正弦函数y=sin的图象和性质

【本讲教育信息】一.教学内容：1.3.1 正弦函数的图象和性质二.教学目的1、把握用几何法绘制正弦函数ysinx,xR的图象的方法；把握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义；2、把握正弦函数ysinx,xR的性质及应用；3、把握正弦型函数yAsin(xxR的图象〔特别是用五点法画函数yAsin(xxR的图象、性质及应用。三.教学重点、难点重点：1、用五点法画函数yAsin(xxR的简图；2、函数yAsin(xxR的性质及应用；3、函数ysinx,xR与yAsin(xxR的图象的关系。难点：1、正弦函数ysinx,xR的周期性和单调性的理解；2、函数ysinx,xR与yAsin(xxR的图象的关系。四.学问分析1、正弦函数图象的几何作法承受弧度制，x、y均为实数，步骤如下：在x轴上任取一点O1，以Ol为圆心作单位圆；从这个圆与x轴交点A起把圆分成12等份； 过圆上各点作x063、L、2的正弦线；相应的再把x轴上从原点O0～2这段分成12等份；把角的正弦线平移，使正弦线的起点与x轴上对应的点重合；用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。2、五点法作图ysinx,x[0,2的图象上有五根本上就确定了。

3(0,0),( ,1),(,0),( ,1),(2,0)2 2

。描出这五点后，其图象的外形接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。留意：描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的准确位置，因此作出的图象不够准确。几何法作图较为准确，但画图时较繁。五点法是我们画三角函数图象的根本方法，要切实把握好，与五点法作图有关的问题曾消灭在历届高考试题中。x轴、y轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。〔5〕如果函数表达式不是ysinx ，则那五点就可能不是 3(0,0),( ,1),(,0),( ,1),2 2(2,0)3、正弦曲线下面是正弦函数ysinx,xR的图象的一局部：2-15-10-55103、正弦曲线下面是正弦函数ysinx,xR的图象的一局部：2-15-10-551015-2而用“五点法”作函数ysin(2x)3的简图，开头的一段图象所用的五个关键点列表就是：x 6 12 7 53 12 62x30 23π 2 2πy0 10 －1 04、正弦函数的值域从正弦线可以看出：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度；y=1和y＝－1之间，说明|sinx|≤1，即正弦函数的值域是［－1,1。留意：这里所说的正弦函数的值域是[－l,1]，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线。假设定义域不为全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是［1,1。如ysinx,x0, 2，则值域就是[0，1]，因而在确定正弦函数的值域时，要特别留意其定义域。5、周期函数的定义y＝f(x)Tx取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。留意：(1)定义应对定义域中的每一个xx值或只差个别的x值f(x＋T)＝f(x)T是f(x)的周期。sin()sin例如：

4 2 4sin()sin但是 3 2 3

sin(x)sinx 就是说，2不能对x的定义域内的每一个值都有 2的周期。

,2不是sinx从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是与自变量x本身相加的常数才是周期，如f[2(xT)] Tf(2x+T)=f(2x),T不是f(2x)f(2x+T)＝是f(2x)的周期。

2 ＝f(2x)2对于周期函数来说，假设全部的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期。并不是全部周期函数都存在最小正周期．例知，常数函数f(x)=C(C为常数),x∈R，当xC，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值xf(x+T)＝C，因此f(x)T可以是任意不为零的常f(x)没有最小正周期。D(x)1(x是有理数)再如函数

0(x是无理数)设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+r也是有理数，当x为无理数x+rD(x)与D(x+r)或者等于1或者等于O，因此在两种D(x+r)＝D(x)，所以D(x)r是D(x)的周期，由于rD(x)没有最小正周期。“f(x+T)＝f(x)T是非零常数，周期T是使函数值重复消灭的自变量x的增加值。周期函数的周期不只一个，假设T是周期，则kT(k∈N*)肯定也是周期。在周期函数y＝f〔x〕中，T是周期，假设xx+kT也肯定属于定义域，因此周期函数的定义域肯定是无限集。6、正弦函数的周期性2k(kZ且k0)是它2π。正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+2kπ)＝sinx(k∈Z)得到。7、正弦函数的奇偶性正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数。由诱导公式sin〔－x〕＝－sinx可知上述结论成立，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称；正弦曲线是中心对称图形，其全部的对称中心为〔kπ,0。正弦曲线也是轴对xk,xZ称图形，其全部的对称轴方程为 2 。或最小值。8、正弦函数的单调性 由正弦曲线可以看出：当x由22时，曲线渐渐上升，sinx由－11； 3当x由2增大到2 时，曲线渐渐下降，sinx由1减小到－1。由正弦函数的周期性知道：ysinx在每一个闭区间［2

