2024年中考数学专题复习-专题二 应用题（训练）

2024年中考数学专题复习专题二应用题第01讲数学模型应用问题课前预习1.填写下列表格，并回忆相关概念。名称定义要点变形依据求解思路一元一次方程①一元一次②整式方程等式的基本性质转化成的形式二元一次方程组①元次②两个一组的基本性质通过转化为一元一次方程求解；常见的解法有代入消元法和分式方程分母中含有的基本性质通过转化为整式方程求解，求解后需要一元二次方程①整式方程②化简整理③元次的基本性质转化为一元一次方程求解；主要解法：①直接开平方法；②；③；④不等式（组）用连接的基本性质类比一元一次方程，转化为的形式2.解下列方程.（1）.（2）.知识精讲一、应用题的处理思路1.理解题意，辨识类型类型需要考虑：（1）所属的数学模型（方程不等式问题、函数问题、测量问题）；（2）实际生活的背景（工程问题、行程问题、经济问题）。2.梳理信息，建立模型根据所属类型，围绕关键词、隐含的数学关系，通过列表或画线段图等方式，对信息分类整理，据此建立数学模型。（1）常见关键词：①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑方程；②不超过、不多于、少于、至少……，考虑不等式（组）；③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值……，考虑函数（一次函数、二次函数），根据函数性质求取最值。（2）隐含的数学关系：①原材料供应型（使用量≤供应量）；②容器容量型（载重量≥货物量）。3.求解验证，回归实际（1）结果是否符合题目要求；（2）结果是否符合实际意义。精讲精练1.某次地震后，政府为安置灾民，准备从某厂调拨用于搭建帐篷的帆布和撑杆.（1）已知该厂现有帆布和撑杆，不足部分计划安排110人进行生产.若每人每天能生产帆布或撑杆，则应分别安排多少人生产帆布和撑杆，才能确保同时完成各自的生产任务？（2）计划使用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的帐篷共100顶.若搭建一顶甲型帐篷和一顶乙型帐篷所需帆布与撑杆的数量，及其所能安置人数如下表所示，则这100顶帐篷最多能安置多少灾民？帐篷规格帐篷数量（）撑杆数量（）安置人数（人）甲型40306乙型602082.现要将228吨物资从某地运往甲、乙两地，若使用大、小两种货车共18辆，则恰好能一次性运完这批物资.已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：运往地车型甲地（元/辆）乙地（元/辆）大货车720800小货车500650（1）求这两种货车各使用多少辆.（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地.设前往甲地的大货车为辆，前往甲、乙两地的总运费为元，求出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）.（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费.3.随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设的稳步推进，其拥有的养老床位数不断增加.（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年底到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率.（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位）、双人间（2个养老床位）、三人间（3个养老床位）.因实际需要，单人间的房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍.设规划建造单人间的房间数为.①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求的值；②该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？4.旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金（单位：元）是5的倍数.发现每天的运营规律如下：当不超过100元时，观光车能全部租出；当超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每日的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入-管理费）（2）设每日的净收入为元，请写出与之间的函数关系式.（3）若某日的净收入为4420元，且使游客得到实惠，则当天每辆观光车的日租金是多少元？5.洛阳某学校组织学生、家长代表与部分老师到郑州进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如下表所示，二等座学生票可打七五折，已知所有人员都买一等座单程火车票需6175元，都买二等座单程火车票需3150元；家长代表与老师的人数之比为.运行区间票价（元）起点站终点站一等座二等座洛阳郑州9560（1）参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座单程火车票只能买张（＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计一套最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用与之间的函数关系式.（3）在（2）的方案下，请求出当时，购买单程火车票的总费用.6.某地一经济适用房楼盘一楼是商铺（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）.商品房售价方案如下：第八层售价为2000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为80平方米.开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的），再办理分期付款（即贷款）.方案二:购买者若一次付清所有房款，则享受的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为元）.（1）请写出每平方米售价（元/米2）与楼层（，是正整数）之间的函数解析式.（2）王老师已筹到60000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？（3）有人建议王老师使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受的优惠划算.你认为王老师的说法一定正确吗？请通过计算确定的范围，并阐明你的看法.7.某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.如果售价为毎件25元，每个月可卖出15万件；如果售价超过25元但不超过30元，每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1万件；如果售价超过30元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖0.5万件。设每件商品的售价为元（是整数），该产品的年销售量为（万件）.（1）求与之间的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围.（2）经过市场调研发现,该产品的销售单价定在25元到35元之间（可以取到25元、35元）较为合理.（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）①求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损.