第二章.轴向拉压变形

第二章■轴向拉压变形目录§2-1轴向拉伸和压缩的概念§2-2轴向拉压时横截面上的内力和应力§2-3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力§2-4.材料在拉伸和压缩时的力学性能§2-5许用应力安全系数拉压强度§2-6轴向拉伸或压缩时的变形§2-7直杆轴向拉伸或压缩时的变形能§2-8应力集中的概念§2-9拉（压）超静定问题§2-1轴向拉伸和压缩的概念亠、基本概念：所谓的轴向拉伸和压缩是指作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件的轴线重合时，杆件沿着轴线方向发生的伸长或缩短。F拉杆FFF拉杆FF1、受力特点外力或外力合力的作用线与杆轴线重合2、变形特点由向伸长或缩短1、举例说明：八-4—f计算简图R 拉杆F匕BBP

1、举例说明：八-4—f计算简图R 拉杆F匕BBP

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_F2目录§2-2轴向拉压时横截面上

的内力和应力亠.轴力及轴力图1•轴力的概念举例用截面法将杆件分成左右两部分，利用X轴方向的平衡可得：'XONF=Q-N=F结论因F力的作用线与杆件的轴线重合，故，由杆件处于平衡状态可知，内力合力的作用线也必然与杆件的轴线相重合。⑵定义：上述内力的就称为轴力其作用线因与杆件的轴线重冶。得名2轴力正负号规定：规定引起杆件拉伸时的轴力为正，即拉力为正;压缩时的轴力为负，即压力为负。J |_N -E»| p3轴力图⑴作法：A、 用截面法求出各段轴力的大小；B、 选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面上的轴力；C、C、拉力绘在（轴的上侧，压力绘X轴的下侧⑵举例:解军、①求支反力R由整杆的平衡方程瓦X=0二 + P+巳=0二R=1CKN②用截面法求AB段轴力，保留-1截面左部X=0-汕-R=0-N厂10NK同理可求HBC、CD、DE段内的轴力分别为：N2=RP1-50KN拉力N3…P3P4—5KN压力N4二20KN拉力XX44用截面法求出各段轴力40KN55KN25KN20KN—CbE③根据轴力图的作法即可画出轴力图1、应力1平面假设实验:受轴向拉伸的等截面直杆，在外力施加之前，先画上两条互相平行的横向线d然后观察该两横向线在杆件受力后的变化情况。acdacdbd实验现象变形前，我们在横向所作的两条平行线在变形后，仍然保持为直线，且仍然垂直于轴线，只是分别移至b、c'位置。实验结论变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。面假设CJFPCJF*FCJFPCJF*F平面假设拉杆所有纵向纤维的伸长相等册幷击r横截面上材料的均匀性> ►内力是均材料的均匀性各纵向纤维的性质相同匀分布的各纵向纤维的性质相同A (2-1A 截面面积横截面上的应力拓展对于等直杆，当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面一_险截面危险截面上的正应——最大工作应力，其计算公式应为：amaxNmaxA应力正负号规定规定拉应力为正，压应力为负（同轴力相同）2、公式2-1的应用范围:外力的合力作用必须与杆件轴线重合不适用于集中力作用点附近的区域jZ当杆件的横截面沿轴线方向变化缓.