2k，2

2k

〔kZ〕1增大到1，是增函数；在每一个闭区间［2

2k，32k2 〔kZ〕上，都从1减小到－1，是减函数。也就是说正弦函数ysinx［2

2k，2

2k］及2k，32k［2 2 〔kZ〕如在同一坐标系下，作出函数ysinx图象之间的关系。

ysin(x) ysin(x)3 和 4 的简图，并指出它们解析：函数间上的简图。

ysin(x

)的周期为2，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区x Z x设 3 ，那么

)sinZ xZ3 ， 3、、

3、2

2 7 5、、 、 、Z02

2 时，x取3

6 3 6 3。所对应的五点是函数

5ysin(x ) x[ ， ]， 3 3 图象上起关键作用的点。xx3x03sin(x)06212307632－13203ysin(x)xxxx404sin(x)03421407432－194204

，可列出下表：描点作图〔如下〕ysin(x)

3 ysin(x及

)xR的简图〔图略。ysin(x)由图可以看出，

3 ysinx的图象上全部的点向左 ysin(x )3个单位而得到的，4个单位得到的。

4 ysinx的图象上全部ysin(x)(0ysinx的图象上全部的点向左〔当0时〕或向右〔当0时〕平行移动||个单位而得到的。推广到一般有：yfxx轴方向平移|a|yfxa)(a0的图象。当a>0时向左平移，当a<0时向右平移。10、函数图象的横向伸缩变换ysin2x及

1ysin 2 yysin TT解析：函数ysin2x的周期 2

x[0，时函数的简图。设2xZ，那么sin2xsinZZ02

2

、2

时，所对应的五点是Z ysinZ，Z[0，2]

x图象上起关键作用的五点，这里

，所以当x04、 3、 、2 4 ysin2x，x[0，的图象上起关键作用的五点。x02xx02x0sin2x010－10342432221ysin x1函数 2

的周期

T2412

，我们来作

x[0，4]

时函数的简图。x1x12x00sin1x02120332－14202描点作图，如图：1ysin2x，xR1ysin x及 2 ，xR的简图〔图略。x0ysin2x2〔x0R〕的点的纵坐标同x sin(2

x0)sin 1xysinx上横坐标为x0的点的纵坐标一样〔例如当0 2时，

2 2 ，sinx0

sin2

ysin2xysinx的图象上全部点的横112倍〔纵坐标不变〕而得到的。1ysin x类似地，

2 ysinx的图象上全部点的横坐标伸长到原2倍〔纵坐标不变〕而得到的。ysinx(0且1ysinx的图1象上全部点的横坐标缩短〔当1时〕或伸长〔当01时〕到原来的倍〔纵坐标不变〕而得到的。推广到一般有：yf(x)(0，1yfx的图象上的点的1横坐标缩短〔当1〕或伸长〔当01〕到原来的倍〔纵坐标不变〕而得到。11、函数图象的纵向伸缩变换如在同一坐标系中作出y2sinx及ysinx的关系。

y sinx12 的简图，并指出它们的图象与1的简图。11sinx01201022

yy 2sinx及

1sinx2

的周期

T2

x[0，2]

时函数x02322sinx010－102sinx020－20描点作图，如图：利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到yy2sinx，xRy

1sinx，xR2

的简图〔图略。xy2sinxysinx的图象上点的纵坐标的两倍〔横坐标不变，从而y2sinxR的值域为［22，最2，最小值为－2。1y类似地，

2

ysinx的图象上全部点的纵坐标缩短到 y sinx，x R ，原来的2倍〔横坐标不变〕而得到的，从而

的值域是［2

2，最1 12，最小值为2。yAsinx〔A>0且A≠1〕ysinx的图象上全部点的纵坐标伸长〔当A>1时〕或缩短〔0<A<1时〕到原来的A倍〔横坐标不变〕而得到的，yAsinxR的值域为［AA，最大值为AA。推广到一般有：yAfx〔A>0且A≠1〕yfx图象上的点的纵坐标伸长〔当A>1〕或缩短〔0<A<1〕到原来的A倍〔横坐标不变〕而得到。12yAsin(x的图象yAsin(x的图象主要有以下两种方法：用“五点法”作图yAsin(x的简图，主要是通过变量代换，设zx，由 3z取0，2，，2 ，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。ysinxyAsin(x)的图象，有两种主要途法一：先平移后伸缩ysinx(0)(0)ysin(x)平移||个单位横坐标变为原来的倍1横坐标变为原来的倍ysinx)纵坐标不变倍yAsinx)横坐标不变法二：先伸缩后平移横坐标变为原来的倍1横坐标变为原来的倍ysinx纵坐标不变ysinx(0)右0)ysinx)平移||个单位倍yAsinx)横坐标不变可以看出，前者平移||个单位，后者平移