若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？②第二年，该公司决定给希望工程捐款万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品；就抽出一元钱作为捐款.若除去第一年的最大利润（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围.第02讲实际生活应用问题（一）课前预习1.在中，已知，，，的对边分别为，，.根据下列条件填空：（1），，则.（2），，则.（3），则.（备注：，，）2.利用三角函数求解边长时，必须将该角度放置在直角三角形中进行处理，所以构造直角三角形时，往往在角度和线段长集中处作高构造.参考下列图形的构造方式，完成以下问题：图1图2图3（1）如图，在中，，，，则.（2）如图，已知是等腰三角形底边上的高，且.上有一点，若，则的值为.知识精讲一、应用题的处理思路（流程）1.理解题意，辨识类型2.梳理信息，建立模型解决实际生活应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题。通常思路是：（1）梳理条件，提取信息，并将其标注到图形上；（2）明确结果及判断标准——文字描述转化为数学语言；（3）在线段和角度集中处，寻找或构造直角三角形，利用三角函数，表达线段长、列方程求解。3.求解验证，回归实际精讲精练1.如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛，上的观测点进行观测.从岛测得渔船在南偏东的方向C处，岛在南偏东方向，从岛测得渔船在正西方向.已知两个小岛间的距离是72海里，岛上维修船的速度为20海里/时，岛上维修船的速度为28.8海里/时，为及时赶到维修，调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据：，，，）2.如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为.矩形面与地面所成的角为.李师傅的身高为，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便.（参考数据：，，）3.如图，在一条笔直的东西向海岸线上有一长为的码头和灯塔，灯塔距码头的东端有.一轮船以36km/h的速度航行，上午在处测得灯塔位于轮船的北偏西方向，上午在处测得灯塔位于轮船的北偏东方向，且与灯塔C相距.（1）若该轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？（2）若该轮船不改变航向，能否停靠在码头？请说明理由.（参考数据：，）4.如图，港口位于港口正西方向120海里处，小岛位于港口北偏西60°的方向.一艘科学考察船从港口出发，沿北偏西的方向以20海里/时的速度驶离港口，同时一艘快艇从港口出发，沿北偏东30°的方向以60海里/时的速度驶向小岛，在小岛用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去.（1）快艇从港口到小岛需要多少时间？（2）快艇从小岛出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？5.小芳和小亮想通过测量某塔型建筑物的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力.计划通过两次测量来得到该建筑物的高度.第一次测量：如图，小芳在小亮和该建筑物之间的直线上水平放置一平面镜，并且在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点.镜子保持不动，小亮看着镜面上的标记在上来回走动，当他走到点时，看到该建筑物顶端点在镜面中的像与镜面上的标记恰好重合，此时测得小亮眼睛与地面的高度米，米.第二次测量：如图，小亮从点沿方向走了16米，到达该建筑物影子的末端点处，此时，测得小亮身高的影长米，米.如图，已知，，，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出该建筑物的高的长度.6.某厂家新开发的一种摩托车如图所示，它的大灯射出的光线AB，与地面的夹角分别为和，大灯与地面之间的距离为.（1）该车大灯照亮地面的宽度约是多少（不考虑其他因素）?（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以的速度驾驶该车，从到摩托车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求，请说明理由.（参考数据：，，，）7.如图，在东西方向的海岸线上有一长为的码头，码头西端的正西方向处有一观察站.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西，且与相距的处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于的北偏东，且与相距的处.（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由.第03讲实际生活应用问题（二）课前预习1.已知二次函数，若时，函数值随的增大而增大，则的取值范围是；若时，函数值随的增大而减小，则的取值范围是.提示：（1）根据函数图象的开口方向向上，对称轴为直线画出大致图象；（2）由增减性可知，在对称轴以右，确定和的相对位置.2.已知二次函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为；若的函数值总为正数，则图象顶点在第象限，的取值范围是.提示：“函数值总为正数”能转化为函数与轴交点个数的问题吗？3.在解决“已知函数，且，则此函数的最大值是多少？”这一问题时，小明采用了将二次函数化成顶点式的做法：①提二次项系数②括号内配方③化简整理.④∵，∴当时，.观察小明的具体操作后，回答下列问题：在①，②，③，④的变形操作中错误的是.请写出正确的求解过程.试一试：你能借助二次函数图象解决这个问题吗？知识精讲一、应用题的处理思路1.理解题意，辨识类型结合图表理解题意，将实际场景与图象中轴、点、线对应起来理解分析。2.梳理信息，建立模型（1）将所求目标转化为函数元素，借助图象特征，利用表达式进行求解；（2）将图象中的点坐标还原成实际场景中的数据，借助实际场景中的等量关系列方程求解。3.求解验证，回归实际精讲精练1.如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式.已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为.（1）当时，求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）.（2）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.（3）若球一定能越过球网，又不出边界（球落在边界上不算出界），求的取值范围.2.如图1，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线的绳子.图1图2（1）求绳子最低点离地面的距离.（2）因实际需要，在距离米的位置处用一根立柱撑起绳子（如图2），使左边抛物线的最低点距离为1米，距离地面为1.8米，求的长.（3）将立柱的长度提升为米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为.设离的距离为米，抛物线的顶点离地面的距离为米，当时，求的取值范围.3.甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同.“五一”假期，两家均推出了优惠方案.甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过的部分打折优惠.