第一中学高二数学上学期期末考试试题理

陕西省西安市长安区第一中学2020—2021学年高二数学上学期期末考试试题理考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2i(）43iA。B.C.D。21i551212i21ii5555552。“”是“x0”的（）2xx02A。充分不必要条件B。必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列说法正确的是（）A.类比推理是由特殊到一般的推理B。合情推理得到的结论是正确的C.归纳推理是由个别到一般的推理D。合情推理得到的结论是错误的4.一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是，则物st2t2体在t2时的瞬时速度为(）A。4B。6C。8D。105.某双曲线的一条渐线近方程为3，且上焦点为(0,26)，则该yx2双曲线的方程是(）A。x2B。y264y21x2164C。x2D。y2y21x211881886。设P(x,y)，若x2(y23)2x2(y23)28,则点P的轨迹方程为（）1A.C.B。xy2214162D.xy2xy2218421487。用反证法证明“至少存在一个实数，使成立”时，假30x0x0设正确的是（）A.不存在实数，使成立30x0x0B。至多存在一个实数，使成立30x0x0C。至少存在两个实数，使成立30x0x0D.任意实数x,恒成立30x08.如图,在平行六面体ABCDABCD中，点M是棱的中点，连结CC11111，交于点P，则（）BM1BC1A。B。2APAB2ADAA2APABAD2AA333311C。D。APABAD2AA21APABAD1AA3322119.已知函数的导函数是，的图象如图所示，下列说法fxfxfx正确的是（）A.函数在上单调递减fx2,12B.函数在处取得极大值fxx3C。函数在上单调递减fx1,1D.函数共有4个极值点fx10。在三棱锥中,PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC，M,NPABC分别为AC,AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为(）A.B.C。D。6363666611.若函数在上为减函数，则实数m的取值范围是f(x)xmlnx(0,1]2（)A.[2,)B.(2,)C。D。(,2](,2)12。已知抛物线方程为，直线，抛物线上一动点y4xl:xy202P到直线l的距离的最小值为（)A。B。C。D。22222242422二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13。命题“xR,”的否定是______.xx0214.函数的图象在点处的切线方程是______.f(x)xx5P(1,f(1))315.如图，中心均为坐标原点O的双曲线与椭圆在x轴上有共同的焦点,，点M，N是双曲线的左、右顶点,点A，B是椭圆的FF12左、右顶点.若，M，O，N，将线段AB六等分,则双曲线与椭FF12圆的离心率的乘积为______。316.定义在R上的函数满足:，且当时，,f(x)f(x)2xx0f(x)2x2f(x)则不等式f(x)25f(5x)10x的解集为______。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17。（本小题满分10分)已知对任意实数x都有恒成立,关于x的方程q:p:axax12有实数根.2x23xa0若“pq"为真,“pq”为假，求实数a的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数在处有极值.f(x)x3axx(aR)x132（1）求a的值；（2)求函数的单调区间.f(x)19.（本小题满分12分）已知椭圆x2和直线l:y2xm.C:y124（1）当椭圆C与直线l有公共点时,求实数m的取值范围；（2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点，求的最大值.AB20.(本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形PAD中,A90,AD8，，B，C分别AB3是PA，PD上的点，且，AD∥BCM，N分别为BP，CD的中点，现4将沿BC折起,得到四棱锥，连结MN。（1）证明：平面MN∥PAD；(2）在翻折的过程中,当时，求二面角的余弦值。PA4BPCD21。(本小题满分12分)已知函数。f(x)alnx2x24x(aR)(1)若是的极值点，求的单调区间；x2f(x)f(x)（2)求在区间上的最小值。g(x)f(x)ax[1,e]h(a)22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点P，Q是C:y2px(p0)2抛物线C上异于点O的两个不同的动点，当直线PQ过点F时，PQ的最小值为8。（1）求抛物线C的方程；(2）若OPOQ,证明：直线PQ恒过定点。参考答案及评分细则1.A.故选A.2i(2i)(43i)12i5543i252。B方程的解集为,所以“"是“"x02xx0212xx0xx0x∣或22的必要不充分条件.故选B.3.CA项错,因为类比推理是特殊到特殊的推理；BD项错，因为合情推理得到的结论可能是正确的，也可能是错误的；C项正确,因为归纳推理是由特殊到一般或部分到整体的推理。故选C。54.Bs2t2，所以当时,.即物体在时的瞬时速度为6。t2s6t2故选B.5。D设该双曲线的方程为，则，，所以yx2294=26=2(0)94该双曲线方程为。