2022-2023学年江苏省无锡市高一下学期期末数学试题（理强）【含答案】

2022-2023学年江苏省无锡市高一下学期期末数学试题（理强）一、单选题1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先写出复数，再得到其共轭复数.【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以，所以.故选：A2．已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的线性运算的坐标关系即可求解.【详解】由题意可知由于A，B，C三点共线，所以与共线，所以，所以,故选：D3．半径的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用球的直径等于内接正方体的体对角线，求得棱长，由此得解.【详解】半径为的球内接一个正方体，设正方体的棱长为，则该球即为正方体的外接球，其直径长度为正方体的体对角线长，则，解得，所以正方体的体积为.故选：C4．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（

）A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生【答案】C【解析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项.【详解】“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D项．故选：C.【点睛】本小题主要考查对立事件和互斥事件概念的理解和辨析，属于基础题.5．已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】B【分析】根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果.【详解】因为，由正弦定理，得到，所以，又因为，故，.故选：B.6．一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（

）A．6，，5 B．5，5，5 C．5，，6 D．4，5，6【答案】C【分析】利用中位数与众数的定义得到关于的方程，从而得解.【详解】依题意，将这组数据从小到大重新排列得，，，，，，则中位数，众数为，由题意知，解得，所以这组数据的平均数为，则这组数据的方差是，因为，所以这组数据的第百分位数是；故选：C.7．已知点D为边BC上的中点，点E满足，若，则（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】D【分析】利用平面向量的线性运算，结合图形即可得解.【详解】依题意，作出图形如下，因为点D为BC上的中点，，所以，则，故，则.故选：D.8．病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（

）

A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数 B．甲组数据平均数大于乙组数据平均数C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数 D．乙组数据平均数大于乙组数据中位数【答案】C【分析】根据直方图的形态可得甲组的平均数大于中位数，且都小于7，乙组的平均数小于中位数，且都大于7，进而可得.【详解】根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大于中位数，且都小于7，同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7，故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A错误；甲组数据平均数小于乙组数据平均数，故B错误；甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C正确；乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D错误.故选：C.二、多选题9．若，，，为复数，，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】对于A，利用共轭复数与复数模的性质判断即可；对于B，利用判断即可；对于C，利用虚数不能比较大小判断即可；对于D，利用复数四则运算的性质判断即可.【详解】对于A，因为，所以，则，故A正确；对于B，因为，所以，则，所以，则，故B正确.对于C，取，则满足，但由于虚数无法比较大小，故不成立，故C错误；对于D，因为，所以（舍去）或，故D正确.故选：ABD.10．单位向量与的夹角为锐角，则的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】令与的夹角为，则，利用向量的模的运算，即可得出相应的范围.【详解】由题知，令与的夹角为，则，，所以，，故选：BC11．已知事件A，B发生的概率分别为，，则（

）A． B．C．若A与B互斥，则 D．一定有【答案】AB【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，又且，则，所以，即，故B正确；对于C，因为A与B互斥，所以，则，故C错误；对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，则满足，，但不成立，故D错误；故选：AB.12．如图，多面体ABCDEF的8个面都是边长为2的正三角形，则（

