培优专题12-全等三角形及其应用(含标准答案)

#/11中位线这个条件。证明：取CD中点F,连接BFBF=：AC,且BF〃AC（三角形中位线定理）・•.ZACB=Z2（两直线平行内错角相等）又AB=ACZACB=Z3（等边对等角）Z3=Z2在乙CEB与乙CFB中，「BF二BEyZ3=Z2-CB=CB/.△CEB^ACFB（SAS）ce=cf=3CD（全等三角形对应边相等）即CD=2CE（ii）加倍法证明：延长CE至UF,使EF=CE,连BF.在乙AEC与八BEF中，「AE=BEJZ1=Z2（对顶角相等）Ice二fe.*.△AEC0ABEF（SAS）•・AC=BF,Z4=Z3（全等三角形对应边、对应角相等）•・BF〃AC（内错角相等两直线平行）ZACB+ZCBF=180o,ZABC+ZCBD=180°,又AB=AC.•・NACB=NABC•・NCBF=NCBD（等角的补角相等）在^CFB与^CDB中，,_CB=CByZCBF=ZCBD，一BF=BD•・△CFB0ACDB（SAS）.•・CF=CD即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F,连BF（如图）（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.（4）证明线段相互垂直例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，△ADC、△BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC,AO±BC.证明：延长AO交BC于旦在^ADO和^CDB中，-AD=DCZADO=NCDB=90oOD=DB.△ADO0ACDB（SAS）•.AO=BC, ZOAD=ZBCD（全等三角形对应边、对应角相等）・,ZAOD=ZCOE（对顶角相等）.ZCOE+ZOCE=90o.AO±BC5、中考点拨：例1.如图，在△ABC中，AB=AC,E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点。，连结ED，并延长ED到点方，使DF=DE，连结FC.求证：NF=ZA.A分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中NA、NF不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF〃AC,因此把NA通过同位角转到^BDE中的NBED,只要证△EBD/△FCD即可.证明：•・•AB=AC,ANACB=NB,「EB=ED,ANACB=NEDB.AED〃AC.ANBED=NA.「BE=EA.ABD=CD.又DE=DF,NBDE=NCDF•・△BDE必CDF,ANBED=NF.ANF=NA.说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。例2如图，已知^ABC为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连接CE、DE.求证：EC=ED分析：把已知条件标注在图上，需构造和^AEC全等的三角形，因此过D点作DF〃AC交BE于F点，证明△AEC04FED即可。证明：过D点作DF〃AC交BE于F点•「△ABC为等边三角形・•・△BFD为等边三角形.•・BF=BD=FD•・•AE=BD.AE=BF=FD.•・AE-AF=BF-AF即EF=AB.EF=AC在^ACE和^DFE中，,EF=AC（已证）ZEAC=ZEDF（两直线平行，同位角相等）-AE=FD（已证）.△AEC^AFED（SAS）・•.EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：例1如图，△ABC中，/C=2ZB,N1=N2。求证：AB=AC+CD.分析：在AB上截取AE=AC,构造全等三角形，△AED/△ACD，得DE=DC,只需证DE=BE问题便可以解决.证明：在AB上截取AE=AC,连结DE.・•AE=AC,Z1=Z2,AD=AD,•・△AEDSACD,•・DE=DC,/AED=ZC.・•/AED=/B+/EDB，/C=2/B,.•・2/B=/B+/EDB.即/B=/EDB..EB=ED,即ED=DC,.AB=AC+DC.剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE=AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容.【实战模拟】.下列判断正确的是（ ）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等.已知：如图，CD±AB于点D,BE±AC于点E,BE、CD交于点O,且AO平分/BAC.求证：OB=OC..如图，已知C为线段AB上的一点，AACM和ACBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：ACEF是等边三角形。

.如图，在^ABC中，AD为BC边上的中线.求证：ADv1(AB+AC).如图，在等腰Rt^ABC中，/C=90°,D是斜边上AB上任一点，AE±CD于E,BF±CD交CD的延长线于F,CH^AB于H点，交AE于G.求证：BD=CG.【试题答案】.D.证明：,:AO平分/ODB,CD±AB于点D,BE±AC于点E,BE、CE交于点O,•.OD=OE,zODB=zOEC=90°,ZBOD=zCOE。•.△BOD"COEA^SA).•.OB=OC3.分析由NACM=NBCN=60。，知NECF=60。，欲证ACEF是等边三角形，只要证明ACEF是等腰三角形。先证ACAN0AMCB,得N1=N2.再证ACFN0ACEB,即可推得ACEF是等边三角形的结论。证明：在ACAN和AMCB,VAC=MC,CN=CB,NCAN=NMCB=120。，•,.AACN0AMCB中，・，.ZFCB和ACEB中，,?ZFCN=ZECB=60O,Z1=Z2,CN=CB,.•・ACFN0ACEB,・'.CF=CE,XVZECF=60O,Z.ACEF是等边三角形.4.分析：关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E,使DE=AD,即可得到^ACD^^EBD.证明：延长AD到E,使DE=AD,连结BE在AACD与AEBD中“AD=ED（作法）ZADC=ZEDB（对顶角相等）CD=BD（已知）.•・AACD0AEBD（SAS）・•.AC=EB（全等三角形对应边相等）在AABE中，AB+EB>AE（三角形两边之和大于第三边）.AB+AO2AD（等量代换）即Cab+ac）说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。5.分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证4CGE/△BD凡由于全等条件不充分，可先证4AEC/△CFB证明：在母△AEC与母△CFB中，VAC=CB,AE±CD于E,BF±C交CD的延长线于FAZ