中学数学知识应用

中学数学知识应用论文写作与中学教师交流黄海洋北京师范大学数学科学学院

2009-10-18主要内容一、为什么要写中学数学知识应用论文？(why?)二、中学生数学知识应用论文研究什么？(what?)三、如何写中学数学知识应用论文？(how?)四、如何评价中学数学知识应用论文？(how?)一为什么要写数学知识应用论文？

(why?)1998年前美国教育部长Riley说：我今天给你们的统计资料清楚地表明“数学等于机会”（“MathematicsEqualsOpportunity”）

。当我们为即将来临的世纪作准备时，不可能再送给美国父母和学生别的更关键的信息了。

科学的数学化“一门科学只有成功地运用数学时,才算达到完善的地步”。数学是科学的语言。数学为科学家、工程师、企业管理者...组织和构造知识提供方法。高科技本质上是数学技术。数学的大众化计算机的发展推动了数学的大众化。数学模型在自然科学领域、社会科学领域、人文科学领域及所有人类社会活动的领域帮助人们利用计算机和数学方法进行无损害的科学研究。当前数学应用不再只是数学家的工作，数学知识的应用不仅反映了公民的数学修养，而且影响到国家的科技综合实力。改变传统的数学教学模式，不仅要求掌握数学理论的内容、具备逻辑推理和复杂计算的能力，而且要求学习如何从实际问题中构造数学问题，以及如何将数学分析的结果运用于解决实际问题。教学计算、推理、证明是重要的，但不是数学教学的全部。完整的数学教学包含对学生发现问题、解决问题能力的培养。数学教学的变化数学教学改革--创新人才培养大学开设了数学建模课，举办全国大学生数学建模竞赛高中新课程强调了数学应用能力的培养中学生创新能力培养的课外科技活动

北京中学生数学知识应用竞赛明天小小科学家青少年科技创新大赛走进美妙的数学花园全国中学生数理化学科能力竞赛北京市青少年科技创新学院翱翔计划北京市科协后备人才培养计划数学模型架于数学与实际问题之间的桥梁。通过抽象和化简，使用数学语言，对实际问题的一个近似描述,以便于人们运用数学理论和方法，通过分析或计算，更深刻地了解所研究的对象，解决实际问题。数学方法与计算机实际问题美国大学生数学建模竞赛MCM2006B题机场轮椅摆放航空公司为行动不便的旅客在转机时提供轮椅和护工。需要考虑到轮椅会磨损又很贵且需要维修、还有护工的费用、轮椅存放的场地的费用、机场拥挤造成的危险，最大的不确定的是支付飞机为等待需要护送而迟到的旅客的费用。公司需要得到一个代价合理的每天轮椅移动安排表，一个详细可行的预算方案，它明确护工和轮椅每天应在的位置和如何移动。目标是保持整体的费用尽可能低。最后，如果人口中具有更多的时间旅行但也需要更多的帮助的老年人比重增大，所提供的计划中应该包含为满足将来需求的潜在的费用的预算。全国大学生数学建模竞赛2007A题：中国人口增长预测中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。美国高中生数学建模竞赛网址

/highschool/contests/himcm/2008Problems

ProblemA:NationalDebtandNationalCrisisMathematicalmodelinginvolvestwoequallyimportantsteps–buildingmodelsbasedonrealworldsituationsandinterpretingpredictionsmadebythosemodelsbackintherealworld.Thisproblemplacesequalemphasisonbothsteps.Weareatthestartofthe2008U.S.presidentialelections,andoneimportantareaofdebateissuretobethenationaldebt.Ashighschoolstudents,youhaveaparticularinterestinthissubjectsinceyouarethepeoplewhowillpayofforatleastmanagethenationaldebtinthefuture.Therateatwhichthenationaldebtchangesdependsonthedifferencebetweenfederalincome(primarilytaxes)andfederalexpenditures.Yourfirsttaskistobuildamodelthatcanbeusedtohelpunderstandthenationaldebtandmakeforecastsbasedondifferentassumptions.

Asusual,modelinginvolvesabalancebetweensomuchcomplexitythatthemodelmaybeintractableandsolittlecomplexitythatitisunrealisticanduseless.

Yourmodelneeds,attheveryleast,toallowyoutoconsiderdifferenttaxpoliciesanddifferentexpenditurepolicies.