慢，而且外力作用线与杆件轴线合时，也可近似地应用该公式。如左图"Ax3、圣维南原理⑴问题的提出公式2-D的适用范围表明式不适用于集中力作用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就会发生变化。理论和实践研究表加力方式不同，只对力作用点附近区域的应力分布有显著影响，而在距力作用点稍远处，应力者E趋于均匀分布，从而得出如下结论，即圣维南原理。-15DKN-15DKN⑵圣维南原理作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可不计。⑶圣维南原理运用由圣维南原理可知：下图I中的c）、（d）都可以用同一计算简图a）（来代替，从而图形得到很大程度的简F L-EF/2F L-EF/2F/2F/2匸F/2一横截面为正方形的砖柱分为上下两段，其受力情况，各段长度及横截面尺寸如图所示。已知P=50KN，试求荷载引起的最大工作应力。解：（一（作轴力图如图所示A1PP-SOKNOP1B2C（二）由于此柱为变截面杆，上段轴力小，截面积也小，下段轴力大，截面积也大，故两段横截面上的正应力都必须求出，从而确定最大的正应力。Ni-50KN_2Ni-50KN_2A1 240240mm…0.87106N/m2（压应力）一1.1106N/m2（压应力）一1.1106N/m2（压应力）2A2 370370mm由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为1.1MPa,是正应力。§2-3直杆轴向拉伸或压缩时目录斜截面上的应力上节中我们分析了拉（压）杆横截面上的正应力，这是特殊截面上的应力，现在我们来研究更一般的情况，即任一截面上的应力，对不同材料的实验表明，拉（压）杆的破坏并不都沿横截面发生，有时却是沿某一斜截面发生的。一、斜截面上应力公式推导：1.基本概念横截面一一是指垂直杆轴线方向的截面;斜截面一一与杆轴线不相垂直的截面。2.公式推导（采用截面法）KF二F虫①全应力:KFP=Acos-0cosNP②正应力:③切应力:(2-3)C0二psin：二0sin2-—(2-4)：、讨论上述公式从上可知•、•，均是〉的函数，所以斜截面的方位不同，截面上的应力也不同。当=0时，斜截面成为横截面。「达最大值［max*同时：.达最小值Fin=0当-45时,达到最大值/2――（2-6）③当=90（时，：：.=0：.=0表明在平行于杆件轴线的纵向截面上无任何应力。§24.材料在拉伸和压缩时的力学性能重要内容金属材料的材料力学性质：包括低碳钢和铸铁非金属材料的力学性质：包括混凝土、木材及玻璃钢一、材料力学性质的定义材料在外力作用下，强度和变形方面所表现出的录能。标准试件低碳钢、铸铁工作段长度 工作段长度 ---标距i |產 Ilo=10O或5d11、低碳钢CWO・3%拉伸实验及力学性能拉伸曲线塑性材料的典型代表(Tp拉伸曲线塑性材料的典型代表(Tp—比例极限(re—'单性极限Ts—屈服极限Tb—虽度极限(T(T—£试验设备:JP7»试验设备:JP7»万能试验机用来强迫试样变形并测定试样抗力的机器。MH变形仪用来将试样的微小变形放大到试验所需精度范围内的仪器。塑性指标延伸率i'010%h——试件拉断后的长度io断面收缩率A_A■-AMO%人—件拉断后断口处的最小横截面面积》5%H塑性材料「＜5%—脆性材料

