第43讲利用空间向量求空间角和距离备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第第#页/共18页,n.OP=2z=0 ,可得丙=（2,i,o）,nfOC=-x+2y=0•BM1jT\\\]PCO所成角为“则sin0os<BM>1=1则sin0os<BM>1=1BM•汛I帀IIBMI11・（2020*长春四模）已知正方体ABCDfBCU的棱长为2,点M,N分别是棱BC,CC；的中点，则二而角C-AM-N的余弦值为若动点P在正方形BCCE包括边界）内运动，且PA,//平而AMN,则线段f的长度范用是—・【分析】易知ZNQC为二面角C-AM-N的平面角,利用相似的性质可求得CQ,进而求得NQ,由此得解二面角C-AM-N的余嘲建立空间直角出栋系，可求得点P的轨迹为经过码,中点的线段，再根据对称性即可求得线段P\长度的最值，进而得到取值范国.【解答】解：延长AM至0，使得C0丄AQ,连接阿，如图，由于ABCD-AB.C.D,为疋方体，由三垂线左理易知ZNQC为二而角C-/\M-N的平而角，而4nZCM0=sinZAM〃=竺=竺=j?=二故CQ=2cM-,CMAMVFnV5 75书

皿俗二寻Z恥C喘斗以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设Pg2,“)(0W加，，02)，A(2,0,0),M(l,2,0),N(0,2,1),儿(2,0,2),v*AM=-x+2y=0v^AN=-2x+2y+z=0则丽=(一1,2,0),丽=(一221)•乔=(加一v*AM=-x+2y=0v^AN=-2x+2y+z=0,故町取v=(2丄2).乂PA//T•而血V，••・乔.0=2(加一2)+2+2(n-2)=加+”一3=0,・・.点P的轨迹为经过坊q中点的线段,111抠对称性可知，、”1点P在两个中点时，If严Q+1=75•、”|点P在两个中点的中点时,IP4I还=押)二(当)2=罕，故选段S的长度范国是［婆,石］.故答案为：扌，［学,石］.故答案为：扌，［学,石］.如图，四棱锥PJBCD中，刃丄底而ABCD..1D//BC,AB=AD=AC=3,E」=EC=4,M为线段AD±一点,AM=2MD,N为PC的中点.证明：胚V〃平而E1B：求直线AN与平而RMV所成角的正弦值.

2解:(1)证明：由已知得JM=〒LD=2・取肿的中点八连接皿TN.由N为PC的中点知TN//BC,TN=^BC=2.又AD//BC、故TN臥1M、四边形为平行四边形，于是MN//AT.因为JTu平而REMN/平而刃D所以MV〃平而刃B(2)取BC的中点E,连接/E由.1B=AC得 丄EC.从而AEL.1D,以A为坐标原点，ME,.ID,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知，P(0,04)，A/(020),C&L2,0),爭，1，2)，PM=(0,2,-4),7?/=伴,1,-2),阳=(芈，1,2)设n=(x,y.2)为平而PMV的法向量，则〃加=0,"丽〃加=0,"丽=0,2v~4z=0t即儈+宀“可取n=(021)・于是|cos(n,~AN)1=KJ^1=^网屈I25设dV与平而PMN所成的角为&，则sin&=警,即宜线zLV与平而FMV所成角的正弦值为攀.已知在四棱锥PJBCD中，平而PDC丄平WiABCD.AD丄DC—15〃CD.15=2,DC=4,E为PC的中点，PD=PC、BC=2©求证：BE〃平ifiiPW；若丹与平面.133所成角为45。，点P在平而■拐CD上的射影为O,问：EC上是否存在一点F,使平而POF与平而所成的角为60。？若存在，试求点F的位置；若不存在，谙说明理由.解：(1)证明：取PD的中点连接dH,EH、则E7/〃CD,EH=*D,头AB//CD.AB=^CD=2,:.EH//AB9且EH=AB9•••四边形,毎£円为平行四边形，故BE//H丄又BE©平面RID.HJu平面RLD,.•・恥〃平面R1D.(2)存在，点F为BCM)中点•理由：•••平面PDC丄平面ABCD,PD=PC,作PO丄DC,交DC于点O,连接0从可知O为点P在平面JPCD上的射影.则ZPBO=45Q.由题可知OB9OC9OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OP,OCtOP所在直线为x轴，y轴，2轴建立空间直角坐标系O刃已由题知OC=2,BC=2逗,:・OB=2,由ZP5(9=45°,可知OP=OB=2,AP(0.0,2),J(2t一2,0),2(200),C(0,2、0)・设F(x,y,z),5F=xTc,则(x-2,y,z)=2(—220),解得x=2—2人y=2Afz=0,可知F(2_2A,2a,0),设平面E15的一个法向量为m=(xi,vi,zi),•••正『=(2,-2,-2), (0.2,0),7/1PA=0,/O|2xi-2yi-2zi=0,得LjirAB=0,[2yi=0,令zi=l,得m=(1Q1)・设平面POF60—个法向量为n=(X2,yz,Z2),•••O0=(OQ2).PF=Q_2儿22,0),