）A． B．平面平面FABC．直线EA与平面ABCD所成的角为 D．点E到平面ABF的距离为【答案】ACD【分析】根据多面体ABCDEF的8个面都是边长为2的正三角形条件结合正方形的特点，可判断A选项，取中点，连接、，根据两平面的二面角可判断B选项，根据对称性找到平面的垂线，根据线面角的性质可求C选项，求点到面的距离转化为求三角形的高，可判断D选项.【详解】对于A选项，如图，由，，，为正三角形可得为正方形，故，故A正确；对于B选项，取中点为，在，中，由正三角形的性质可得，，，平面平面，平面，平面，则为二面角的平面角，由，，得，故B错误；对于C选项，由条件可知四棱锥、四棱锥均为正四棱柱，连接，交点为正方形的中心，则平面，即为直线与平面所成的角，由，，得，故C正确；对于D选项，连接，在正方形可知，，平面，平面，，与相交，且平面，平面即为三棱锥的高，设点E到平面ABF的距离为，由几何关系可求得，，，，由可得，，代入数据解得，故D正确．故选：ACD.三、填空题13．掷两颗骰子，则所得的点数之和为6的概率为．【答案】【分析】掷两颗骰子得到有序数对，事件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：，，，，共有5个基本事件，而所有的基本事件有36个，由此结合随机事件的概率公式即可算出本题的概率．【详解】记两颗骰子的点数分别为，，得掷两颗骰子得到有序数对则、的值可能是1，2，，6共六种情况，共个基本事件．事件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：，，，，共有5个基本事件因此，点数之和为6的概率为故答案为：14．如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是.【答案】【分析】根据题意，由斜二测画法分析原图为平行四边形，求出其相邻边长，从而得解．【详解】依题意，还原直观图如下，因为正方形的边长为，所以，，则，所以原图形的周长为.故答案为：.15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则BC边上的高的最大值为.【答案】【分析】根据正弦定理边角互化可得,由基本不等式以及三角形的面积公式即可求解.【详解】由正弦定理可得，所以，又，当且仅当时取等号，故，故的最大值为设边上的高为则，要使最大，则三角形的面积最大即可，故的最大值为，故答案为：四、双空题16．为获得天一中学高一学生的身高（单位：cm）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的均值为cm，方差为.【答案】【分析】结合平均值和方差公式，即可求解．【详解】记男生样本为，，，，均值为，方差为，女生样本为，，，，均值为，方差为，容量为50的样本均值为，方差为则所以则则总样本的均值为cm，方差为.故答案为：；.五、解答题17．已知复数，其中是正实数，是虚数单位(1)如果为纯虚数，求实数的值；(2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用复数的四则运算求得，再利用复数的分类即可得解；（2）先利用复数的四则运算化简，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解.【详解】（1）因为，所以，因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去），所以.（2）因为，所以，则，因为是关于的方程的一个复根，所以与是的两个复根，故，则，所以.18．龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为.已知C，D两点的海拔高度差为2米.

(1)记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值；(2)计算龙光塔的高度.【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意结合图形，在中求得，再利用三角函数的平方关系即可得解；（2）结合图形，分别求得，从而得到关于的方程，解之即可得解.【详解】（1）依题意，过作交于，过作，交于，如图，

则，所以在中，，又，所以，所以的余弦值为.（2）由（1）得，，设龙光塔的高度，则在中，，则，易知四边形是矩形，则，，又在中，，则，所以，即，故.所以龙光塔的高度为.19．如图，在四棱锥中，，，，是棱上一点.

(1)若，求证：平面；(2)若平面平面，平面平面，求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到，从而利用线面平行的判定定理即可得证；（2）先利用面面垂直的性质定理推得，，再利用线面垂直的判定定理即可得证.【详解】（1）连接交于点，连接，如图，

因为，所以，因为，所以，所以，所以，又平面平面，所以平面.（2）因为平面平面，，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，因为平面平面，所以平面．20．某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示.(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；(2)估计测评成绩的第分位数；(3)已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立?请证明你的结论.【答案】(1)(2)(3)不相互独立，证明见解析【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，从而得解；（2）先判断测评成绩的第分位数所在区间，再利用百分位数的计算方法求解即可；（3）依题意分别求得这两事件与交事件的概率，再利用独立事件的概率公式判断即可.【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：，则分数小于60的频率为：，故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为；（2）由频率分布直方图易得分数小于70的频率为，分数小于80的频率为，则测评成绩的第分位数落在区间上，所以测评成绩的第分位数为；（3）依题意，记事件“抽到的学生分数小于30”，事件“抽到的学生是男生”，因为分数小于40的学生有5人，其中3名男生；所以“抽到的学生是男生”的概率为，因为分数小于30的学生有2人，其中1名男生，所以“抽到的学生分数小于30”的概率为，因为事件表示“抽到的学生分数小于30且为男生”，满足条件的只有1名男生，所以，因为，所以这两个事件不相互独立.21．如图，在正三棱台中，底面是边长为的正三角形，且.

(1)证明：；(2)求异面直线、所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将正三棱台补成正三棱锥，取的中点，连接、，证明出平面，可得出，即可得出结论；(2)【详解】（1）证明：将正三棱台补成正三棱锥，取的中点，连接、，因为为等边三角形，为的中点，则，在正三棱锥中，，为的中点，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，即.（2）解：取的中点，连接、、、，如下图所示：

因为在三棱台中，，且，则，又因为，所以，、分别为、的中点，同理，为的中点，所以，，故正三棱锥的每个面都是边长为的等边三角形，因为为的中点，则，同理，因为、分别为、的中点，所以，，且，所以，异面直线、所成角为或其补角，在中，，，，由余弦定理可得，由余弦定理可得，因此，异面直线、所成角的余弦值为.22．已知是内一点，.(1)若是的外心，求的余弦值；(2)若是的垂心，是平面外一点，且平面，当四面体外接球体积最小时，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）取中点，中点，分别连接，再根据，由向量垂直的数量