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文档简介
【本讲教育信息】一.教学内容:1.3.1 正弦函数的图象和性质二.教学目的1、把握用几何法绘制正弦函数ysinx,xR的图象的方法;把握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义;2、把握正弦函数ysinx,xR的性质及应用;3、把握正弦型函数yAsin(xxR的图象〔特别是用五点法画函数yAsin(xxR的图象、性质及应用。三.教学重点、难点重点:1、用五点法画函数yAsin(xxR的简图;2、函数yAsin(xxR的性质及应用;3、函数ysinx,xR与yAsin(xxR的图象的关系。难点:1、正弦函数ysinx,xR的周期性和单调性的理解;2、函数ysinx,xR与yAsin(xxR的图象的关系。四.学问分析1、正弦函数图象的几何作法承受弧度制,x、y均为实数,步骤如下:在x轴上任取一点O1,以Ol为圆心作单位圆;从这个圆与x轴交点A起把圆分成12等份; 过圆上各点作x063、L、2的正弦线;相应的再把x轴上从原点O0~2这段分成12等份;把角的正弦线平移,使正弦线的起点与x轴上对应的点重合;用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。2、五点法作图ysinx,x[0,2的图象上有五根本上就确定了。
3(0,0),( ,1),(,0),( ,1),(2,0)2 2
。描出这五点后,其图象的外形接起来,就得到在相应区间内正弦函数的简图,这种方法叫做五点法。留意:描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,不易描出对应点的准确位置,因此作出的图象不够准确。几何法作图较为准确,但画图时较繁。五点法是我们画三角函数图象的根本方法,要切实把握好,与五点法作图有关的问题曾消灭在历届高考试题中。x轴、y轴上可以统一单位,作出的图象正规,便于应用。〔5〕如果函数表达式不是ysinx ,则那五点就可能不是 3(0,0),( ,1),(,0),( ,1),2 2(2,0)3、正弦曲线下面是正弦函数ysinx,xR的图象的一局部:2-15-10-55103、正弦曲线下面是正弦函数ysinx,xR的图象的一局部:2-15-10-551015-2而用“五点法”作函数ysin(2x)3的简图,开头的一段图象所用的五个关键点列表就是:x 6 12 7 53 12 62x30 23π 2 2πy0 10 -1 04、正弦函数的值域从正弦线可以看出:正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度;y=1和y=-1之间,说明|sinx|≤1,即正弦函数的值域是[-1,1。留意:这里所说的正弦函数的值域是[-l,1],是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线。假设定义域不为全体实数,那么正弦函数的值域就可能不是[1,1。如ysinx,x0, 2,则值域就是[0,1],因而在确定正弦函数的值域时,要特别留意其定义域。5、周期函数的定义y=f(x)Tx取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。留意:(1)定义应对定义域中的每一个xx值或只差个别的x值f(x+T)=f(x)T是f(x)的周期。sin()sin例如:
4 2 4sin()sin但是 3 2 3
sin(x)sinx 就是说,2不能对x的定义域内的每一个值都有 2的周期。
,2不是sinx从等式f(x+T)=f(x)来看,应强调的是与自变量x本身相加的常数才是周期,如f[2(xT)] Tf(2x+T)=f(2x),T不是f(2x)f(2x+T)=是f(2x)的周期。
2 =f(2x)2对于周期函数来说,假设全部的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期,今后提到的三角函数的周期,如未特别指明,一般都是指它的最小正周期。并不是全部周期函数都存在最小正周期.例知,常数函数f(x)=C(C为常数),x∈R,当xC,即对于函数f(x)的定义域内的每一个值xf(x+T)=C,因此f(x)T可以是任意不为零的常f(x)没有最小正周期。D(x)1(x是有理数)再如函数