故选D.yx2211886.B由题意可知，点到点的距离与到点F(0,23)的距离Px,yF(0,23)12之和为定值8,并且843FF,所以点P的轨迹是以，为焦点FF1212的椭圆，所以，，因为,2a8a4c23所以2，所以点P的轨迹方程为.故选B.xy221bac1612=4224167.A根据反证法的原理，假设是对原命题结论的否定.故选A。8。B因为△BPB∽△CPM，点M是棱的中点,所以，BPBB1CPCM2CC11111。故B.所以APABBPABBCAB2BCBBABADAA22232,13331119。C函数在上单调递增，故A错误；函数在上1,3fxfx单调递增，在上单调递增，所以不是的极值点，故Bfxx3(3,)错误；函数在上单调递减,故C正确；函数共有3个fxfx1,1极值点,,是极小值点，是极大值点,故D错误.故选C.x3x1x110。D以点P为坐标原点，以,,方向为x轴，y轴，z轴的PAPBPC正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令PA2，则，，，则，BM(1,2,1)，PN(1,1,0)P0,0,0B0,2,0M1,0,0N1,1,0设异面直线PN和BM所成角为，则。故选D。|PNBM|3cos|PN||BM|6611。A由题意得,在上恒成立，所以在m0f(x)2xm2xx(0,1]x(0,1]2x上恒成立，因为在的最大值为2，所以.故选A。0,1m22x212。D设抛物线上的动点,则点P到直线l的距离y2P,y040y042y2y22424.0d0242∵，∴22.故选D.yR0d2min13。，命题“，”的否定是“xR，"。xRxx0xRxx0xx022200000014.由，则，，，f(x)xx5f(x)3x1f(1)2f(1)5322xy30所以切线方程为2xy30.15。4令|ON|t,则，，所以椭圆的离心率2,|OB|3OF2OF2t2e1|OB|3t3双曲线的离心率。所以双曲线与椭圆的离心率的乘积为OFe222|ON|ee4.31216.因为，所以,5,f(x)f(x)2xf(x)(x)f(x)x02222令g(x)f(x)x，则，所以为奇函数。gxg(x)g(x)02又因为当x0时，g(x)f(x)2x0,所以在上单调递减,即在上单调递减。gxgx(,0]R而不等式，f(x)25f(5x)10xf(x)x2f(5x)(5x)2g(x)g(5x)7所以，所以。5x2x5x17。解：若p为真，则或，解得；a0a00a4a24a0若q为真,则，即9.98a0a8因为“pq”为真，“pq”为假，所以p与q一真一假.若p为真，q为假,则；9a48若q为真，p为假，则a0,综上可知，实数a的取值范围为。9(,0),4818。解:(1）∵，函数在处有极值，f(x)3x6ax1f(x)x3ax2xx123∴,解得2（经检验，符合题意)。3f10a（2)由（1）知，f(x)x2xx32则f(x)3x4x1(x1)(3x1)2令，fx0得，1.x113x2当x变化时,,的变化情况如下表：fxfx11(1,),131,13300f(x)f(x)极大值极小值∴函数的单调增区间为,，单调减区间为。fx1,11,(1,)3319。解：(1）联立得.x2y1217x16mx4m2404y2xm2因为椭圆C与直线l有公共点，所以(16m)4174m40228解得17m17。所以实数m的取值范围是[17,17]。(2)设,，Ax,yBx,y1122则，，16m4m42xxxx12171712所以|AB|1k2xx125xx24xx121216m44m41722517。527216m217由（1）可知，若椭圆C与直线l有两个交点，则，0所以。m[0,17)2所以当时，取得最大值。485m0|AB|1720。（1）证明:在四棱锥中，取AB的中点E，连结EM，PABCDEN.因为M，N分别为BP，CD的中点,AD∥BC.所以，。ME∥PA∥ENAD因为PA平面PAD，平面PAD，ME所以ME∥平面PAD，同理，EN∥平面PAD.又因为MENEE，ME,NE平面MNE，所以平面MNE∥平面PAD。因为MN平面MNE，所以MN∥平面PAD。9（2)解:因为在等腰直角三角形PAD中,A90，AD∥BC,因为，所以，ADAB,AD∥BC因为PBABB,PB，平面PAB，所以AD平面PAB，所以PAAD.PB5以点A为坐标原点，，,方向为x轴,y轴,z轴的正方向建则,，，，B3,0,0P0,0,4D0,8,0C3,5,0所以,,.PB(3,0,4)PC(3,5,4)PD(0,8,4)设为平面PBC的一个法向量，则nx,y,z1111,即，nPB013x4z0113x5y4z0nPC01111令x4，得;n(4,0,3)11设为平面PCD的一个法向量,则nx,y,z2222，即2，nPD028y4z023x5y4z0nPC02222令y1,得n(1,1,2).22所以cosn,nnn46423211421nn12126.310因为二面角BPCD是钝角，所以二面角的余弦值是6.BPCD321.解：(1）的定义域为，fx(0,)。4x24xaf(x)a4x4xx因为是的极值点，所以，解得,fx168ax2f(2)0a82所以，4x4x84(x2)(x1)f(x)2xx当时,；当时，，0x2f(x)0f(x)0x2所以的单调递减区间为，单调递增区间为。0,2(2,)(4xa)(x1)，fx(2)g(x)alnx2xax4x，则a4xa4g(x)2xx令,得或.g(x)0ax1x4①当，即时，在上为增函数，；hag1a2a1a4gx1,e4②当,即时，在上单调递减，在上单调递aaa1e4a4e1,,egx444增,所以；h(a)galna1a2aa448③当，即时，在上为减a函数，所以gxea4e[1,e]4。h(a)g(e)(1e)a2e24ea2,a4综上所述，。a1h(