Asusual,rawnumbersdon'tcarrymuchinformation.Thosenumbersmustbeplacedincontext.Forexample,totalnationaldebtislessmeaningfulthannationaldebtpercapita.Inaddition,youmustbecarefulaboutinflation.Manyanalystslookattheratiobetweennationaldebtandgrossdomesticproductasagoodindicatoroftheimpactofthenationaldebt.Othersworryaboutthecostofservicingthenationaldebt.Thiscostisaffectedbyboththesizeofthenationaldebtandtheinterestratethegovernmentmustpaytoborrowmoney.YoumaywanttolookattheWikipediaarticle/wiki/National_debt_by_U.S._presidential_termsforsomefiguresinvolvingtheratiobetweennationaldebtandgrossdomesticproduct.Buildamodelthatcanbeusedtohelpunderstandthenationaldebtandmakeforecastsbasedondifferentassumptions.Youmustprovidejustificationforthevariouselementsofyourmodelandyoumustalsotestthesensitivityofyourmodeltovariousparameters.TASKS:Useyourmodeltocompareatleasttwoalternativeplansfortheyears2009-2017.Yourplansshouldbebasedondifferenttaxandspendingpoliciesthatarereasonableandpoliticallyfeasible.Useyourmodeltocomparetheimpactonthenationaldebtandthenimpactonthenationingeneralofyourpolicies.Preparealettertothenewpresidentadvisinghimofyourmodel.ProblemB:GoingGreenTheUnitedStatescanaddressitsnationalcarbonfootprintintwoways:byreducingcarbondioxideemissionsorbyincreasingcarbondioxideconsumption(sequestration).AssumethatthetotalU.S.carbondioxideemissionsarecappedat2007-2008levelsindefinitely.WhatshouldtheU.S.dotoincreasecarbondioxideconsumptiontoachievenationalcarbonneutralitywithminimaleconomicandculturalimpact?Isitevenpossibletoachieveneutrality?Modelyoursolutiontoshowfeasibility,effectiveness,andcosts.PrepareashortsummarypaperfortheU.S.Congresstopersuadethemtoadoptyourplan.为了加强对社会的责任心，了解社会；提高应用数学分析问题的能力；激发学习数学的兴趣；培养阅读写作科学文献的能力；鼓励动手实践、合作创新；提倡中学生写数学知识应用论文。分享小牛顿的喜悦二中学生数学知识应用论文研究什么？

(what?)身边的数学过年放炮安全第一圆明园湖底土壤渗水性预测建模北京城铁13号线优化跑道的研究地铁票价变化对公共交通影响及其数学建模商家与顾客的双赢策略清华附中室外中水干管排布优化设计北京市五环内加油站油品配送方案中关村广场红绿灯转换方案的优化设计北京市文化遗产景点门票票价研究目前市场上销售一种“雷达牌”蚊香，每盘蚊香如图1所示，图中标有a，b数值(单位：毫米)，使用时拆成两片，如图所示．b=106a=119例1蚊香设计经过实验发现，该蚊香的燃烧速度约为每小时120毫米．请用近似的方法回答下列问题．（1）每一片蚊香大约可以燃烧多长时间；（2）根据市场需求请设计持续燃烧时间分别为4小时、8小时、10小时的蚊香，蚊香燃烧速度不变．分别计算出它们的a值．b=106a=119解：（1）先把蚊香盘近似地看成一个圆盘．取直径为a和b的算术平均值，则直径=(a+b)÷2=112.5(mm)．由图可知，蚊香条的宽度=(a−b)÷2=6.5(mm)则蚊香盘的面积=π(112.5/2)2=9935.2(mm)2，蚊香条的总长度=9935.2÷6.5≈1528.5mm，每一片蚊香中有两盘等长的蚊香，于是可知每一盘蚊香的长度约为764mm．它大约可燃烧6.3小时．（2）利用上面的结果知，