0(x是无理数)设r是任意一个有理数,那么当x是有理数时,x+r也是有理数,当x为无理数x+rD(x)与D(x+r)或者等于1或者等于O,因此在两种D(x+r)=D(x),所以D(x)r是D(x)的周期,由于rD(x)没有最小正周期。“f(x+T)=f(x)T是非零常数,周期T是使函数值重复消灭的自变量x的增加值。周期函数的周期不只一个,假设T是周期,则kT(k∈N*)肯定也是周期。在周期函数y=f〔x〕中,T是周期,假设xx+kT也肯定属于定义域,因此周期函数的定义域肯定是无限集。6、正弦函数的周期性2k(kZ且k0)是它2π。正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)得到。7、正弦函数的奇偶性正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数。由诱导公式sin〔-x〕=-sinx可知上述结论成立,反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称;正弦曲线是中心对称图形,其全部的对称中心为〔kπ,0。正弦曲线也是轴对xk,xZ称图形,其全部的对称轴方程为 2 。或最小值。8、正弦函数的单调性 由正弦曲线可以看出:当x由22时,曲线渐渐上升,sinx由-11; 3当x由2增大到2 时,曲线渐渐下降,sinx由1减小到-1。由正弦函数的周期性知道:ysinx在每一个闭区间[2
2k,2
2k
〔kZ〕1增大到1,是增函数;在每一个闭区间[2
2k,32k2 〔kZ〕上,都从1减小到-1,是减函数。也就是说正弦函数ysinx[2
2k,2
2k]及2k,32k[2 2 〔kZ〕如在同一坐标系下,作出函数ysinx图象之间的关系。
ysin(x) ysin(x)3 和 4 的简图,并指出它们解析:函数间上的简图。
ysin(x
)的周期为2,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区x Z x设 3 ,那么
)sinZ xZ3 , 3、、
3、2
2 7 5、、 、 、Z02
2 时,x取3
6 3 6 3。所对应的五点是函数
5ysin(x ) x[ , ], 3 3 图象上起关键作用的点。xx3x03sin(x)06212307632-13203ysin(x)xxxx404sin(x)03421407432-194204
,可列出下表:描点作图〔如下〕ysin(x)
3 ysin(x及
)xR的简图〔图略。ysin(x)由图可以看出,
3 ysinx的图象上全部的点向左 ysin(x )3个单位而得到的,4个单位得到的。
4 ysinx的图象上全部ysin(x)(0ysinx的图象上全部的点向左〔当0时〕或向右〔当0时〕平行移动||个单位而得到的。推广到一般有:yfxx轴方向平移|a|yfxa)(a0的图象。当a>0时向左平移,当a<0时向右平移。10、函数图象的横向伸缩变换ysin2x及
1ysin 2 yysin TT解析:函数ysin2x的周期 2
x[0,时函数的简图。设2xZ,那么sin2xsinZZ02
2
、2
时,所对应的五点是Z ysinZ,Z[0,2]
x图象上起关键作用的五点,这里
,所以当x04、 3、 、2 4 ysin2x,x[0,的图象上起关键作用的五点。x02xx02x0sin2x010-10342432221ysin x1函数 2
的周期
T2412
,我们来作
x[0,4]
时函数的简图。x1x12x00sin1x02120332-14202描点作图,如图:1ysin2x,xR1ysin x及 2 ,xR的简图〔图略。x0ysin2x2〔x0R〕的点的纵坐标同x sin(2
x0)sin 1xysinx上横坐标为x0的点的纵坐标一样〔例如当0 2时,
2 2 ,sinx0
sin2
ysin2xysinx的图象上全部点的横112倍〔纵坐标不变〕而得到的。1ysin x类似地,
2 ysinx的图象上全部点的横坐标伸长到原2倍〔纵坐标不变〕而得到的。ysinx(0且1ysinx的图1象上全部点的横坐标缩短〔当1时〕或伸长〔当01时〕到原来的倍〔纵坐标不变〕而得到的。推广到一般有:yf(x)(0,1yfx的图象上的点的1横坐标缩短〔当1〕或伸长〔当01〕到原来的倍〔纵坐标不变〕而得到。11、函数图象的纵向伸缩变换如在同一坐标系中作出y2sinx及ysinx的关系。
y sinx12 的简图,并指出它们的图象与1的简图。11sinx01201022
yy 2sinx及
1sinx2
的周期
T2
x[0,2]
