元微积分期末复习提纲

一元微积分期末复习提纲、高阶导数,包括简单有〃阶导数;求导思路：逐次求导法2Γln(1+Q](n)=(-1>-1(n-1)!(1+x)nfɪ丫)=(-1>3Iχ+1n!.

(X+1)+1（兀、4(sinXXn)=sinX+n•一I2J（兀、；(cosxXn)=cosx+n•一I2J例题：P例1-6、PA:1,2110119、曲线的凹凸性及拐点;凹凸性与拐点的判别步骤：（1）求出一、二阶导数y，和y〃；（2）令y，，=0,解出y，，=0的点与y〃不存在的点X；

0（3）利用2解出的点划分函数的定义域；（4）画表分析、判别；（5）代入原函数式求出拐点的纵坐标,并写出结论；例题：P例-11、PA:4-6

113 119三、相关变化率利用复合函数的求导法则：虫=dy.dx,

dtdxdt解题步骤：（1）利用题设条件,写出函数关系式y=f（x）或F（x,y）0；(2)求出dy；dxdy(3)利用已知条件求出变化率：dy=dy.dx或dx=正；dtdxdtdtdydx例题：P例1—2、PA:4-5132 134四、微分的计算；微分的计算公式：dy=y'dx或df(X)=f(x)dx;例题：P例2-3,PA4138 141五、微分在近似计算中的应用;微分的近似计算公式：由dy∣ =f^(x)∆x一阶近似计算公式得:x=x0 0∆y=f(x+∆x)-f(x”f(X)∆x；000f(X+∆x)pf(X)+f(X)∆x;000特别地,当x=0,∆x=X时,则有f(x)≈f(0)+f(0)x;0例题：P例6-8,PA6140 141六、隐函数求导；求解步骤：(1)对方程F(x,y)=0两边同时求导(2)由求导后的方程解出y，，并按题目要求写出结论；或由原隐函数方程解出y=y∣ ,将(X,y)代入求导后的方程,解出0 1X=X0 00dydxX=X

0例题：P例1-4、PA1-4、P5,6;126 131 158七、参数方程求导;求导法则：如果X,y间的函数关系由参数方程x=中(t)(O\VC(α≤t≤0),

y=ψ(t)来确定,则由参数方程确定的函数的一阶导数公式为dydy=应dxdxdtTdyψ().

或—= ;dxφ(t)二阶导数公式为:d(dy'd2y_d(dy)_dt∣kdt/

dx2 dxIdx)dχdt例题：P例-10、PA5—7、P7,8;130 106 158八、中值定理定理内容；共性条件：函数在闭区间上连续,在开区间内可导；个性条件：罗尔定理要求区间端点的函数值相等；拉格朗日中值定理的两个推论：推论1、若y=f(x)在区间/上恒有f^(x)≡0,则f(x)在I上是一个常数,即f(x)=C;推论2、若y=f(x),y=g(x)在区间I上恒有f(x)≡g，(x),则f(x),g(x)在I上仅相差一个常数,即f(x)=g(x)+C;九、洛必达法则0,,匚“∞ f(x)<f<(x)1、与一标准型：Ilm =Iim—；0 ∞ g(X) g'(X)2、“0∙∞”型可先利用“无穷大与无穷小的关系”变形为“0”或“∞”0 ∞标准型后,再使用洛必达法则求解;3、“…”型可先“通分”后变形为“0”或“∞”标准型,再使用洛必达法则求解；4、“00”、“卜”与“80”型,可先利用公式y=Clny变形为指数函数后,再利用复合函数连续性的推论和洛必达法则求解；例题：P例1—11、PA、P9;151 156 159十、不定积分的概念、性质若FQ)=f(x),则称F(x)是f(x)的一个原函数；不定积分与导数或微分互为逆运算;不定积分的导数或微分等于被积函数或被积表达式：对一个函数的导数或微分求不定积分,其结果与这个函数仅相差个积分常数：JF/(X)dx=F(X)+C或JdF(x)=F(x)+C;例题：PA:1—3;B1168不定积分、定积分的第一类换元法注：1第一换元法又称为“凑微分法”即“凑”复合函数的中间变量的导数,可以不设代换完成；2不定积分与积分变量有关,故需要“回代”变量；而定积分与积分变量无关,运算时不需要“回代”；例题：P例1—16,18、P3；171 179P例13>PA:1；225 229十二、不定积分、定积分的第二类换元法1、根式代换题型：被积函数中含有根式平山的形式被开方式为线性函数cx+d解题思路：“去根号”；r—r 、'解题方法：令t=maχ+b,解出X=χ,有dx="如dt；Ycx+d ctm—a ICtm-a,特别地，t=nax+b,解出X=T,有dx=%-1dt；

