高考数学(考点解读-命题热点突破)专题14-直线与圆-文

PAGEPAGE1专题14直线与圆文【考向解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.【命题热点突破一】直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).例1、【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4【变式探究】(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为()A．0或－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)或－6C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2) D．0或eq\f(1,2)【答案】(1)C(2)B【特别提醒】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【变式探究】已知A(3,1)，B(－1,2)两点，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为()A．y＝2x＋4 B．y＝eq\f(1,2)x－3C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0【答案】C【解析】由题意可知，直线AC和直线BC关于直线y＝x＋1对称．设点B(－1,2)关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x0，y0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－2,x0＋1)＝－1，,\f(y0＋2,2)＝\f(x0－1,2)＋1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝0，))即B′(1,0)．因为B′(1,0)在直线AC上，所以直线AC的斜率为k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，所以直线AC的方程为y－1＝eq\f(1,2)(x－3)，即x－2y－1＝0.故C正确．【命题热点突破二】圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．例2、【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【变式探究】(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝4(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2eq\r(3)，且与直线l2：2x－eq\r(5)y－4＝0相切，则圆M的方程为()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4【答案】(1)D(2)B【解析】(1)因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±eq\r(3)，所以选D.(2)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a>－2，半径为r，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋22＋\r(3)2＝r2，,\f(|2a－4|,\r(4＋5))＝r，))解得满足条件的一组解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,r＝2，))所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.故选B.【特别提醒】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【变式探究】(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________．(2)已知直线l的方程是x＋y－6＝0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形(O为坐标原点)，则△OAB外接圆的方程是____________________．【答案】(1)(x－2)2＋(y－1)2＝10(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8(2)设△OAB的外心为C，连接OC，则易知OC⊥AB，延长OC交AB于点D，则|OD|＝3eq\r(2)，且△AOB外接圆的半径R＝|OC|＝eq\f(2,3)|OD|＝2eq\r(2).又直线OC的方程是y＝x，容易求得圆心C的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.【命题热点突破三】直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d<r⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，d>r⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d>r1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．例3、【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。【答案】（1）（2）（3）【解析】（3）设因为，所以……①因为点Q在圆M上，所以…….②将①代入②，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆没有公共点，所以解得.因此，实数t的取值范围是.【变式探究】(1)已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是()A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A．3B.eq\f(\r(21),2)C．2eq\r(2)D．2【答案】(1)A(2)D(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝eq\f(1,2)r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝eq\f(|5|,\r(k2＋1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.【特别提醒】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．【变式探究】(1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为()A．－6B．－3C．－3eq\r(2)D．3【答案】(1)A(2)C【解析】【高考真题解读】1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选A．2.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离___________.【答案】【解析】利用两平行线间距离公式得.3.【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】44.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）（）（II）【解析】（Ⅰ）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.5.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。【答案】（1）（2）（3）【解析】（3）设因为，所以……①因为点Q在圆M上，所以…….②将①代入②，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆没有公共点，所以解得.因此，实数t的取值范围是.1．(2015·新课标全国Ⅰ，14)一个圆经过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4)【解析】2．(2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．【答案】(x－1)2＋y2＝2【解析】直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝eq\r(（1－2）2＋（0＋1）2)＝eq\r(2).故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.3．(2015·广东，5)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0【答案】D【解析】设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有eq\f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选D.4．(2015·新课标全国Ⅱ，7)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝()A．2eq\r(6) B．8 C．4eq\r(6) D．10【答案】C【解析】由已知，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－9)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2eq\r(6)，y2＝－2＋2eq\r(6)，所以|MN|＝|y1－y2|＝4eq\r(6)，选C.5．(2015·重庆，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2 B．4eq\r(2) C．6 D．2eq\r(10)【答案】C6．(2015·山东，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)【答案】D【解析】圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k存在，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与已知圆相切，∴eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋（－1）2))＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－eq\f(3,4)或k＝－eq\f(4,3).7．(2014·江西，9)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.eq\f(4,5)π B.eq\f(3,4)πC．(6－2eq\r(5))π D.eq\f(5,4)π【答案】A8．(2014·陕西，12)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________．【答案】x2＋(y－1)2＝1【解