专题03三角函数1三角恒等变换（3大重难点详细讲解）2024高考数学重难点及压轴题突破

第01讲三角恒等变换难点1：三角函数求值在考试中，我们得到的三角函数往往不是最简形式的三角函数，我们需要对其进行化简，得到最简的三角函数值，进而对题目进行求解。常见的三角函数的公式：，，，，，，，，，【例题】（2022.云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知，，且，则A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，我们知道了的值，为了求的值，我们知道函数在上单调递增，在上单调递减，而我们知道，因此知道了的度数是小于的，便能求出的值。∵且，∴，∴，题目给出了的值，我们已经求出了和的值，利用的取值范围求出的值，由于我们无法知道的的范围，因此需要分类讨论，进而求出的值。∵，∴，，∴，当时，在求的时候，我们发现，并没法直接求出，但题目给出了，我们将看做一个整体，那么就可以看作是减去，那么便可以利用两角和的正弦公式来求出。.不合题意，舍去;当时，同理可求得，符合题意.综上：.故选：A.【变式训练1】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若，则B.【答案】D【解析】由题意，∵,∴，∴,即∵,∴，故选：D.【变式训练2】（2023.全国·模拟预测）已知，则A.为第二象限角B.C.D.【答案】BC【解析】由题意，∵，∴有，∴得到，∵，∴，∴且为第一象限角，∴，故A不正确，B正确;∵，∴，∴，故C正确;∵，∴，故D不正确.故选：BC.难点2：三角函数化简在考试中，题目所给的三角函数往往不是最简形式，我们无法直接判断出选项，需要对三角函数进行一系列化简后才能去分析函数的性质。【例题】（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是A.的值域为B.的单调递减区间为C.为奇函数，D.不等式的解集为【答案】D【解析】由题意，在中，我们发现这个函数无法直接看出她的单调性，奇偶性，值域等，而且包含的有和平方项，过于复杂，因此我们考虑先将函数进行化简，然后再研究其性质。，A项，我们发现函数是乘上，我们知道型函数的取值范围是，于是便得出函数的取值范围。∴，故选项A正确;B项，我们知道型函数中函数在上单调递增，但由于函数有项，因此在上单调递减，便可求出函数的单调递减区间。∵，∴，∴的单调递减区间为，故选项B正确;C项，∵，所以在中，∴为奇函数，故选项C正确;D项，我们将方程代入，对不等式进行一个化简，然后代入对应的区间，解不等式方程，即可得出该不等式的解集。∵，∴，∴，解得：，∴不等式的解集为，故选项D错误.故选:D.【变式训练】（2022.山西朔州·统考三模）下面关于函数的结论，其中错误的是A.的值域是C.的图象关于直线对称B.是周期函数D.当时【答案】C【解析】由题意，∵，∴的值域是，A正确；∵，∴是的周期，B正确；由，可得的图象不关于直线对称,C错误;当时，，D正确，故选：C.难点3：与二次函数（或一元二次方程及不等式）相关复合遇到三角函数与二次函数复合的题目，有以下处理思路：（1）设出参数，求出参数的取值范围；（2）写出和二次函数（或一元二次方程及不等式）表达式，将参数取值范围作为二次函数定义域；（3）利用二次函数（或一元二次方程及不等式）求参数。【例题】（2023.天津南开.南开中学校考模拟预测）已知，则角所在的区间可能是A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，由题目条件我们发现左边是和相加，右边和相乘，我们要求的是角所在区间，也就是求角的大小，而和相乘可以化简成，可以得到的范围，于是我们设这个等式为，从而求出整个数值的范围。令，则，我们知道和的平方和为1，而，于是考虑将二者联立解出和的和。而需要注意的是和的和（也就是）的范围，其对应的函数值是不大于2的，要舍去不符合条件的值。∵，∴，解得：或（舍），∴在第二或第四象限，排除A和D，∵，当时，，不符题意，舍去，排除B，∴只有答案满足，故选：.【总结】对于三角函数与二次函数（或一元二次方程及不等式）相结合的题注意事项：（1）要将设出的参数取值范围作为二次函数定义域；（2）巧妙利用完全平方公式，平方和公式，和的平方和为1等公式。【变式训练1】（2023·江苏南京·校考二模）已知函数，则下列说法正确的有A.函数为偶函数B.函数的最小值为2C.函数的最大值为2D.函数在上有两个极值点【答案】AC【解析】由题意，对于A选项，函数定义域为，∴函数为偶函数，故正确;对于B选项，，∴当时，函数有最小值，故错误；对于C选项，由于，∴当时，函数有最大值2，故正确；对于D选项，当，令得或，令在上的两个实数根为，则，∴当时，单调递减;当时，单调递增；当时，单调递减;当时，单调递增；∴在处取得极大值，在和处取得极小值，∴函数在上有三个极值点，故错误.故选：AC.【