优惠期间，设某游客的草莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系.（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克元.（2）分别求出与，与的函数表达式.（3）在图中画出与的函数图象，并写出选择甲采摘园比选择乙采摘园所需总费用少时，草莓采摘量的取值范围.4.方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从地出发沿一条公路匀速前往地，设乙行驶的时间为（），甲、乙两人之间的距离为（），与的函数关系如图1所示.方成思考后发现了图1的部分正确信息：乙先出发，甲出发与乙相遇，……，请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段，所在直线的函数表达式.（2）当时，求的取值范围.（3）分别求出甲、乙行驶的路程、与时间的函数表达式，并在图2所给的坐标系中分别画出它们的图象.（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从地沿同一条公路匀速前往地，若丙经过与乙相遇，问丙出发后多长时间与甲相遇？图1图25.甲、乙两工程队维修同一段路面，原计划甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面.乙队计划在中途停工休息1小时，然后按停工前的工作效率继续工作.如图所示，交通局小张模拟原计划得到了一个函数图象，其中甲队清理完的路面长（米）与时间（小时）的函数图象为线段，乙队铺设完的路面长（米）与时间（小时）的部分函数图象为线段.（1）分别求出线段，所在直线对应的函数关系式.（2）若乙队计划工作2小时后停工休息，补全乙队的函数图象.（3）在（2）的条件下，当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长.（4）小张考虑尽量让整个工程提前完工，通知乙队做出调整，乙队同意提前开工，但工作过程中的计划保持不变，则乙队需要提前开工多长时间？6.在日常生活中，我们经常看到一些窗户上安装着遮阳蓬，如图1.现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳蓬，已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为.把图1画成图2，其中表示窗户的高，表示直角形遮阳蓬.（1）遮阳蓬怎样设计,才能正好在冬天正午太阳最低时，光线最大限度地射入室内而夏天正午太阳最高时光线刚好不射入室内？请在图3中画图表示.（2）已知,在（1）的条件下,求出，的长度.（结果精确到，参考数据：，，，，，）图1图2图3第04讲综合应用题课前预习1.已知函数，借助函数图象，解决下列问题：（1）当时，的取值范围是.（2）解不等式.2.实际生活中的变化过程往往不能只用一个函数来进行描述.以阶梯水费为例：用户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费.若某户居民某月份用水吨，应交水费元，则关于的函数关系式可表示为.当用水量时，适用函数关系式；当时，适用函数关系式.我们把这样的函数叫做分段函数，分段函数要注意其自变量的取值范围.3.解决下列问题：某企业利润关于其产品售价之间的函数关系式为若要使该企业利润最大，售价应定为多少？提示：①求出当时，的最大值；②求出当时，的最大值；③将两段函数的最值进行比较，较大的为整个函数的最大值.知识精讲一、应用题的处理流程1.理解题意，辨识类型2.梳理信息，建立模型综合类应用题信息的呈现形式：（1）表达式——要清楚变量含义、变量间关系；（2）图象、表格——明确文字信息与图象、表格中量的对应关系；（3）文字信息——抓取关键词、关键语句、量与量之间关系。如:×××与×××成正比例；售价每上涨××元，每个月少卖××件。（4）隐含信息如：自变量、因变量的范围限制，整数、正数等。3.求解验证，回归实际精讲精练1.某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：时间（）1361036…日销售量（件）9490847624…已知在末来40天内，该商品每天的销售价格（元/件）与时间（天）的函数关系为：.下面我们就来研究销售该种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的相关知识确定一个满足这些数据的与之间的关系式.（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，且最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润给希望工程.公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围.2.某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，将其分拣成，，两类，类杨梅包装后直接销售，类杨梅加工后再销售.类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格（万元/吨）与销售量（）（吨）之间的函数关系如图所示.类杨梅加工总费用（万元）与加工数量（吨）之间的函数关系是，平均销售价格为9万元/吨.（1）直接写出类杨梅平均销售价格与销售量之间的函数关系式.（2）该公司第一次收购了20吨杨梅，其中类杨梅吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为万元.（毛利润=销售总收人-经营总成本）①求关于的函数关系式；②若该公司获得了30万元的毛利润，则用于直接销售的类杨梅有多少吨？（3）该公司第二次准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使该公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润.3.科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标表示科技馆从开门后经过的时间（分钟），纵坐标表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为，已知之后来的游客较少可忽略不计.（1）请写出图中曲线对应的函数解析式.（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不能超过684人，后来的游客需要在馆外休息区等待.从开始到馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进人.请问馆外游客最多等待多少分钟？4.为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积（平方米）单价（万元/平方米）不超过30平方米的部分0.3超过30平方米不超过（）平方米的部分0.5超过平方米的部分0.7根据这个购房方案：（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款.（2）设该家庭购买商品房的人均面积为平方米，缴纳房款为万元，请求出关于的函数关系式.（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米左右，缴纳房款为万元，且，求的取值范围.5.某学校开展“我的中国梦”演讲比赛，学校准备购买10支某种品牌的水笔，每支水笔配支笔芯，作为比赛获得一等奖学生的奖品.，两家文具店都有这种品牌的水笔和笔芯出售，且每支水笔的标价均为30元，每支笔芯的标价为3元.目前两家文具店同时在做促销活动：文具店,所有商品均打九折（按标价的）销售；文具店，买一支水笔送2支笔芯.设在文具店