nOP=0,

nOP=0,

jroF=0,得乃L”.(2—2x)x2+2Ay2=0,令》2=1,得n=(；1,0)解得2=]可知当F为PC的中点吋，两平面所成的角为60°.14•如图，四棱锥人拐CD的底而是平行四边形，且PD丄从下列两个条件中任选一个条件证明:朋丄平而EID①O是-Q的中点，且BO=CO；®AC=BD.在(1)条件下，若,Q=215=4,PA=PD,点M在侧棱PD上，且加=3A/D,二而角RBC-D的大解：(1)证明：选择条件②•••四边形为平行四边形，且AC=BD,:.四边形ABCD为矩形,MB丄又9：AB丄PD,JLADQPD=D9古攵丄平面E1D选择条件①在平行四边形.15CD中，设N是EC的中点，连接ON,如图，因为O是.3的中点.所以AB//ON.头BO=CO,所以ONA.BC.所以“松丄BC,又在平行四边形JBCD中，BC//AD,所以ABLAD.

US丄PD,且PDC\AD=D9-Wc平面RID,PDu平面RID,故丄平面RID.(2)由⑴知MB丄平面PAD,又平面ABCD、于是平面RLD丄平面・£5CD.连接PO,PN,由PA=PD,可得PO丄JD,则PO丄BC,又ON丄BC,POaNO=O,所以BC丄平面TWO,所以PN丄PC,由此得PO=AB=2.以O为坐标原点.ON,OD,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则2(0,—2,0),B(2,-2,0),C(2,2,0),P(0.0,2),由PD=3MD可得頼0,扌，扌)，>.(102\ ►所以AC=(2A0),dAf=(0,y,計，BP=(-2,2,2)・设平面MAC的法向量为n=(xf”z),”zLVf=02x+4y=0,”zLVf=02x+4y=0,=>.l(h+2z=0,所以n=(—2,1,—5)为平面M4C的一个法向莹.设直线肿与平面M4C所成的角为0,则sm0=则sm0=14+2-iQ_yio2y[3y[30_15?故直线BP与平面NL1C所成角的正弦值为警.15.(2020-合肥三模)如图,边长为2的等边A4BC所在平而与菱形A.ACC.所在平而互相垂直，Ac=屈5M为线段AQ的中点.求证：平而BMC；丄平面A.BC；；求点C到平而ABG的距离.

【分析】(1)山Ll知得AC丄AC「求解三角形得GM丄AC.进•步得到GM丄AG・在等边AABC中，丄AC,可得BM丄AC；.由直线与平面垂直的刈左得到AG丄T•而BMC；,从而得到平而BMC；丄丫而ABC]:(2)ill：明丄平而ACC}\,知直线MS，MC，MG两两垂宜.以点M为坐标原点，分别以MB，MC，MC；所在直线为坐标轴建立空间直角坐标琨，求出平而\BCX的一个法向量亓，再求出疋的坐标，利用公式d=冬割求点c到平而4BG的趴离.【解答】(1)证明：・・・四边形AACG是菱形•・・・4C丄AC「乂•.・AXC=y/3AC},/.tanZACAt=-= =——•詁c3得"3=30。，则ZACC,=60°•可得AACG是等边三角形.•.•点M为线段AC的中点，二丄AC.又VAC/Z^Q,/.C}M丄4G・・・•在等边4WC中，BM丄AC・由AC//4G可得，BM丄4G・又・.・BMp|C、M=M,/.AG丄平面BMC\,•・・AGu平而/\BC「・•・平而BMC、丄平而ABC,:(2)解:\丄AC.平而ABC丄平而AACC「且交线为AC,:BM丄平而ACG4，・•・直线MB,MC, 两两垂直.以点M为坐标原点，分别以MB,MC,MC；所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则 C,(0,0,>/3),A(0,—2・>/T),C(0,b0),・・・月石=(020),bGZLoJ),CCt=(0,-L^).

i-zTini\BCX的一个法向虽为n=(a;”z),令令x=得>i=(LOJ),\CC\.n\_y/3_y/6l/il=V2=T[B组]—强基必备1.已知四棱锥P-ABCD的底而ABCD是直角梯形,AD//BC,丄BC,AB=书,BC=2AD=2,E为CQ的中点，PBSE.(1)证明：平而PBD丄平而J5CD；(2)若PB=PD,PC与平而肿CD所成的角为务试问“在侧而PCD内是否存在一点N,使得丄平面PCD?-若存在，求出点N到平而•毎CZ)的距离：若不存在，请说明理由.解：(1)证明：由四边形ABCD是直角梯形,AB=EBC=2AD=2,AB丄BC\可得DC=29ABCD=j,从而△BCD是等边三角形，BD=2,BZ)平分ZADC.•:E为CD的中点，/.D£=-W=1t•••ED丄2E,汉•••PB丄JE,PBQBD=B9:.AE丄平面PBD又•••d£u平面ABCD,

•••平面丄平面ABCD.(2)在平面内作PO丄BD于O,连接OC,又•••平面丄平面ABCD.平面PBDC平面ABCD=BD9:.PO丄平面ABCD.:.ZPCO为PC与平面ABCD所成的角.则ZPCO=*•••由题意得OP=OC=E•:PB=PD,POIBD,二。为肋的中点，：.OC丄BD以OB,OC9OP所在的直线分别为x轴，y轴.z轴建立空间直角坐标系，则