正弦函数y=sin的图象和性质_第1页
正弦函数y=sin的图象和性质_第2页
正弦函数y=sin的图象和性质_第3页
正弦函数y=sin的图象和性质_第4页
正弦函数y=sin的图象和性质_第5页
已阅读5页,还剩11页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

【本讲教育信息】一.教学内容:1.3.1 正弦函数的图象和性质二.教学目的1、把握用几何法绘制正弦函数ysinx,xR的图象的方法;把握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义;2、把握正弦函数ysinx,xR的性质及应用;3、把握正弦型函数yAsin(xxR的图象〔特别是用五点法画函数yAsin(xxR的图象、性质及应用。三.教学重点、难点重点:1、用五点法画函数yAsin(xxR的简图;2、函数yAsin(xxR的性质及应用;3、函数ysinx,xR与yAsin(xxR的图象的关系。难点:1、正弦函数ysinx,xR的周期性和单调性的理解;2、函数ysinx,xR与yAsin(xxR的图象的关系。四.学问分析1、正弦函数图象的几何作法承受弧度制,x、y均为实数,步骤如下:在x轴上任取一点O1,以Ol为圆心作单位圆;从这个圆与x轴交点A起把圆分成12等份; 过圆上各点作x063、L、2的正弦线;相应的再把x轴上从原点O0~2这段分成12等份;把角的正弦线平移,使正弦线的起点与x轴上对应的点重合;用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。2、五点法作图ysinx,x[0,2的图象上有五根本上就确定了。

3(0,0),( ,1),(,0),( ,1),(2,0)2 2

。描出这五点后,其图象的外形接起来,就得到在相应区间内正弦函数的简图,这种方法叫做五点法。留意:描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,不易描出对应点的准确位置,因此作出的图象不够准确。几何法作图较为准确,但画图时较繁。五点法是我们画三角函数图象的根本方法,要切实把握好,与五点法作图有关的问题曾消灭在历届高考试题中。x轴、y轴上可以统一单位,作出的图象正规,便于应用。〔5〕如果函数表达式不是ysinx ,则那五点就可能不是 3(0,0),( ,1),(,0),( ,1),2 2(2,0)3、正弦曲线下面是正弦函数ysinx,xR的图象的一局部:2-15-10-55103、正弦曲线下面是正弦函数ysinx,xR的图象的一局部:2-15-10-551015-2而用“五点法”作函数ysin(2x)3的简图,开头的一段图象所用的五个关键点列表就是:x 6 12 7 53 12 62x30 23π 2 2πy0 10 -1 04、正弦函数的值域从正弦线可以看出:正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度;y=1和y=-1之间,说明|sinx|≤1,即正弦函数的值域是[-1,1。留意:这里所说的正弦函数的值域是[-l,1],是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线。假设定义域不为全体实数,那么正弦函数的值域就可能不是[1,1。如ysinx,x0, 2,则值域就是[0,1],因而在确定正弦函数的值域时,要特别留意其定义域。5、周期函数的定义y=f(x)Tx取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。留意:(1)定义应对定义域中的每一个xx值或只差个别的x值f(x+T)=f(x)T是f(x)的周期。sin()sin例如:

4 2 4sin()sin但是 3 2 3

sin(x)sinx 就是说,2不能对x的定义域内的每一个值都有 2的周期。

,2不是sinx从等式f(x+T)=f(x)来看,应强调的是与自变量x本身相加的常数才是周期,如f[2(xT)] Tf(2x+T)=f(2x),T不是f(2x)f(2x+T)=是f(2x)的周期。

2 =f(2x)2对于周期函数来说,假设全部的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期,今后提到的三角函数的周期,如未特别指明,一般都是指它的最小正周期。并不是全部周期函数都存在最小正周期.例知,常数函数f(x)=C(C为常数),x∈R,当xC,即对于函数f(x)的定义域内的每一个值xf(x+T)=C,因此f(x)T可以是任意不为零的常f(x)没有最小正周期。D(x)1(x是有理数)再如函数

0(x是无理数)设r是任意一个有理数,那么当x是有理数时,x+r也是有理数,当x为无理数x+rD(x)与D(x+r)或者等于1或者等于O,因此在两种D(x+r)=D(x),所以D(x)r是D(x)的周期,由于rD(x)没有最小正周期。“f(x+T)=f(x)T是非零常数,周期T是使函数值重复消灭的自变量x的增加值。周期函数的周期不只一个,假设T是周期,则kT(k∈N*)肯定也是周期。在周期函数y=f〔x〕中,T是周期,假设xx+kT也肯定属于定义域,因此周期函数的定义域肯定是无限集。6、正弦函数的周期性2k(kZ且k0)是它2π。正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)得到。7、正弦函数的奇偶性正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数。由诱导公式sin〔-x〕=-sinx可知上述结论成立,反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称;正弦曲线是中心对称图形,其全部的对称中心为〔kπ,0。正弦曲线也是轴对xk,xZ称图形,其全部的对称轴方程为 2 。或最小值。8、正弦函数的单调性 由正弦曲线可以看出:当x由22时,曲线渐渐上升,sinx由-11; 3当x由2增大到2 时,曲线渐渐下降,sinx由1减小到-1。由正弦函数的周期性知道:ysinx在每一个闭区间[2