卸载后重新加载，曲线将沿卸载曲线上升。如对试件预先加载，使其达到强化阶段，然后卸载；贝X当再加载时试件的线弹性阶段将增加，同时其塑性称为冷作硬化现象0.22、其它金属材料拉伸时的力学性能材料性质：;较大，属塑性材料。上述这些金属材料无明显屈服阶段，规定以塑性应变;s=0.2%所对应的应力作为名义屈服极限，记作％20.2%3测定灰铸铁拉伸机械性能-—脆性材料的典型代表强度极限。-—脆性材料的典型代表强度极限。b=^▽b「拉伸强度极限脆性材料唯一拉伸力学性能指标。拉伸曲线中应力应变不成正比例，且无屈服、颈缩现象，总变形量很小很低。4、金属材料压缩时的力学性能①低碳钢压缩实验：低碳钢压缩应力4、金属材料压缩时的力学性能①低碳钢压缩实验：低碳钢压缩应力O 0.1 0.2②铸铁压缩实验:Sy＞「bL，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面为与轴向大致成4&〜5&的滑移面破坏。塑性和脆性材料变形和破坏特点塑性材料断裂前变形大，塑性指标高，抗拉能力强。常用指-一屈服极限，一般拉和压时的脆性材料断裂前变形小，塑性指标低。常用指标是5非金属材料的力学性能混凝土近似均质、各向同性材属脆性材料，工程中一般用于受压构件的制作。木材各向异性材料。玻璃钢玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料各向异性材料。优点是：重量轻，强度高，工艺简单，耐腐蚀。§2-5许用应质全系数i压强度(Tp(Tp—■比例极限(Te—弹性极限(ys—屈服极限(Tb—强度极限线弹性阶段p以下的直线部分是线弹性阶段称为比例极限非线弹性阶：p与二e之间的曲线为非线弹性阶段称为单性极限屈服阶段图中锯齿形部分称为屈服阶段。上屈服极限不太稳定，下屈服极限较稳定。通常把下屈服极限称为屈服极限或流动极限，用S表示。强化阶段图中锯齿形部分至之间的曲线段称为强度阶段产b称为强度极限。颈缩阶段r点之后存在着一局部范围，该范围内横向尺寸急剧缩小，形成颈缩现象，直至拉断。该范围就称做颈缩阶段。一、基本概念1极限应力构件在外力作用下，当内力达到一定数值时，材料就会发生破坏，这时，材料内破坏点处对应的应力就称为危险应力或极限应力。塑性材料—「屈服极限S作为塑性材料的极限应力。脆性材料——虽度极限b作为脆性材料的极限应力。2、强度条件:①塑性构件在荷载作用下正常工作条件是:式中：ns 于I的系数，称为安全系数25~2.5上式中，令1=—贝比b]其中，G】――用应力②脆性构件在荷载作用下正常工作条件是：a<Lr]=lbnb式中几——于1的系数，称为安全系数5~3.0甚至4~14由此，我们得材料的强度条件为：。兰[叮 (2-123、安全系数：标准强度与许用应力的比值，是构件工作的安全储备。确定安全系数要兼经济与安全考虑以下几方面：极限应力的差异；构件横截面尺寸的变异；荷载的变异；⑷计算简图与实际结构的差异；(5)考虑强度储备。二、强度计算对于轴向拉压构件，因N/A，于是根据强度条件，我们可以解决：①强度校核判断构件是否破坏_ Nmax...IImaxA.②设计截面构件安全工作时的合理截面形状和大小③许可载荷的确稠件最大承载能力的确定1强度校核:例1、图示空心圆截面杆，他径18mm内彳径=15mm承受轴向荷载=22kl作用，材料的屈服应力=235MPa安全因数n=1.5试校核杆的强度解：杆件横截面上的正应力为口- 4F「D2-d2422103N」0.018ti2-0.015m21=283106Pa=283MPa材料的许用应力为23511汁WMPa显然，工作应力大于许用应力，说明杆件不能够安全工作2、截面设计例2、如图所示，钢木组合桁架的尺寸及计算简图所示。已知P=16KN钢的许用应力訂=120MPa试选择钢拉杆“的直径dA-A-18m解：⑴求拉杆〔的轴力N用一假想载面km截取桁架的CJ部分（图），并研究其平衡：'Ma=0=6N-3P二0P-N=一8KN28100N1201血二0.66710常从而:d-生B解：1、取为研究对象，并作受力图如d-生B解：1、取为研究对象，并作受力图如图所示。2、计算各杆轴力二40.667104/二0.9210m9.2mm取:d=9.2mm[考虑到实际工程中，用于圆拉杆的圆钢的最!小直径为故可选用=10mm]3、许可载荷的确定例3图示结构中①杆是直径为的圆杆，②杆为XNo5槽钢。材料均为3钢，E=210GPe求该拖架的许用荷载'&=0 -叫cos-N2=0 叫=1.67F「二Fy=0 叫sin_F=0 N2=T.33FN233、强度校核11AB杆：1[Fh——[；「]A=57.9kN1 1.67 1BC杆：1[F]2二d“匸入=125kN1.334、确定许用荷载二[F]=min{[F]i,F]2}=[F]i=579kN§2-6轴向拉伸或压缩时的变形、等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形目录直杆在外方作用前后的情况如图中所示:1、轴向变形轴线方向线应变:横截面上应力:由虎克定律:El