(蚊香盘直径)2=4×蚊香盘的面积/π=4×(蚊香条的长度×蚊香条的宽度×2)/π蚊香条的长度=燃烧时间×燃烧速度a=蚊香盘直径+蚊香条的宽度燃烧时间4小时8小时10小时蚊香长度480mm960mm1200mm蚊香片的面积6240mm212480mm215600mm2蚊香片的直径89.1mm126.0mm140.9mma95.6mm132.5mm147.4mm超市卖某一品牌的卫生纸，这种卫生纸分“有芯”和“无芯”两种纸卷，如图．两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样，小英欲购买这种卫生纸，但不知买哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？例2．纸卷选择解：合算就是纸的量多．因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算．为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯（即小圆）上，如右图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算．证明：设有芯纸卷截面的内、外半径分别为r、R，大圆内与小圆相切的弦长为d，无芯纸卷截面的直径为D．于是，(d/2)2=R2−r2，当D=d时，S有芯=π(R2−r2)=π(d/2)2=π(D/2)2=S无芯。当D＞d时，S有芯=π(R2−r2)=π(d/2)2＞π(D/2)2=S无芯。当D＜d时，S有芯=π(R2−r2)=π(d/2)2＜π(D/2)2=S无芯

rDdR某学校有块矩形空地，南北向长100m，东西向宽90m。欲建4条并排跑道，每条跑道宽为1m，且内圈周长为300m的操场。请你给出较为简单的设计原则及具体设计方案。例3：操场设计分析：矩形内圈的范围；长100-8=92m宽90-8=82m内圈周长(92+82)×2=348m两个半圆加直道：内圈长82×3.14+10×2=277.5m内圈长300m？背景知识：作为一个操场的跑道，除了要有直跑道之外，还必须要有弯道，直道要与弯道相切，而且弯道的弧度也不能太小。设计原则：按内圈长的设计要求，直跑道部分应尽可能长。同时，为便于跑步者使用，弯道的弧度尽可能大，且直道与弯道应相切。由于矩形空地面积不大，我们设计的跑道要尽可能贴近矩形区域的边缘。

初步方案：跑道由直道和弯道组成；直道紧贴操场边缘；弯道为四分之一圆弧；圆弧与直道相切。

在紧贴操场边缘4米宽的矩形跑道内框(92×82)的四角拐弯处用1/4圆周的圆弧代替直角的两边，求圆的半径r，使得这个圆角矩形的内周长为300m。建模：设圆弧半径为r。模型：(92–2r)×2+(82–2r)×2+2πr=300。模型求解：得r≈28（m）解决问题方案：

先在贴近矩形区域的边缘画出4米宽的矩形跑道，形成92×82的矩形内框。然后在矩形内框中四个角处去掉长度为28m的线段，并且用半径为28m的1/4圆弧连接起来就构成内圈长为300米的跑道。论文选题新颖，有意义，力所能及.1.有价值－－真实问题2.有基础－－善于观察3.有特色－－发挥想象力4.有可行性－－仔细推敲难点：1哪些实际问题可以使用数学2如何将实际问题转化为数学问题3如何解决实际问题中的数学问题

五支足球队在同一场地上进行足球赛。进行单循环比赛，也就是说这五支球队的每两支球队在这次比赛中都要结对比赛一次。共进行十场比赛，在连续的十天中每天比赛一场。如何安排这次比赛的赛程对各队来说都是公平的？公平是什么？例1赛程安排对这5个球队随便安排一个赛程如下12345678910ABBCADDEBDAECDBEACCE各队每两场比赛的相隔场次

A:1,2,2;B:0,2,2;C:4,1,0;D:0,0,1;E:1,1,1显然这个赛程对A,E有利,对D不公平.公平定义：各队每两场比赛之间的间隔一样。不可能公平！

例如，只有三个队，赛三场。

123ABBCAC“尽量公平”公平定义：各队在其相邻比赛的最小的间隔场次达到最大可能的。数学问题：在最小的间隔场次中求最大。考虑n支球队的单循环赛。记最小的间隔场次为r。于是，在这r场比赛前后的2场比赛中出现的3个队不参与这r场比赛，而且有2r个不同的球队参加这r场比赛，所以2r

n-3。最大的可能就是r=[(n-3)/2]。模型：n支球队单循环赛，公平的赛程安排是使得各队在其相邻比赛的最小间隔场次r=[(n-3)/2]。结论：安排5支球队在其相邻比赛的最小间隔场次为1的赛程对各队来说是公平的。例如：ABCDEABCDEACBDECADEB，则A:1,2,2,B:2,2,2,C:1,1,1,D:2,1,1,E:1,2,1总结1.面对实际问题首先明确要求的是什么。公平是什么？数学的看家本领就是把概念弄清楚。把数学定义选择好，实际问题就迎刃而解。答案不一定唯一，但是可以按照给定的定义，取相对最好的。例2军备竞赛在核军备竞赛中，多少武器够用(达到满意水平)？两国之间的核军备竞赛是否可以协调，裁军是否可能？背景知识：美国前任参谋长联席会议主席Taylor曾提出如下核威慑目标：为使战略核力量的威慑效力达到最大限度，它们必须在第一次遭遇打击之后生存下来，而且还有足够的能力破坏敌方目标（人口和工业中心）。假设1.甲、乙两国对对方实施一次致命性打击所需的核武器数目分别为x0、y0。

