假设，小心求证”。胡适：《戴东原哲学》（1922）中国旧有的哲学，只有清代的“朴学”确有科学精神。这个时代是一个考证学昌明的时代，是一个科学的时代。戴氏是一个科学家，他长于算学，精于考据。他的治学方法最精密，故能用这个时代的科学精神到哲学上去。它的哲学是科学精神的哲学。《胡适文存》3集卷2考据学派与中国传统数学戴震编修〈四库全书〉，校订〈九章算术〉〈算经十书〉等。乾嘉考据学派的另一代表人物是钱大昕。他的弟子有李锐（1769-1817）汪莱（1768-1894）焦循（1764-1849）罗士琳（1789-1817）他们努力使算学从经学的负数地位解放出来。训诂与数学阮元（1764-1848）经学大师兼数学家。〈畴人传〉--中国第一部算学家传记李善兰（1811-1882）。清末中国数学的代表人物：“词章、训诂之学虽皆涉猎，然好之终不及算学”。古典数学为乾嘉学派所重视（钱宝琮）近来200年间，“小学”、“算学”是同时长进的。（章太炎）考据与现代数学

考据学派奉行“复古主义”，主张“西学中源”。终于没有走向现代数学。考据必须使用逻辑。例如要“考据传綦即八大山人，先证明“八大山人”就是“个山”，而“个山”即“传綦”。这里用了“甲是乙，乙是丙，于是甲是丙”的逻辑上的“传递性”原理。（洪万生、刘钝）“历代学者仅以训诂当名学。殊不知名学义大而经，训诂义小而粗。”（刘鼎和。19184月29日〈北京大学日刊〉）“数学=逻辑”的文化渊源数学有两个侧面:创造思考与逻辑证明中国提法：数学能力是基本运算能力，空间想象能力，逻辑思维能力（核心）。但是，“数学不等于逻辑”。逻辑是数学家得以保持健康的卫生规则。（大数学家H。外耳语）极而言之，我觉得数学和逻辑没有什么关系（日本著名数学家小平邦彦）考据文化对数学的正反作用中国传统文化对西方数学是否包容？（郑毓信）考据文化将数学的逻辑层面进行同化,成为中国现代数学教学的核心思想.同样,考据文化和演绎式的儒家文化,将创新性的数学思维方式进行过滤,没有很好吸收溶入.

适度强调逻辑，提倡数学创造。5。推测数学能否允许存在？1993年美国哈佛大学教授A.Jaffe和弗吉尼亚大学教授A.Quinn发表文章。物理学的分工：理论物理学家提出猜想和推测，实验物理学家进行验证。数学家却必须把提出猜想和进行证明全部承担。将来的数学是否可以由一些数学家进行猜测，推想，探讨。另外一些数学家进行证明？各方反映英国皇家学会会长M.Atuiyh表示赞同。他的老师提出“几何大纲”，证明不够，由他补正。美国代数学家SMacLane反对，证明万岁！分形理论的创立者B.Mandelbroit说，现在数学的清规戒律太多，警察太多。庞加莱很多原创的思想，证明不严密。如果“警察”禁止，数学的损失太大了庞卡莱受毕卡(Picard)的制约，没有在巴黎大学上过数学课程，因为不严格。突变理论创立者R.Thom

严格性是一个拉丁名词，让人想起“僵尸”。数学分为三类：

（1）婴儿为标记。正在成长允许修改。（2）以十字架为标记。已经证明，永远不朽。（3）以教堂为标记。由高级教士组成，专门评论数学论文应该属于那一类，价值如何。姜伯驹的讲话1995.“数学往往是最后取胜的法宝。数学用得好，你就赢了”“数学在20世纪下半叶有很大的发展，其中最大的发展是应用。跟第二次世界大战以前不一样，现在到处在用数学，更多的地方在试图用数学。因此，数学系、数学专业起什么作用？如果还是培养数学家、数学教授，就业的情况摆在哪儿，社会的需求量不是很大。数学系是毕业生，相当多的人，甚至多一半的人，要到其他行业里去起作用。”（引自《中国数学