lNlEA横截面上应力:由虎克定律:El

lNlEA——（2-13）提示：公式（2—13）也是虎克定律的另一种表达形式式中：EA——杆件的抗拉（压）冈I」度EA越大，I越小物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸与F和杆件的原长度成正比，与横截面面成反比。2、横向变形：从图中可看出，横向应变为：5d_b名= = bb实践表明：当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变;之比的绝对值为一常数，即：1――称为横向变形系数或泊松比，是个没有量纲的量。讨论因;和:的符号总是相反的。故可知Z=-V-Z几种常用材料的值请见表-2书M3・变截面杆在轴向拉伸或压缩时的变形dSLxcl SLdSLxcl SLdpi』〕SL图所示，截面尺寸沿轴线变化缓慢，且外力作用线与轴线重合，我们在杆件中取微段，由于非常微小。故c「Nxd〉AXE

从而，整个杆件的伸长为:【Nxdx1AxE等直杆在分布力系作用下的变形如图，等直杆，外力为，自重集度为q，长度为_，容重为弹性模量为E，容许应力为可求：伸长纠。等直杆在分布力系作用下的变形F FN(x)dN(X)t_Ax丨丨：dxF FN(x)dN(X)t_Ax丨丨：dxIN(x)(2-16)F［分析此题与上面一题非常相似，由于自重的影响，杆内各横截面的轴力不相等，故不能直接应用二EA而必须从杆的长度为X的微段出发，略去无穷小量（X,）用公式2-16），并利用积分求彳粗BB2作微段的受力分析如图所示，利用虎克定律可得伸长为:为:0E^A的强度，并求点的位移。设=60KN3m0E^A的强度，并求点的位移。设=60KN3mF(b)N爭％1『@dx

EAEA对上式两边按杆件长度进行积分，即可求得整个杆件的伸长量为：W«P—L'I2丿xdx<EA举例图示为一简单托架bc杆为圆钢，横截面直d=20mmBD杆为号槽钢。若」=16(MN/m2,E=20GN/m2试校核托架BBi禺炉二 :B4(C)\I\I解：(1)对B点作受力分析，如图b)(2)根据静力学平衡方程求未知应力Nbc=_Nbdsin工Nbd解：(1)对B点作受力分析，如图b)(2)根据静力学平衡方程求未知应力Nbc=_Nbdsin工Nbdcos：=F=-3NnBD5NBD二F/COS：%FNbc■Nbd35 3 3FF 60=-45(KN)54 4 45 5=F=沁60=75(KN)4 4Nbc4NbdA2d2=143MN/m2：：［二］751031024 10》10》二73.2MN/m2：：［二］(3)由虎克定律求C、BD杆的变形:NbcLbcEA4FLbc4EA451032001C931410上=21510‘mNbdLbdEA5FLbd4EA75105200101024106=1.8310^m注：本题尚有其他求解方法，要求同学课后思考目录

§2-直杆轴向拉伸或压缩时的变形能一、基本概念1、引例大家都知道，我们用手给手表的发条上过劲后，手表的发条就能带动指针的转动，从而显示时间。在这里，我们给发条上劲的过程，实际上就是我们对发条做功的过程，在这个过程中，发条逐渐聚集了一种能量，当我们停止对发条作功后，这种能量就会被逐渐地释放出来对手表的指针做功，推动指针转动。上述提到的发条实际上就是一弹性体上述例子的物理意性体在外力作用下会产生变形。在变形过程中，外力所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。当外力逐渐减小，变形逐渐消失时，弹性体又是将释放能量而作功。上面所提到的这种能量，因为是在弹性体变形过程中产生的，因此我们就称其形能2、 定义在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形能或应变能。3、 变形能的计算7777Z1Lr1I1ii7777Z1Lr1I1iii1i111!II11AlF1iF则:FAZ设直线的斜率为kdgPEL请看上图，杆件的上端固定，下端作用一F由零逐渐增加SF。在比例极限的范围之内，l关系见右图。当外力加到时，杆件的伸长量L表示。当外力加到+E(时，杆件的伸长量L|+d(L1)表示。由于匕为无穷小量，在区aib内我们可近似地认为为常量，则在这个区间内外力作的功为：TOC\o"1-5"\h\zdW二Fid Li二W二 Fid Li二k Lid Li=k,〜F422

