非代数闭域上的古典范德蒙矩阵

非代数闭域上的古典范德蒙矩阵

1q-ric范德蒙矩阵col[ai]、row[ai]和diag[ai]是以ai为分量的列向量、行向量和对角矩阵。注重点v的古代模型矩阵由一组插值指标序列x={（xi，ni）}创建，标准根={（x）={1，x，……xn-1，如下所示。式(1)中V(xi)的元素可以看作是由标准基函数xj在xi处的Taylor级数展开的前ni个系数组成的列向量,即xj=(j0)xji+(j1)xj-1i(x-xi)+⋯+(jni-1)xj-ni+1i(x-xi)ni-1+(x-xi)ni(*),这里以及下文,“(*)”示关于x的某个多项式.下面的引理给出了非代数闭域F上任意一个多项式关于域F上不可约多项式q(x)的所谓q-adic展开.引理1设q(x)是非代数闭域F上的次数为l的首一不可约多项式,f(x)是F上的任意多项式,则存在唯一多项式序列{rj(x)}sj=0,其中rj(x)的次数小于l,使得f(x)=s∑j=0rj(x)[q(x)j].利用引理1,Hartwig等将复数域上的范德蒙矩阵推广到了任意非代数闭域情形.设f(x)=a0+a1x+…+akxk是非代数闭域F上的多项式,引入它的标准坐标列:f=[f]st=col[ai]ki=0.设q(x)是F中首一的不可约多项式且次数为l,m是任意正整数.根据引理1,将f(x)关于序对(q,m)作q-adic展开得f(x)=r0(x)+r1(x)q(x)+…+rm-1(x)q(x)m-1+q(x)m(*).定义f(x)关于序对(q,m)或因子q(x)m的q-adic坐标列为:[f](q,m)=col[rk]m-1k=0∈Fml×1,其中ri是ri(x)的(l维)标准坐标列.给定非代数闭域F上不可约多项式序列{q1(x)m1,…,qt(x)mt},其中qi(x)的次数为li,ψ(x)=t∏i=1qi(x)mi.在本文后面的讨论中,我们总假定degψ(x)=m1l1+…+mtlt=n.将标准幂基π(x)中的每一个元素关于qi(x)mi作qi-adic展开,并且设xk=mi-1∑j=0r(k)ij(x)qi(x)j+qi(x)mi(*),k=0,1,⋯,n-1,则xk的qi-adic坐标列为[xk](qi,mi)=col[rij]mi-1j=0∈Fmili×1,(2)其中r(k)ij是r(k)ij(x)的(li维)标准坐标列.将式(2)中的坐标列合并并拼成一个n阶矩阵V(ψ)=col[Vi(ψ)]ti=1,其中Vi(ψ)=[π(x)](qi,mi)=[(qi,mi),[x](qi,mi),…,[xn-1](qi,mi)],i=1,…,t.称V(ψ)为非代数闭域F上的n阶q-adic范德蒙矩阵.显然,当所有qi(x)都是一次多项式时,q-adic范德蒙矩阵V(ψ)退化为式(1)中的古典范德蒙矩阵V(x).众所周知,在复数域情形,范德蒙矩阵与多项式插值密切相关.同样地,在非代数闭域情形,q-adic范德蒙矩阵对应于某个q-adic多项式插值问题.例如,给定多项式序列{r10(x),…,r1,m1-1(x),…,rt0(x),…,rt,mt-1(x)},其中每个rij(x)的次数小于li.要求非代数闭域F上的一个次数小于n=m1l1+…+mtlt的多项式f(x),使它关于每个序对(qi,mi)有如下给定的qi-adic展开式:f(x)=mi-1∑j=0rij(x)qi(x)j+qi(x)mi(*),i=1,⋯,t.不难验证,此问题等价于求解如下n阶线性方程组:V(ψ)f=col[col(rij)mi-1j=0]ti=1,其中f=[f]st,rij=[rij]st分别表示f(x)和rij(x)的标准坐标列.另外,复数域上的范德蒙矩阵往往与初等因子对应的Jordan块有密切联系.同样,在非代数闭域情形,q-adic范德蒙矩阵与所谓的超友阵(hypercompanion)有关.设q(x)=q0+q1x+…+ql-1xq-1+xq是域F上的首一不可约多项式,则与q(x)m相关的超友阵Hqm为l×l的分块矩阵,具体定义如下:Ηqm=[C(q)0⋯⋯0ΝC(q)0⋯00⋱⋱⋱⋮⋮⋱ΝC(q)00⋯0ΝC(q)]∈Fml×ml,Ν=[0⋯010⋯00⋮⋮⋮0⋯00]∈Fl×l,其中C(q)是对应于q(x)的第二友阵.