一类叠加线性干扰的非线性系统的性能评估问题

一类叠加线性干扰的非线性系统的性能评估问题

1非线性性能下限估计模型现代化工过程控制系统通常包含大量的电路。在维护和维持这些电路是一项繁重的工作是非常困难的。控制性能评估(controlperformanceassessment,CPA)正是一种保证控制系统稳定高效运行的辅助管理技术。近年对CPA的研究有众多学者关注,但主要都限于线性系统。实际中,许多过程本身就含有非线性特征或者线性过程在运行中由于各种因素也会引入非线性,如果忽略非线性的存在继续使用线性方法对其进行性能评估,所得结论可能引起误导。本文以线性系统的最小方差性能下限估计方法为基础,研究一类叠加有线性干扰的非线性系统的性能评估问题,指出使用线性方法评估非线性系统性能的不合理性,接着引入Volterra级数概念,把非线性系统最小方差性能评估问题转化成一类模型辨识问题,利用日常运行数据估计系统的最小方差性能下限。最后通过一个数值仿真对该方法进行验证。2基于反馈不变量的d许多工业过程可用如下线性结构表示:式中,yt表示输出变量;ut为操作变量;b表示系统延迟,其为采样间隔的整倍数;ω(q-1)和δ(q-1)是多项式,其中q-1表示单位延迟;Dt表示外部干扰,用自回归移动平均(ARIMA)模型表示有:式中,△=1-q-1,d为非负整数,常取d≤2;{at}是均值为0,方差为的白噪声序列;θ(q-1)和Φ(q-1)均为首元素为一的稳定多项式。为求系统最小方差控制器,式(1)可整理得:式中,和分别是干扰和yt+b的b步超前最小均方误差预测;预测误差et+b/t是阶数为b-1的移动平均过程:其中,权系数φ是式(2)干扰传递函数展开后的前b-1个系数,最小方差控制器可由解下式得到:此时系统输出为,其值仅和最近的b个干扰有关,则系统的最小方差性能下限为:由上可知,不论采用何种类型的反馈控制器,只要闭环系统稳定,预测误差et+b/t就不受影响,所以称其为反馈不变量。控制回路的性能常用Harris指标来评价,其定义如下:式中,是系统实际输出方差,Harris指标取值为0<η<1,较小的性能指标说明通过调节当前控制器或者采用先进的控制算法可以减小输出方差,即当前控制器有进一步调节的潜力。3非线性回归模型并非所有的非线性系统都有最小方差反馈不变量,考虑如下形式的非线性系统:式中,yt是输入ut作用下的输出;b为系统延迟;f(·)表示非线性函数,其值由系统t时刻之前变量和决定,其中表示yt-i,i=1,2…,ny,表示ut-b-j=0,1,…nu;Dt表示干扰。上述非线性系统的最小方差控制器设计和推导见文献,文献已经证明,对于有形如下系统:其b步超前预测误差和操作变量相独立,式中为:其中,{at}是均值为ua,方差为的白噪声序列;Φ(q-1)和δ(q-1)均为首元素为一的稳定多项式。式(9)经整理得:其中,,,预测误差可表示为:如果干扰Dt用线性ARIMA模型表示:,则可得:上式中系数φ和多项式Ob(q-1)由下式得到:考虑采用一个线性或非线性反馈控制器g(·),则式(9)对应的闭环系统的b步超前预测为:式中,ysp表示设定值,本文假设其值固定。由此可知,式(9)所描述的非线性系统的最小方差反馈不变量存在。上式可进一步整理得:则式(18)可整理为一非线性自回归(NLAR)形式:由式(11)知,如能构造得到,则可得到反馈不变量et+b/t,进一步可求出非线性系统的最小方差下限。4非线性系统最小差分的性能评价4.1线性化客观估计如忽略系统存在的非线性特征,直接使用线性方法评估非线性系统的性能会存在偏差,为说明此问题,假设式(19)中的非线性函数f(·)可用β(·)线性近似,则:式中,γt为近似误差,其仅和yt-i,i=0,1,…值有关。如在估计中使用线性ARMA模型,则有估计值:上式两边减yy+b整理可得b步超前预测误差估计值:又因γt和et+b/t不相关,所以最小方差性能下限估计值为:上式说明由线性CPA方法对非线性系统进行最小方差性能下限估计时存在过估计问题。只有尽量减少式(23)中右边第二项的影响才能使接近真实的。4.2基于双程序式的有限系数提取Volterra级数可用于描述多种动态非线性系统。对于单输入单输出(SISO)的非线性系统,其输入输出关系可用Volterra级数表示为:式中,xt为输入信号;hi,hij,…,hil…ik分别是k阶Volterra核,为待辨识项。考虑非线性函数仅为输入信号的函数,即:。则式(9)的有限Volterra级数可近似表示为:假设ysp=0,则其对应闭环系统的有限Volterra级数表示为:其中,L表示记忆长度。则式(19)表示的b步超前预测有多项式自回归形式:定义系统的输入矩阵P和输出矩阵Y分别为:其中,式中,n表示数据起点,M表示数据长度。再定义向量H,它是与X(n)相对应的顺序排列的Volterra核:不失实际意义,假设A(q-1)=1,则有:如已知非线性系统的输入序列和输出序列,则求解式(32)为一个标准的最小二乘问题。假设向量H长度为nh,则非线性系统的最小方差估计值为:待辨识向量H的长度nh与Volterra级数的记忆长度和阶次有关,且随记忆长度和阶次的增加呈指数增加,虽然大的nh会使Volterra级数更接近所描述的非线性系统,但这会造成辨识的维数灾难问题。一般多数实际系统都可用有限记忆长度和有限阶次的Volterra级数近似描述,通过选择向量H中对系统输出贡献较大的少数Volterra核而忽略贡献小的项可有效减少辨识计算量。结合使用正交最小二乘算法和AIC(AkaikeInformationCriterion)准则可确定nh。5应用lar方法的仿真实验化工过程中常见的PH中和反应具有很强的非线性特征,Wiener模型常用于描述PH过程,其闭环结构如图1,其符合式(8)所描述的一般形式。Volterra级数是辨识此类模型的有力工具,考虑非线性系统模型如下:式中,G表示线性模型,Gc表示PI控制器,{at}表示均值为0,方差为=0.004的白噪声序列。置系统设定值为1,采集1000个输出值构成数据集,依照式(28)和式(29)分别组成回归变量矩阵和实际输出矩阵,采用正交最小二乘方法可辨识得到Volterra核,从辨识误差中计算得到系统最小方差估计。实验在不同的白噪声下重复500次。采用LAR(LinearAutoregressive)方法[10)]和本文Volterra级数法所估计的最小方差性能指标盒图如图2,图中虚线表示Harris指标的真值。由图可见,LAR方法估计的Harris指标和真实值差距较大,这说明使用线性方法评价非线性系统的性能是不合理的,同时,图中结果也说明了LAR方法存在明显的过估计,验证了文章3.1节所述。而基于Volterra级数方法所估计的Harris指标相对LAR方法更接近真实值,其仍然存在一定偏差是由于采用有限Volterra级数并不能完全地描述非线性系统所致。6建立系统模型本文主要研究了一类叠加有线性干扰的非线性系统的性能