解析几何-轨迹问题(学生用)

11〔10页〕SniperCXB制作03 解析几何——轨迹问题相关学问点：1、求曲线轨迹方程的根本步骤〔1〕2〕〔〕4〕5〕证明。2、求曲线轨迹方程的常用方法〔1〕2〕〕4〕5〕6〕7〕平面几何法；〔8〕9〕10〕〔1〕12〕极坐标法。3、求曲线轨迹方程应留意的问题留意隐含条件；留意在什么条件下应分状况争论；留意曲线的轨迹与曲线方程的区分，并且在求轨迹时应注明曲线位置、类型。一、直接法假设动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系〔两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等，或这些几何条件简洁明白易于表达，那么我们只需把这些关系转化成含有、y通过化简整理便可得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称之为直接法。例1：直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2y21,动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数(0M的轨迹方程，并说明轨迹名称。2：(1)x2y2k2kP的轨迹方程；(2)Aa,0作圆O:x2

y2

R2

aR0的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．稳固练习1、动点PF(1,0x34P的轨迹方程。yM(x,y)A(-a,0)oB(a,0)x2、ABMA与到B的距离比为常数,yM(x,y)A(-a,0)oB(a,0)x〔〕直接法：求动点轨迹的方程，建系是根底。坐标系选择恰当与否直接影响运算过程和方程的繁简。选择坐标系时，尽量使图形上的点落在坐标轴上越多越好；尽量使图形关于坐标轴对称。通常将定点、定线段的中点或端点、中心对称图形的中心作为坐标系原点；将定直线、轴对称图形的对称轴、垂直相交的两条直线作为坐标轴。直接法是求曲线方程最根本的方法，用其它方法求曲线方程，常以这种方法为根底。二、定义法假设动点轨迹满足曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的根本量，求出动点的轨迹方程。例1Px2y21引两条，切线PAPB，切点分别为AB，APB 60 ，求动点P的轨迹方程。12圆x42y225M1

，圆x42y21M2

，一动圆与这两个圆外切，P的轨迹方程。稳固练习1、2cm1cm3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个适宜的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？2〔2023年广州二模〕动圆M过定点P〔－，0，且与圆：x2y28x0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。3、在ABC中固定底边BC且BCa，假设三内角满足sinCsinB方程。

sinAA的轨迹2三、平面几何法依据动点的几何性质，利用平几何中的定理，或借助平面几何中的根本轨迹，直接推断出动点的轨迹是某种曲线，再写出它的方程的方法，叫做平面几何法。即利用图形的几何性质来求动点轨迹方程的方法。yCAOB是圆x2y2R2的直径，yCAOBBCACMM点的轨迹。分析：连接OC，由平面几何中“平行线的判定定理“三 x角形的中位线性质”可知，MB2R，点M是动点，点BMB为圆心的，2R为半径的圆。2过O(0,0做⊙Ax32

9的弦，求这些弦的中点的轨迹方程。yBPOA分析：OB为⊙A的一条动弦，POBAP，由平面几何的定理“平分弦的直APOP，即OPA90。再由平面几何中的定理“半圆上的圆周是直角”可知，PyBPOAx稳固练习：1、设Q是圆x2y24上的动点，别有点A( 3,0),线段AQ的垂直平线l交半径OQ于点P (见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．yCBOA2、一等腰直角三解形ABC，C是直角，斜边ABa，A、B两点x轴、yCyCBOAx3、设P是⊙O内的一个定点，过P作相互垂直的两条直线交⊙O yMBAPOA、BMBAPOx小结：用平面几何法求轨迹方程的根本思想是，解题时不急于将题设给出的动点所满足的几何条件，直译为动点坐标x、y间的代数关系式。而且首先依据条件和平面几何学问结合图形，查找出动点与题目中某些定点、定角、定线段等间的更加直接、明朗的等量关系，然后再依据这个等量关系推断这个动点的轨迹是不是我们所熟知的某种曲线。假设是，即可直接定出它的方程；假设不是，再利用这个等量关系列式并求出方程。用几何法求轨迹方程，常常可使中章运算过程简化，使问题简捷解出。它也是求轨迹方程的一种常用方法。三、待定系数法由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。7例1双曲线中心在原点且一个焦点为F( ,0)，直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的7横坐标为