2.甲、乙两国都采取保守战略，在遭受第一次打击后，保证有足够的核武器保留下来，给以对方致命性的还击。记他们需要核武器数量分别为x、y.3.分别以p1、p2表示甲、乙双方，其一件核武器在遭受对方一件核武器袭击后保留下来的概率。先考虑甲方:如果x=y，则在遭受一次打击后留下的核武器件数为p1x.按假设要求p1x

x0.如果x=y/2，则在遭受一次打击后留下的核武器件数为p12x.按假设要求p12x

x0.…在遭受一次打击后留下的核武器件数为p1y/xx.甲方需要保持的核武器数量x满足p1y/xx

x0.同样，乙方需要保持的核武器数量y满足p2x/yyy0

。各自的安全区内代表各国满意的核军备水平，双方安全区是核军备竞赛的可协调的稳定区。如果不存在这样的区域，说明和军备竞赛无止尽。X国安全区Y国安全区例如：x0=6,y0=4,p1=0.5,p2=0.2,0.2x/yy=40.5y/xx=6总结2.选择恰当数学表达方式。数学建模要用恰当的数学语言表达实际问题。在能够解决问题的前提下，越简单越好！十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？例3：交通路口红绿灯假设1.单侧，单车道,直行，不拐弯。2.秩序良好，不堵车。3.车辆相同，从静止开始做匀加速运动。4.车距相同，启动延迟时间相等。参数，变量。车长L，车距D，加速度a，启动延迟T在时刻t第n辆车的位置为Sn（t）数学问题：用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向,数轴原点为红绿灯的位置。于是,当Sn(30)>0时,表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。从而确定30秒钟内通过的汽车数量n.n模型1.停车位模型：

Sn（0）=–(n-1)(L+D)2.

启动时间模型:

tn=nT3.行驶模型:

Sn(t)=Sn(0)+1/2a(t-tn)2,t>tn

=Sn(0)t

tn参数估计L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s2解:Sn(30)=-7(n-1)+(30-n)2>0得n

18,且t18=18<30=t成立。

答案:最多18辆车通过路口.

???模型改进：考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，停止加速,按最高限速运动穿过路口。

最高限速校园内v*=15公里/小时=4米/秒，长安街上v*=40公里/小时=11米/秒，环城路上v*=60公里/小时=17米/秒限速行驶模型最高限速v*=11m/s达到最高限速时间tn*=v*/a

+tn=5.5+n限速行驶模型:

Sn(t)=Sn(0)+1/2a(tn*–tn)2+v*(t-tn*),t>tn*

=Sn(0)+1/2a(t-tn)2,tn*>t>tn

=Sn(0)tn>t解：Sn(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-n)>0得n

17且t17*

=5.5+17=22.5<30成立。结论:该路口最多通过17辆汽车.模型检验？问题*

调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确

10.位置，走向，车道数，时间。绿灯时间，通过的车数（至少三次）。分析每次数据不同的原因。

20.模型的假设与实际是否一致。模型的参数与实际是否一致。

30.模型的计算结果与观测结果是否一致？为什么？不一致时，如何修改模型。进一步，利用该模型研究路口交通管理策略例如：研究对于交通流量很大的十字路口绿灯亮多长时间合适？合适的定义？使通过十字路口的交通流达到最大的可能。使主干线上交通流达到最大的可能。使司机平均等待时间最短。交通流？车流量：单位时间内通过的车辆数。十字路口的车流量？计算十字路口一条路线上的车流量。首先，分析绿灯亮后汽车开始以最高限速穿过路口的时间。绿灯亮后汽车开始以最高限速穿过路口的时间在11秒钟以后。从第六辆车开始，以后的车都以最高限速