显然,当F为代数闭域时,q(x)为线性因子,Hqm退化为通常的下三角约当块.当F为实数域时,q(x)为二次不可约多项式,Hqm是一个2m阶的2×2的分块矩阵.引理2和推论1给出了超友阵的多项式函数的表示公式,详细证明见文献.引理2设q(x)是非代数闭域F上的次数为l的首一不可约多项式,Hm=Hqm是由式(8)给出的超友阵.若f(x)是F上的多项式且具有如下q-adic展开:f(x)=α0(x)+α1(x)q(x)+…+αm-1(x)q(x)m-1+q(x)m(*),其中αi(x)有(l维)标准坐标列αi(0≤i≤m-1),则f(Hm)=[U,JU,…,Jm-1U],这里U=[a,Hma,…,Hl-1ma],J=q(Hm)=Sm⨂Il,Sm是m阶下位移矩阵,a=[f](q,m)=col[αk]m-1k=0.推论1设f(x),q(x),J与a=[f](q,m)同引理2,则[xkf](q,m)=(Hm)ka,[qkf](q,m)=Jka.文献主要讨论了q-adic范德蒙矩阵V(ψ)的行列式计算、求逆公式以及用它将Bezout矩阵在任意非代数闭域内约化等.本文主要研究q-adic范德蒙型矩阵的位移结构理论,得到这类矩阵所满足的位移结构方程、可逆性准则与快速求逆公式等.这些结果推广了复数域上带重点的范德蒙型矩阵的相关结果.2q-ric范德蒙型矩阵首先,我们给出q-adic范德蒙矩阵V(ψ)满足的2种位移结构方程.定理1设q-adic范德蒙矩阵V(ψ)定义如前,Sn是n阶下位移矩阵,Hψ=diag[Hi]ti=1=diag[Hqmii]ti=1是对应于基本多项式ψ(x)的超友阵,则V(ψ)满足下面的位移结构方程:∇{Hψ,Sn(V(ψ))=HψV(ψ)-V(ψ)Sn=col[Hnie1]ti=1[0,…,0,1],(3)其中e1=[1,0,…,0]T.证在恒等式:x[1,x,…,xn-1]-[1,x,…,xn-1]Sn=xn[0,…,0,1]两边取关于(qi,mi)的qi-adic坐标列,并利用推论1得HiVi(ψ)-Vi(ψ)Sn=Hnie1[0,…,0,1],i=1,…,t.将上述等式组写成矩阵形式即得式(3).定理2设V(ψ),Sn与Hψ同定理1,并且ψ(0)≠0,则V(ψ)满足下面的位移结构方程:∇{H-1ψ,STn}(V(ψ))=H-1ψV(ψ)-V(ψ)STn=col[H-1ie1]ti=1[1,0,…,0].(4)证由Hψ的构造形式知,当ψ(0)≠0时所有qi(0)≠0,因而Hi与Hψ可逆.再在恒等式[1,x,…,xn-1]-x[1,x,…,xn-1]STn=[1,0,…,0]两边取关于(qi,mi)的qi-adic坐标列,并利用推论1得Vi(ψ)-HiVi(ψ)STn=e1[1,0,…,0].这等价于H-1iVi(ψ)-Vi(ψ)STn=Hi-1e1[1,0,…,0],i=1,…,t.将上述等式组写成矩阵形式即得式(4).定理1,2表明q-adic范德蒙矩阵V(ψ)关于2个Sylvester型位移算子∇{Hψ,Sn},∇{H-1ψ,STn}具有相同的位移秩1和不同的生成元.我们把关于两个Sylvester型位移算子中的任何一个具有充分小的位移秩α的矩阵叫做q-adic范德蒙型矩阵,显然,V(ψ)是q-adic范德蒙型矩阵的特例.关于q-adic范德蒙型矩阵的可逆性,我们不难得到下面的2个判别准则.定理3设R是一个由∇{Hψ,Sn}(·)给出的n阶q-adic范德蒙型矩阵,即R满足∇{Hψ,Sn}(R)=HψR-RSn=GB,其中生成元G∈Fn×α,B∈Fα×n给定.则有:1)如果线性方程组RX=G可解,且矩阵对(Hψ,G)可控制,则R可逆;2)如果线性方程组YR=B可解,且矩阵对(B,Sn)可观测,则R可逆.定理4设R是一个由∇{H-1ψ,STn}(·)给出的n阶q-adic范德蒙型矩阵,即R满足∇{H-1ψ,STn}(R)=H-1ψR-RSTn=GB,其中G,B同上.则有:1)如果方程组RX=G可解,且矩阵对(H-1ψ,G)可控制,则R可逆;2)如果方程组YR=B可解,且矩阵对(B,STn)可观测,则R可逆.下面,我们讨论如何将q-adic范德蒙型矩阵从它的位移结构方程中恢复过来.为此,我们需要引入一些记号.对任意域F中的一个n维列向量a,将a按照与指标序列{(qi,mi)}ti=1相一致的方式划分成t个子列向量a1,…,at,其中ai的长度为mili(i=1,…,t).