2k,2

2k

〔kZ〕1增大到1,是增函数;在每一个闭区间[2

2k,32k2 〔kZ〕上,都从1减小到-1,是减函数。也就是说正弦函数ysinx[2

2k,2

2k]及2k,32k[2 2 〔kZ〕如在同一坐标系下,作出函数ysinx图象之间的关系。

ysin(x) ysin(x)3 和 4 的简图,并指出它们解析:函数间上的简图。

ysin(x

)的周期为2,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区x Z x设 3 ,那么

)sinZ xZ3 , 3、、

3、2

2 7 5、、 、 、Z02

2 时,x取3

6 3 6 3。所对应的五点是函数

5ysin(x ) x[ , ], 3 3 图象上起关键作用的点。xx3x03sin(x)06212307632-13203ysin(x)xxxx404sin(x)03421407432-194204

,可列出下表:描点作图〔如下〕ysin(x)

3 ysin(x及

)xR的简图〔图略。ysin(x)由图可以看出,

3 ysinx的图象上全部的点向左 ysin(x )3个单位而得到的,4个单位得到的。

4 ysinx的图象上全部ysin(x)(0ysinx的图象上全部的点向左〔当0时〕或向右〔当0时〕平行移动||个单位而得到的。推广到一般有:yfxx轴方向平移|a|yfxa)(a0的图象。当a>0时向左平移,当a<0时向右平移。10、函数图象的横向伸缩变换ysin2x及

1ysin 2 yysin TT解析:函数ysin2x的周期 2

x[0,时函数的简图。设2xZ,那么sin2xsinZZ02

2

、2

时,所对应的五点是Z ysinZ,Z[0,2]

x图象上起关键作用的五点,这里

,所以当x04、 3、 、2 4 ysin2x,x[0,的图象上起关键作用的五点。x02xx02x0sin2x010-10342432221ysin x1函数 2

的周期

T2412

,我们来作

x[0,4]

时函数的简图。x1x12x00sin1x02120332-14202描点作图,如图:1ysin2x,xR1ysin x及 2 ,xR的简图〔图略。x0ysin2x2〔x0R〕的点的纵坐标同x sin(2

x0)sin 1xysinx上横坐标为x0的点的纵坐标一样〔例如当0 2时,

2 2 ,sinx0

sin2

ysin2xysinx的图象上全部点的横112倍〔纵坐标不变〕而得到的。1ysin x类似地,

2 ysinx的图象上全部点的横坐标伸长到原2倍〔纵坐标不变〕而得到的。ysinx(0且1ysinx的图1象上全部点的横坐标缩短〔当1时〕或伸长〔当01时〕到原来的倍〔纵坐标不变〕而得到的。推广到一般有:yf(x)(0,1yfx的图象上的点的1横坐标缩短〔当1〕或伸长〔当01〕到原来的倍〔纵坐标不变〕而得到。11、函数图象的纵向伸缩变换如在同一坐标系中作出y2sinx及ysinx的关系。

y sinx12 的简图,并指出它们的图象与1的简图。11sinx01201022

yy 2sinx及

1sinx2

的周期

T2

x[0,2]

时函数x02322sinx010-102sinx020-20描点作图,如图:利用这类函数的周期性,我们可以把上图的简图向左、向右扩展,得到yy2sinx,xRy

1sinx,xR2

的简图〔图略。xy2sinxysinx的图象上点的纵坐标的两倍〔横坐标不变,从而y2sinxR的值域为[22,最2,最小值为-2。1y类似地,

2

ysinx的图象上全部点的纵坐标缩短到 y sinx,x R ,原来的2倍〔横坐标不变〕而得到的,从而

的值域是[2

2,最1 12,最小值为2。yAsinx〔A>0且A≠1〕ysinx的图象上全部点的纵坐标伸长〔当A>1时〕或缩短〔0<A<1时〕到原来的A倍〔横坐标不变〕而得到的,yAsinxR的值域为[AA,最大值为AA。推广到一般有:yAfx〔A>0且A≠1〕yfx图象上的点的纵坐标伸长〔当A>1〕或缩短〔0<A<1〕到原来的A倍〔横坐标不变〕而得到。12yAsin(x的图象yAsin(x的图象主要有以下两种方法:用“五点法”作图yAsin(x的简图,主要是通过变量代换,设zx,由 3z取0,2,,2 ,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。ysinxyAsin(x)的图象,有两种主要途法一:先平移后伸缩ysinx(0)(0)ysin(x)平移||个单位横坐标变为原来的倍1横坐标变为原来的倍ysinx)纵坐标不变倍yAsinx)横坐标不变法二:先伸缩后平移横坐标变为原来的倍1横坐标变为原来的倍ysinx纵坐标不变ysinx(0)右0)ysinx)平移||个单位倍yAsinx)横坐标不变可以看出,前者平移||个单位,后者平移