个单位。缘由在于相位变换和周期变换都是针对变量x必定会消灭错误。yAsin(x〔A>0，0x[0〕表示一个振动量时，A就2 1 T所需要的时间

f，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数

2，它2叫做振动的频率；x叫做相位，叫做初相〔即当x＝0时的相位。【典型例题】1.y

11cos2x分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。解析：y 1cos2x化为y|sinx|sinx(2kx2k)即ysinx(2kx2k2)(kZ)即其图象如图：y|sinx|的图象可分为两步完成，第一步先画出ysinx，x[0，和ysinxx(，2的图象，其次步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。12.求以下函数的周期1ysin x

x y2sin( )x 〔1〕

2 〔2〕 3 6数去处理。m〔〕假设令

1 1x sin x sinm2 ，则 2

是周期函数，且周期为2sin(1x2)sin1x2 21 1sin[ (x4 )]sin x即 2 2sin1x2 的周期是4 2sin(x 2)2sin(x) 〔2〕

3 6 3 61 x 2sin[ (x6 ) ]2sin( )即 3 6 3 62sin(x)3 6 的周期是6。点评：由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量x的系数有关。一般地，函数yAsin(xyAcos(x)〔其中A、、为常数，A≠0，x∈R〕的周期2T||。3.比较以下各组数的大小。1〕sin19°和

sin7 cos54和 3；sin(sin3) 3)

8 和 8分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。〔〕sin194

sin(18014)sin14cos160

cos(18020)cos20

sin700

14

70

90，sin14

sin70从而sin14sin70即sin194cos160cos5sin(5)〔2〕

3 2 37

53又2 4 2 3 2ysinx在［2

，32 ］上是减函数sin7sin(5)cos54 2 3 3sin7cos5即 4 3cos3sin〔3〕 8 80cos3sin318 8 2ysinx在〔02〕内递增sin(cos3)sin(sin3)8 8点评：比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小。1111sinx2y〔1〕〔2〕

y32sin(2x)3

y2sin(2x

)(3 6

x 6分析：可利用sinx与cosx的值域求解，求解过程中要留意自变量的取值范围。

02〔〕

1sinx161sinx16当sinx1时，

2ymax 22当sinx1时，

ymin 2〔2〕

1sin(2x

2)13sin(2x当 3

)1

max

5；sin(2x当

)1

min

1。 2〔3〕 6

x

02x 6， 3 30sin(2x)13sin(2x当

)1

max

2；sin(2x)0当 3

min

0。点评：求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx与cosx的有界性，以及复合函数的有关性质。ysin(2x)5.ysinx的图象变换为函数

3 的图象。1：

x2x2(x

)2x6 31：

1横坐标缩短到原来的ysinx2横坐标缩短到原来的纵坐标不变向左平移个单位ysin2x ysin[2(x

)]sin(2x 6 32：

xx3

2x3向左平移个单位解法：ysinxysin(x

1横坐标缩短到原来的)2横坐标缩短到原来的3 纵坐标不变ysin(2x)3点评：1中，先伸缩，后平移；在解法2中，先平移，后伸缩，外表上看来，两 种变换方法中的平移是不同的〔即6和3到的结果是全都的。y2sin(2x)6.用五点法作出函数

3 的图象，并指出函数的单调区间。分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。〔〕列表2x 3x2x2x603y 012223071232-25620

302、、2、2，再求出相应的x值和y值。描点用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如下图：利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y2sin(2x

)3 xR的简图〔图略。，7可见在一个周期内，函数在［12 12 ］上递减，又因函数的周期为，所以函数k，k7](kZ)的递减区间为

12 12

。同理，增区间为[k

5，k](kZ)12 12 。点评：x02、3、2、2，然后求出相应的x，y值。7.yAsin(x的图象，确定A、、的值。解析：明显A＝2T5()6 6

222T y2sin(2x)x1：由图知当

6时，y＝02x2()0 故有 6 ， 3所求函数解析式为

y2sin(2x )32：y2sin2x6 y2sin2(x ) y2sin(2x )即得3

6 ，即 3点评：yAsin(x)的解析式难点在于确定初相，一般可利用图象变换关系和特别值法。【模拟试题】1f(sinx)x，且

1x [0，] f( )2，则 2的值等于sin1 1

A. 2y2、函数

xsin a

B. 2 C. 6 D. 6a0)的定义域为A.R B.［－1，1］1，1C.［3 3］

D.［－3，3］3、在［02］上，满足

sinx

12x取值范围是[0，6

] [，5]6 6 2 [ ， ] [

，]6

0x3 x4ycosx|tanx|〔

2且 2〕的图象是5、假设

x[ , 6 3

，则函数

f(x)2cos2xsinx1

的值域是A.31(3C. 2

1),9

B.31(3D. 2

1),1 76、函数y 2

yAsin(x)

在同一周期内，当

x12y最大

2 x，当

12时，最小 ，那么函数的解析式为〔 〕 y2