2022-2023学年江苏省常州市高二上学期10月第一次调研数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省常州市高二上学期10月第一次调研数学试题一、单选题1．直线的倾斜角是（

）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】A【分析】先求得直线的斜率，进而求得倾斜角.【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：A2．若点、、在同一直线上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用结合斜率公式可求得实数的值.【详解】因为、、在同一直线上，则，即，解得.故选：A.3．已知，，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB的中点的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据中点坐标公式可得直线在轴截距，根据截距式即可求解直线的截距式方程.【详解】由中点坐标公式可得线段AB的中点为，故可知轴上的截距为4，故直线的方程为.故选：B4．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得到答案．【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r，则圆的方程为，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点，∴，∴，∴圆的方程为，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，∴，∴当水面下降1米后，水面宽度为．故选：C．5．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（

）A．有最大值，为16 B．有最小值，为16C．有最大值，为4 D．有最小值，为4【答案】A【分析】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得有最大值，为16．【详解】由题意知，，则．由基本不等式，知，（当且仅当时等号成立），所以有最大值，为16．故选：A．6．在平面直角坐标系中，已知圆：，点是轴上的一个动点，，分别切圆C于P，Q两点，则线段长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，利用面积相等得到，再根据即可求得的取值范围.【详解】设，则，由可知，∵AC垂直平分PQ，∴，∴当时，PQ取得最小值，又，∴，∴．故选：B．.7．在平面直角坐标系中，已知圆，是直线上的两点，若对线段上任意一点，圆上均存在两点，使得，则线段长度的最大值为（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】设圆的切线为、，由得，即，再求得的取值范围，求得点的坐标，即可求得的最大值．【详解】由题意，圆心到直线的距离为（半径）故直线和圆相交；当点在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，才是最大的角，不妨设切线为，，则由，得，；当时，，设，，解得：，设，如图，之间的任何一个点，圆上均存在两点，使得，线段长度的最大值为

故选：C8．已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率.【详解】由已知，可根据条件做出下图：因为，令，所以，，由椭圆的定义可知，所以，所以，，，，由椭圆的定义可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的离心率是.故选：D.二、多选题9．若直线m被两平行直线：x－y＋1＝0与：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（

）A．15° B．30° C．60° D．75°【答案】AD【分析】求两平行线之间的距离，根据三角函数，得到直线与平行线的夹角，再结合外角定理，可得答案.【详解】因为，所以直线，间的距离．设直线m与直线，分别相交于点B，A，则，过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，则，则在Rt△ABC中，，所以∠ABC＝30°，又直线的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°．故选：AD．10．已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（

）A．椭圆的长轴长为B．椭圆的离心率C．△的周长为D．的取值范围为【答案】ACD【分析】根据椭圆的方程，求出，，，判断A，B，C的正误，对于D，设出，表示出的解析式，求出其范围，判断正误即可.【详解】椭圆，，椭圆的长轴长为，故A正确，椭圆的离心率，故B错误，的周长为：，故C正确，设，则，且，故，又，则，故，故的取值范围是，故D正确，故选：ACD.11．已知点，，且点在圆：上，为圆心，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为B．以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：C．当最大时，的面积为D．的面积的最大值为【答案】ABD【分析】由求得最大值判断A；以为直径的圆方程与圆的方程相减判断B；当与圆相切时，求出三角形的面积判断C；求出点到直线的距离最大值，计算判断D作答.【详解】显然点在圆：外，点在圆内，圆的半径为2，直线方程为，圆心在直线上，对于A，，当且仅当点是射线与圆的交点时取等号，A正确；对于B，以为直径的圆方程为，与圆的方程联立消去二次项得，因此以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，B正确；对于C，当且仅当与圆相切时，最大，即，此时，，，C错误；对于D，到直线：的距离最大值为2，因此的面积的最大值为，D正确.故选：ABD12．已知点P是坐标平面xOy内一点，若在圆O：上存在A，B两点，使得（其中k为常数，且），则称点P为圆O的“k倍分点”，则（

）A．点不是圆O的“3倍分点”B．在直线：上，圆O的“倍分点”的轨迹长度为C．在圆D：上，恰有1个点是圆O的“2倍分点”D．若点P是圆O的“1倍分点”，则点P也是圆O的“2倍分点”【答案】BCD【分析】根据圆O的“k倍分点”的定义，得到各线段的关系，进而表示各线段的长度，然后在三角形中利用余弦定理求解判断.【详解】A.如图所示：

若点是圆O的“3倍分点，则，设，，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，则，解得，故点是圆O的“3倍分点”，故错误；B.如图所示：

过点O作弦AB的垂线OD，当点P在直线：上，P是圆O的“倍分点”，则，设，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，则，解得，因为，则，所以，解得，因为的斜边上的高为，所以当P在直线l上时，，所以，又因为直线l的方程为，所以，故正确；C.如图所示：