a a代换原则：由左至右、依次代换、一次完成；例题：P例22；PB2(1)(2)；P例176 180 225补充例题：J4LX、J81_dx、∫4x+2YX；01+√x iX+3x o√2X+12、三角代换题型：被积函数中含有根式Carx,Canr,、:XTa的形式被开方式为线性二次函数解题思路：“去根号”；解题方法：(1)含有*,a=的形式：令X=asint,有dx=aCostdt；(2)含有、a+X2的形式：令x=atant,有dx=asec2tdt；(3)含有《XT£的形式：令x=asect,有dx=asecttantdt；代换原则：由左至右、依次代换、一次完成；例题：P例2325PB2(3)-(5),P3(15)(16)；177 180 197P例5PA1(6),P1(8),6(1)(2)；226 229 252注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关;十三、不定积分、定积分的分部积分法1、不定积分的分部积分公式：JUdv=uv_JVdu；定积分的分部积分公式：J…uVb_Jbvdu;a aa2、凑成公式中的vG)的“优先次序”：1指数函数：=Ideax；a2三角函数：Sinaxdx=--dCoSaxCoSaxdx=—dSinax；aa3幂函数：xμdx=--—dxμ+ι;μ+1例题：P例1-5,10,11;PA1,B2-3;；182 186P例9-12、PA,2;;227 229十四、定积分的性质关于被积函数的性质：Jbdx=b-a；aJbkf(x)±…±左f^χj∖dχ-k∖bf(X)去±…土左Jbf(X)去;

111 "几」 Il ππa关于积分区间的性质：Jadx=0；aJbf(x)dx=-Jaf(x)dx；abJbf(x)dx=Jcf(x)dx+Jbf(x)dx;aac关于对称区间上的性质：关于不等式的性质：(1)若在区间［a,b］上，f(x)≥0,则Jbf(x)dx≥0；a(2)若在区间［〃,b］上，f(Q≤g(Q,则1bfG)dx≤∫bg(χ)dχ；aa(3)设M及m分别是函数f(x)在区间Lb］上的最大值及最小值,则m(b一a)≤∫bf(x)dx≤M(b一a);a积分中值定理：如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，则在［a,b］上至少存在一点ξ,使得∫bf(x)dx=f(ξ)(b一a);a例1、利用定积分的几何意义计算定积分的值：PB:2⑴一(2)；212例2、利用定积分的性质比较定积分的大小：PA,6;；212例3、利用定积分的性质、单调性与函数的最大小值估算定积分的值：PA,5;；212例4、利用对称区间上的定积分的性质计算定积分的值：P例、PA:3；226 229十五、变限求导变上限函数有求导：定理及解法：d∫xf(t)dt=f(x)；dxa例题：P例1一例4;PA,1-2；P单元训练五1(1)⑵(4)(6),2(2)；216 222 204含有变上限定积分的极限：解法：洛必达法则+微积分基本定理例题： 例5,PA,3;P1(3)；217 2 252十六、定积分应用：面积、体积；解题步骤:(1)画出草图；(2)建立联立方程组,解出两条曲线的交点坐标；(3)画出“穿透射线”，确定积分方向与积分区间选择与旋转体相同的积分方向；(4)解出平面图形的面积：或A=∫"["出口曲线"―"入口曲线"]dyc与绕轴旋转而成的旋转体的体积：或V=∫d兀[(出口曲线»-(入口曲线)21dy；

y Cl- 」例题：P例12323P例、PA1,2,5,6；226-237 244十七、无穷区间上的广义积分概念及解法:∫+wf(x)dx=lim∫bf(x)dx；a b—⅛+8a∫bf(x)dx=lim∫bf(x)dx；-∞a———8 a∫+^f(x)dx=∫Cf(X)dx+∫+^f(