从上图中可看dW在数值上等于阴影部c分面积，当我们把拉看作是一系列的积累时，则拉力作的总/应为上述微分面积的总W等于~戯下与水平轴之间区域的面积。即:根据功能原理可知F所作的功应等于杆件所储存的变形能。（缓慢加载，动能忽略，热能微小，也可忽略）

杆件的变形能用示，则:例：求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A的位移）A。已知F=10kN杆长I=2m?杆径d=25mm,:-=30°，材料的弹性模量E=210GPa由虎克定律可知:U=W=~FL22-17FLEAf2l2EA(2-18)由虎克定律可知:U=W=~FL22-17FLEAf2l2EA(2-18)由于整个杆件内各点的受力是均匀的，故每单位体积内储存的变形能都相同，即比能相等，通常比能用UFL1 = = QgV2AL2比能（线弹性范围内单位比能的单位为/m3解：N〔=NN〔=N2=——F——2cosU=2N；1=(2cos：)1

2EAEA10103N2占( )2(2103mm)二2cos303 n 2(210103MPa)[(25mm)2]4=6467103Nmm64.67JN12l应力集中现象:由于构件截面突然变化Fd4F转nIJmaxFd4F转nIJmax理想应力集中系数理想应力集中系数k= maxCTnom其中：、二max■最大局部应力二nom――名义应力（平均应力）应力集中程度与外形的突变程度直接相关，突变越剧烈，应力集中程度越剧烈。静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑。动载下，塑性和脆性材料均需考虑。§2-9拉（压）超静定问题目录一、静定与超静定的概念：1静定问题仅利用静力学平衡方程就可求解出全部未知力的问题称为静定问题相应的结构滞定结构特点：未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程数目。2、超静定问题仅利用静力学平衡方程无法确定全部未知力的问题称为超静定问题静不定问题相应的结构称超静定结构或静不定结构特点：未知力的个数多于独立的平衡方程数目

、实例铁仝筒*螺栓?777Z77ZW7Z777Z77Z、实例铁仝筒*螺栓?777Z77ZW7Z777Z77Z如图所示：当把螺母旋进4圈以后，螺栓必然受到拉力而山而使筒受到压力N2,由于在这里求解N1,n2的静力平衡方程只有一个：Ni-2二0=N厂N2故不能求解出N^N2，因此该问题属静不定问题。三、 静不定次数(——超静定次数)=未知力数目一独立平衡方程的数目。四、 求解步骤：通过分析多余未知力的数目和独立平衡方程的数目，判明是否属静不定问题，若是静不定问题，属几次静不定问题。建立静力学平衡方程。根据构件之间的变形关系，找出几何方程。根据虎克定律建立物理方程。根据静力平衡方程、几何方程、物理方程求解出全部求知力。[注：关键步骤：找几何方程■]五、静不定问题的解法举例:(1)建立静力学平衡方程EiAi(2)寻找几何方程(1)E2A2也G^ac+Mbc=O/////^■//⑵BC. e?a|1F1122(3)建立物理方程EiAi-Rb2E2A2⑶(Rb引起的轴力为压力Rb(4)依据几何方程和物理方程确立变形协调

条件(或称相容方程、补充方程)r rRA1 RB20E1A1 E2A2(5)联立方程(1)、(4),即可求解未知力Ri(5)联立方程(1)、(4),即可求解未知力RiPE1A12R2E1A12E2A21PE2A21E1A2E2A21解题关键点：找几何方程、建立协调条件方程。△△0三、解题举例N3山f“N21、如图所示结构中，1,2杆抗拉刚度为E1A1,3杆抗拉刚度为E1N3山f“N2解：1)取A结点研究，作受力图如图所示TOC\o"1-5"\h\z2)建立静力学平衡方程由对称性可知汕=N2 (1)》Fy=O二2N[COs+N3=P(2) V.K由于未知力个数是2个(叫和N3)，而 '■平衡方程数只有1个，故为一次超静定问题。 FEA同学思考EAA2TlE1A1ri八]fE2A2lV7777777777B3）几何方程E3A3