，求此双曲线方程。3稳固练习：1、三点P(5,2),F1

(6,0),F2

(6,0)〔1〕F,F1 2

P的椭圆的标准方程；〔2〕P、FFyxPFFFFP的1 2双曲线的标准方程。

1 2 1 2小结：解题步骤：先列出所求曲线的方程，其中含有有几个待定的系数。依据条件，列出以待定系数为未知的几个方程，组成方程组。解方程组，求出各待定系数的值；或从方程组中消去这些待定系数，求出曲线方程。四、代入法〔相关点法〕有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点〔称之为相关点〕而运动的。假设相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，依据相关点连续好几年高考都考察。假设动点P(x,y)随曲线上的点Q(x,y)的变动而变动，且x、y 可用x、y表示，则将Q点坐0 0 0 0标表达式代入曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．1x2

y2

16,PQA(1,2QP点的轨迹方程。PQPQA(1,2PQP、A、QPQ点的坐标。再QP的轨迹方程。yPQxBOCA2A2,0Px2y21上运动，AOPPA于点Q〔其中OyPQxBOCA〔*〕注：角平分线定理〔Anglebisectortheorem〕是一个几何学的定理：在△ABC中，由A点作一BCDAB:AC=BD:DC注：之间的关系。在这里是借助于线段的定比分点坐标公式来建立两动点之间关系的。稳固练习：1、x2y216PQA(1,2QP点的轨迹方程。PQPQA(1,2PQP、A、QPQ点的坐标。再QP的轨迹方程。4〔03全国〕QNQNP的轨迹方程。分析：PQ，Q在双曲线上运动，所以此题适合用相关点法。五、韦达定理法：求轨迹方程时，假设动点满足的条件与一元二次方程的两根之和与积有关时，应用一元二次方程的韦达定理，常可使问题比较简洁地得到解决。这种利用韦达定理求轨迹方程的方法叫韦达定理法。1x2pxq0的两根为sin与cos，求当在实数内取值时，点M(pq)的轨迹。分析：pq之间的关系是通过来联系的，因而把M(pq)的轨迹方程，依据韦达定理，写出点M的坐标与间的关系式，消去M的一般方程。最终，再把点Mp，q改x,y来表示即可。稳固练习：1、y22xA2,1)A平分后抛物线的弦所在直线的方程。y2y2、x2

1A2,1)LPPPP

P的2轨迹方程。

1 2 1 2注：以上两题均涉及到曲线弦中点的问题，所以均可使用“点差法”解答。小结：用韦达定理法求曲线方程的根本思想是，假设题目条件中与一元二次方程的两根之和与积有关时，则应充分考虑用韦达定理求解，这样可免除解方程之麻烦，圆锥曲线与直线的交点所满足的方程是一元二次方程，在解决圆锥曲线中点轨迹问题时，要留意适时应用韦达定理，以便使问题比较简捷地得到解决。六、点差法在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们常常用到如下解法：设弦的两个端点坐x,y1 1

)、x,y2

)，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，1x25

4

1的左焦点作弦，求弦中点的轨迹方程。x2x〔2023·江西·理21改〕如图，椭圆Q:a2

b2

1(a

b0F

(c,0，过点Fm绕点FA、B两点，PPH的方程；五、参数法有时求动点应满足的几何条件不易得出，出无明显的相关点，但较易觉察〔或经分析可觉察〕这个动点的运动常常受到另一个变量〔角度、斜率、比值、截距或时间等〕的制约，即动点坐标〔x,y〕中的分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，消去参数，就得到一般方程。选参数时，必需首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后再选取适宜的参数，因参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有角度、直线的斜率、点的横纵坐标、线段长度等。1：A4,0x2

y2

4BABM的轨迹方程。2Aab)任作相互垂直的两条直线l与l1 2MNP的轨迹方程。

，且l1

xMl2

yN点，求线稳固练习：1、AB为抛物线y24px(p0OA⊥OB，OM⊥yAoN xMByAoN xMB2、lyx24x6A、BABM的轨迹方程。小结：用参数法求轨迹方程有四个主要步骤：建系。建立直角坐标系或极坐系。选参。选择恰当的参数。列式。列出动点坐标与参数的关系式。消参。消去参数求出一般方程。其中选参是关键。为此必需充分分析，所求轨迹上动点的位置是由什么因素打算的。一般说来，求旋转运动的动点轨迹时，常用转角kk作参数；平行移动的动点的轨迹，常用点的坐标、线段的长或线段比、截距作参数。争论过运动物体的轨迹时，可选用时间t作参数。〔1〕利用参数求轨迹方程，要留意参数的取值范围。〔2〕将参数方程化为一般方程时，要留意两种方程的等价性。SniperCXB制作六、交轨法〔含参数〕的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法常常与参数法并用。1：点Px2上移动，直线l通过原点且与OPA(1,0P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程。例2 〔2023年全国〕常数a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且P为GE与OF的交点〔如图。问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？假设存在，求出这两点的坐标及此定值；假设不存在，请说明理由。分析：POFEG的交点，而两条直线是运动的，由此特征，可用交轨法。DDFyCEPGAxOB稳固练习：1在直角坐标系内矩形OABC的边OA