在圆D：上取一点P，若点P是圆O的“2倍分点”，则有，设，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，则，解得，即，综上：，所以在圆D：上，恰有1个点是圆O的“2倍分点”，故正确；D.如图所示：

设，若点P是圆O的“1倍分点”，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，则，解得，此时点P是圆O的“1倍分点”，当点A，B互换位置时，点P是圆O的“2倍分点”，故正确,故选：BCD三、填空题13．直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为.【答案】【分析】设出直线的方程，代入，求出答案.【详解】设直线的方程为，将代入可得，解得，故直线的方程为.故答案为：14．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围.【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，设，则，由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.故答案为：.

15．写出与圆和圆都相切的一条切线方程.【答案】或或【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，易得切线的方程为，因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以，可知和关于对称，联立，解得在上，在上任取一点，设其关于的对称点为，则，解得，则，所以直线，即，综上，切线方程为或或.故答案为：或或.16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为.【答案】/【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案.【详解】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，

故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为，故答案为：四、解答题17．已知直线的方程为，若直线过点，且.(1)求直线和直线的交点坐标；(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）求出直线的方程与方程联立求解交点坐标即可；（2）分类讨论，截距都为0与截距都不为0两种情况求解的方程即可.【详解】（1）因为直线过点，且，所以直线的方程为，即，联立，解得，，所以直线和直线的交点坐标为；（2）当直线在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，因为直线过，所以，所以，此时直线方程为，即，综上直线的方程为或.18．已知圆，直线，．(1)若圆上存在两点关于直线对称，求实数的值；(2)若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意知直线过圆心，代入点的坐标求出的值；（2）求出圆心到直线的距离和被圆所截得的弦长，再求出直线被圆所截得的弦长与圆心到直线的距离，列方程求出的值．【详解】（1）解：圆的圆心为，圆上存在两点关于直线对称，则直线过圆心，，解得；（2）解：由直线，得，则圆心到直线的距离为，被圆所截得的弦长为；又直线、被圆所截得的弦长之比为，被圆所截得的弦长为，由，得；则圆心到直线的距离，整理得，解得．19．如图，已知的圆心在原点，且与直线相切．(1)求的方程；(2)点P在直线上，过点P引的两条切线、，切点为A、B．①求四边形面积的最小值；②求证：直线过定点．【答案】(1)；(2)①；②证明见解析．【分析】（1）求出圆心到切线的距离得圆半径，从而得圆标准方程；（2）①由勾股定理求得切线长，由求得四边形面积，由此得当最小时，四边形面积最小，从而得结论；②A，B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为（8，b），，写出此圆方程，此圆方程与已知圆方程相减公共弦所在直线方程，由直线方程得定点坐标．【详解】（1）依题意得：圆心（0，0）到直线x+3y+40的距离d＝r，∴，∴圆C的方程为x2+y2；（2）①解：连接OA，OB，∵PA，PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴．∴当PO取最小值为8时，；②证明：由①得，A，B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为（8，b），，则线段OP的中点坐标为（4，），∴以OP为直径的圆方程为，即x2+y2﹣8x﹣by＝0．∵AB为两圆的公共弦，∴由得直线AB的方程为，b∈R，即8(x)+by＝0，则直线AB恒过定点(，0)．20．已知椭圆C：（其中）的离心率为，左右焦点分别为，.(1)求椭圆C的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A，B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D.若点D恰好是与A的中点，求线段AB的长度.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据焦点和离心率即可求解,进而得椭圆方程，（2）联立两直线方程可得坐标，根据中点坐标公式可得,将代入椭圆，即可得斜率，进而由直线方程和椭圆方程联立即可利用弦长公式求解.【详解】（1）由题设，得.

又，所以.

所以，

所以椭圆的方程为，（2）设，.

由题意可知直线有斜率且不为0，故设直线的方程为，

所以直线的方程为，

所以

得

所以

因为点恰好是与的中点，所以，

因为点在椭圆上，所以

解得，

当时，由，得

所以，所以

同理时，21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：，过点O及点的圆N与圆M外切．(1)求圆N的标准方程；(2)若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程；(3)直线MN上是否存在点B，使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为P，（不重合），满足？若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）由题得到，N在直线上，设，半径为r，根据两圆外切，表示出MN，解出b和r即可；（2）易得直线l的斜率存在，不妨设l的方程为，根据l被两圆截得的弦长相等，可得，解出k即可；（3）设，由得，与直线MN的方程为联立即可．【详解】（1）解：由题意知，圆N的圆心N在直线上，设，半径为r，因为圆N与圆M外切，且圆M的圆心，半径为，所以，即①，又，即②，由①可得，将②代入，可得，即①