高考数学(深化复习-命题热点提分)专题12-空间几何体的三视图﹑表面积及体积-理

PAGEPAGE9专题12空间几何体的三视图﹑表面积及体积1．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为()解析：三棱柱一定有两个侧面垂直，故只能是选项C中的图形．答案：C2．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析由于C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.答案C3.一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则其俯视图为()解析由题意得正方体截去的两个角如图所示，故其俯视图应选C.答案C4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()解析左视图是从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是左下角与右上角的连线，故选C.答案C5．如图，用斜二测画法得到四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为eq\r(2)，则原四边形的面积是________．答案8eq\r(2)6.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是()A．24 B．12C．8 D．47．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2) C．1 D.eq\r(3)解析有三视图可以得到原几何体是以1为半径，母线长为2的半个圆锥，故侧视图的面积是eq\f(\r(3),2)，故选B.答案B8．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()A.eq\f(\r(2)π,3)＋eq\f(1,6) B.eq\f(4π,3)＋eq\f(1,6)C.eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6) D.eq\f(2π,3)＋eq\f(1,2)解析据三视图可知，该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体，其直观图如图所示，其中BA，BC，BP两两垂直，且BA＝BC＝BP＝1，∴(半)球的直径长为AC＝eq\r(2)，∴该几何体的体积为V＝V半球＋VP­ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up12(3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BA·BC·PB＝eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6).答案C9.某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为()A．92＋24πB．82＋24πC．92＋14πD．82＋14π解析该几何体是个半圆柱与长方体的组合体，直观图如图，表面积为S＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.答案C10.四棱锥P­ABCD的三视图如图所示，四棱锥P­ABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2eq\r(2)，则该球的表面积为()A．12π B．24π C．36π D．48π解析将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥P­ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，且该正方体的棱长为a.设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF的中点为G，连接OG，OA，AG.根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2eq\r(2)，即正方体的面对角线长也是2eq\r(2)，可得AG＝eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)a，所以正方体的棱长a＝2，在Rt△OGA中，OG＝eq\f(1,2)a＝1，AO＝eq\r(3)，即四棱锥P­ABCD的外接球半径R＝eq\r(3)，从而得外接球表面积为4πR2＝12π，故选A.答案A11．用6根木棒围成一个棱锥，已知其中有两根的长度为eq\r(3)cm和eq\r(2)cm，其余四根的长度均为1cm，则这样的三棱锥的体积为________cm3.解析由题意知该几何体如图所示，SA＝SB＝SC＝BC＝1，AB＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3)，则∠ABC＝90°，取AC的中点O，连接SO、OB，则SO⊥AC，所以SO＝eq\r(SA2－AO2)＝eq\f(1,2)，OB＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),2)，又SB＝1，所以SO2＋OB2＝SB2，所以∠SOB＝90°，又SO⊥AC，所以SO⊥底面ABC，故所求三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12).答案eq\f(\r(2),12)12．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．解析由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S▱OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).答案24eq\r(2)13．如图所示，E，F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)解析由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．答案②③14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．解由圆台的上、下底面的面积之比为1∶16，设圆台上、下底面圆的半径分别为r、4r，圆台的母线长为l，根据相似三角形的性质得eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)，解得l＝9cm.所以圆台的母线长为9cm.15．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积．解(1)正六棱锥．(2)其侧视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝eq\r(3)a，AD的长是正六棱锥的高，即AD＝eq\r(3)a，∴该平面图形的面积S＝eq\f(1,2)eq\r(3)a·eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a2.(3)V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)a2×eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a3.16.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为h1＝eq\r(42＋32)＝5.左、右侧面的底边上的高为h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).故几何体的侧面面积为：S＝2×(eq\f(1,2)×8×5＋eq\f(1,2)×6×4eq\r(2))＝40＋24eq\r(2).17.正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(6)，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．(2)设正三棱锥P­ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP­ABC＝VO­PAB＋VO­PBC＋VO­PAC＋VO­ABC＝eq\f(1,3)S侧·r＋eq\f(1,3)S△ABC·r＝eq\f(1,3)S表·r＝(3eq\r(2)＋2eq\r(3))r.又VP­ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(2eq\r(6))2×1＝2eq\r(3)，∴(3eq\r(2)＋