定义块对角矩阵L(a)=diag[L(ai)]ti=1,其中L(ai)=[Ui,JiUi,…,Jmi-1iUi],Ui=[ai,Hiai,…,Hli-1iai],Hi=Hqmii,Ji=Smi⨂Ili=qi(Hi).如果将ai进一步划分为mi个子列向量,每个子列向量的长度为li,并构造一个以ai为其qi-adic坐标列的多项式fi(这是可以实现的),那么由引理2知L(ai)=fi(Hi),即L(ai)是Hi的多项式,故L(ai)与Hi可交换,从而L(a)与Hψ可交换.定理5给定分块形式的2个矩阵:G=row(g(k))αk=1,g(k)=col[gi(k)]ti=1,g(k)i∈F1×mili;B=col(bk)αk=1,bk=row(bkj)nj=1∈F1×n,并且设ψ(0)≠0.则位移结构方程∇{Hψ,Sn}(R)=HψR-RSn=GB(5)有惟一解R=α∑k=1L(c(k))V(ψ)[bkn0⋯0bk,n-1bkn⋱⋮⋮⋱⋱0bk1⋯bk,n-1bkn],(6)其中L(c(k))的定义方式同前,c(k)由方程组Hnψrow[c(k)]αk=1=G或Hnψc(k)=g(k)确定.证注意到Hψ与Sn的特征多项式分别为ψ(x)和xn,则由假设ψ(0)≠0知,位移结构方程(5)的解惟一,故只需检验由式(6)给出的R是方程(5)的解即可.将R代入(5)的左边,并利用定理1以及L(c(k))与Hψ=diag(Hi)ti=1的可交换性得∇{Ηψ,Sn}(R)=α∑k=1L(c(k))[ΗψV(ψ)-V(ψ)Sn][bkn0⋯0bk,n-1bkn⋱⋮⋮⋱⋱0bk1⋯bk,n-1bkn]=α∑k=1L(c(k))[Ηn1e1⋮Ηntet][0,⋯,0,1][bkn0⋯0bk,n-1bkn⋱⋮⋮⋱⋱0bk1⋯bk,n-1bkn].又因为L(c(k)i)Hnie1=L(H-nig(k)i)Hnie1=HniL(H-nig(k)i)e1=L(Hni·H-nig(k)i)e1=L(g(k)i)e1=g(k)i,从而有∇{Ηψ,Sn}(R)=α∑k=1col[g(k)i]ti=1[b1k,⋯,bkn]=α∑k=1g(k)bk=GB.定理6设G,B同定理5,并且设ψ(0)≠0,则位移结构方程∇{H-1ψ,STn}(R)=H-1ψR-RSTn=GB,有惟一的解R=α∑k=1L(c(k))V(ψ)[bk1bk2⋯bkn0bk1⋱⋮⋮⋱bk20⋯0bk1],其中c(k)由方程HψG=row[c(k)]αk=1或c(k)=Hψg(k)确定.证明与定理5类似,从略.3q-一般q-ric范德蒙型矩阵的生成本节给出q-adic范德蒙型矩阵的2个快速求逆公式.对任意次数为l的首一多项式q(x)=q0+q1x+…+ql-1xl-1+xl,其对称化子S(q)与C(q)有关系式:C(q)S(q)=S(q)C(q)T,S(q)C(q)=C(q)TS(q).(7)对于基本多项式ψ(x),我们引入广义翻转矩阵Δ=diag[Δmi(qi)]ti=1,Δmi(qi)=˜Ιmi⊗S(qi),其中˜Ιr表示r阶翻转矩阵(δi,r+1-j)ri,j=1,这里δij为Kronecker记号.由式(7)不难验证:HqmiiΔmi(qi)=Δmi(qi)HTqmii,进而有HψΔ=ΔHTψ.定理7设R是一个由生成元{G,B}生成的关于∇{Hψ,Sn}(·)的n阶q-adic范德蒙型矩阵,即R满足位移结构方程∇{Hψ,Sn}(R)=HψR-RS=GB.(8)如果R可逆,则有R-1=α∑k=1[0⋯0dk1⋮⋰dk1dk20⋰⋰⋮dk1dk2⋯dkn]V(ψ)ΤL(c(k))ΤΔ-1,(9)其中n维列向量c(k)与n维行向量dk=[dk1,dk2,…,dkn]分别由下面2个方程确定:RTΔ-1Hψrow[c(k)]αk=1=BT,Rrow[dkT]αk=1=G.证在式(8)两边同时左乘˜ΙR-1、右乘R-1后取转置矩阵,并利用HψΔ=ΔHTψ及˜ΙSn˜Ι=SΤn得ΗΤψ(R-Τ˜Ι)-R-ΤSΤn˜Ι=(R-ΤBΤ)(GΤR-1˜Ι).此式等价于Ηψ(ΔR-Τ˜Ι)-(ΔR-Τ˜Ι)Sn=(ΔR-ΤBΤ)(GΤR-Τ˜Ι).(10)式(10)表明,ΔR-T˜Ι与R具有同类型的位移结构和不同的生成元,将定理3应用到矩阵方