个单位。缘由在于相位变换和周期变换都是针对变量x必定会消灭错误。yAsin(x〔A>0,0x[0〕表示一个振动量时,A就2 1 T所需要的时间

f,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数

2,它2叫做振动的频率;x叫做相位,叫做初相〔即当x=0时的相位。【典型例题】1.y

11cos2x分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作出函数的图象。解析:y 1cos2x化为y|sinx|sinx(2kx2k)即ysinx(2kx2k2)(kZ)即其图象如图:y|sinx|的图象可分为两步完成,第一步先画出ysinx,x[0,和ysinxx(,2的图象,其次步将得到的图象向左、右平移,即可得到完整的曲线。12.求以下函数的周期1ysin x

x y2sin( )x 〔1〕

2 〔2〕 3 6数去处理。m〔〕假设令

1 1x sin x sinm2 ,则 2

是周期函数,且周期为2sin(1x2)sin1x2 21 1sin[ (x4 )]sin x即 2 2sin1x2 的周期是4 2sin(x 2)2sin(x) 〔2〕

3 6 3 61 x 2sin[ (x6 ) ]2sin( )即 3 6 3 62sin(x)3 6 的周期是6。点评:由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量x的系数有关。一般地,函数yAsin(xyAcos(x)〔其中A、、为常数,A≠0,x∈R〕的周期2T||。3.比较以下各组数的大小。1〕sin19°和

sin7 cos54和 3;sin(sin3) 3)

8 和 8分析:先化为同名函数,然后利用单调性来比较函数值的大小。〔〕sin194

sin(18014)sin14cos160

cos(18020)cos20

sin700

14

70

90,sin14

sin70从而sin14sin70即sin194cos160cos5sin(5)〔2〕

3 2 37

53又2 4 2 3 2ysinx在[2

,32 ]上是减函数sin7sin(5)cos54 2 3 3sin7cos5即 4 3cos3sin〔3〕 8 80cos3sin318 8 2ysinx在〔02〕内递增sin(cos3)sin(sin3)8 8点评:比较同名的三角函数值的大小,首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数,利用单调性,由自变量的大小确定函数值的大小。1111sinx2y〔1〕〔2〕

y32sin(2x)3

y2sin(2x

)(3 6

x 6分析:可利用sinx与cosx的值域求解,求解过程中要留意自变量的取值范围。

02〔〕

1sinx161sinx16当sinx1时,

2ymax 22当sinx1时,

ymin 2〔2〕

1sin(2x

2)13sin(2x当 3

)1

max

5;sin(2x当

)1

min

1。 2〔3〕 6

x

02x 6, 3 30sin(2x)13sin(2x当

)1

max

2;sin(2x)0当 3

min

0。点评:求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx与cosx的有界性,以及复合函数的有关性质。ysin(2x)5.ysinx的图象变换为函数

3 的图象。1:

x2x2(x

)2x6 31:

1横坐标缩短到原来的ysinx2横坐标缩短到原来的纵坐标不变向左平移个单位ysin2x ysin[2(x

)]sin(2x 6 32:

xx3

2x3向左平移个单位解法:ysinxysin(x

1横坐标缩短到原来的)2横坐标缩短到原来的3 纵坐标不变ysin(2x)3点评:1中,先伸缩,后平移;在解法2中,先平移,后伸缩,外表上看来,两 种变换方法中的平移是不同的〔即6和3到的结果是全都的。y2sin(2x)6.用五点法作出函数

3 的图象,并指出函数的单调区间。分析:按五点作图法的要求找出五个点来,然后作图。〔〕列表2x 3x2x2x603y 012223071232-25620

302、、2、2,再求出相应的x值和y值。描点用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如下图:利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到y2sin(2x

)3 xR的简图〔图略。,7可见在一个周期内,函数在[12 12 ]上递减,又因函数的周期为,所以函数k,k7](kZ)的递减区间为

12 12

。同理,增区间为[k

5,k](kZ)12 12 。点评:x02、3、2、2,然后求出相应的x,y值。7.yAsin(x的图象,确定A、、的值。解析:明显A=2T5()6 6

222T y2sin(2x)x1:由图知当

6时,y=02x2()0 故有 6 , 3所求函数解析式为

y2sin(2x )32:y2sin2x6 y2sin2(x ) y2sin(2x )即得3

6 ,即 3点评:yAsin(x)的解析式难点在于确定初相,一般可利用图象变换关系和特别值法。【模拟试题】1f(sinx)x,且

1x [0,] f( )2,则 2的值等于sin1 1

A. 2y2、函数

xsin a

B. 2 C. 6 D. 6a0)的定义域为A.R B.[-1,1]1,1C.[3 3]

D.[-3,3]3、在[02]上,满足

sinx

12x取值范围是[0,6

] [,5]6 6 2 [ , ] [

,]6

0x3 x4ycosx|tanx|〔

2且 2〕的图象是5、假设

x[ , 6 3

,则函数

f(x)2cos2xsinx1

的值域是A.31(3C. 2

1),9

B.31(3D. 2

1),1 76、函数y 2

yAsin(x)

在同一周期内,当

x12y最大

2 x,当

12时,最小 ,那么函数的解析式为〔 〕 y2

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论