时函数x02322sinx010-102sinx020-20描点作图,如图:利用这类函数的周期性,我们可以把上图的简图向左、向右扩展,得到yy2sinx,xRy
1sinx,xR2
的简图〔图略。xy2sinxysinx的图象上点的纵坐标的两倍〔横坐标不变,从而y2sinxR的值域为[22,最2,最小值为-2。1y类似地,
2
ysinx的图象上全部点的纵坐标缩短到 y sinx,x R ,原来的2倍〔横坐标不变〕而得到的,从而
的值域是[2
2,最1 12,最小值为2。yAsinx〔A>0且A≠1〕ysinx的图象上全部点的纵坐标伸长〔当A>1时〕或缩短〔0<A<1时〕到原来的A倍〔横坐标不变〕而得到的,yAsinxR的值域为[AA,最大值为AA。推广到一般有:yAfx〔A>0且A≠1〕yfx图象上的点的纵坐标伸长〔当A>1〕或缩短〔0<A<1〕到原来的A倍〔横坐标不变〕而得到。12yAsin(x的图象yAsin(x的图象主要有以下两种方法:用“五点法”作图yAsin(x的简图,主要是通过变量代换,设zx,由 3z取0,2,,2 ,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。ysinxyAsin(x)的图象,有两种主要途法一:先平移后伸缩ysinx(0)(0)ysin(x)平移||个单位横坐标变为原来的倍1横坐标变为原来的倍ysinx)纵坐标不变倍yAsinx)横坐标不变法二:先伸缩后平移横坐标变为原来的倍1横坐标变为原来的倍ysinx纵坐标不变ysinx(0)右0)ysinx)平移||个单位倍yAsinx)横坐标不变可以看出,前者平移||个单位,后者平移
个单位。缘由在于相位变换和周期变换都是针对变量x必定会消灭错误。yAsin(x〔A>0,0x[0〕表示一个振动量时,A就2 1 T所需要的时间
f,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数
2,它2叫做振动的频率;x叫做相位,叫做初相〔即当x=0时的相位。【典型例题】1.y
11cos2x分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作出函数的图象。解析:y 1cos2x化为y|sinx|sinx(2kx2k)即ysinx(2kx2k2)(kZ)即其图象如图:y|sinx|的图象可分为两步完成,第一步先画出ysinx,x[0,和ysinxx(,2的图象,其次步将得到的图象向左、右平移,即可得到完整的曲线。12.求以下函数的周期1ysin x
x y2sin( )x 〔1〕
2 〔2〕 3 6数去处理。m〔〕假设令
1 1x sin x sinm2 ,则 2
是周期函数,且周期为2sin(1x2)sin1x2 21 1sin[ (x4 )]sin x即 2 2sin1x2 的周期是4 2sin(x 2)2sin(x) 〔2〕
3 6 3 61 x 2sin[ (x6 ) ]2sin( )即 3 6 3 62sin(x)3 6 的周期是6。点评:由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量x的系数有关。一般地,函数yAsin(xyAcos(x)〔其中A、、为常数,A≠0,x∈R〕的周期2T||。3.比较以下各组数的大小。1〕sin19°和
sin7 cos54和 3;sin(sin3) 3)
8 和 8分析:先化为同名函数,然后利用单调性来比较函数值的大小。〔〕sin194
sin(18014)sin14cos160
cos(18020)cos20
sin700
14
70
90,sin14
sin70从而sin14sin70即sin194cos160cos5sin(5)〔2〕
3 2 37
53又2 4 2 3 2ysinx在[2
,32 ]上是减函数sin7sin(5)cos54 2 3 3sin7cos5即 4 3cos3sin〔3〕 8 80cos3sin318 8 2ysinx在〔02〕内递增sin(cos3)sin(sin3)8 8点评:比较同名的三角函数值的大小,首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数,利用单调性,由自变量的大小确定函数值的大小。1111sinx2y〔1〕〔2〕
y32sin(2x)3
y2sin(2x
)(3 6
x 6分析:可利用sinx与cosx的值域求解,求解过程中要留意自变量的取值范围。
02〔〕
1sinx161sinx16当sinx1时,
2ymax 22当sinx1时,
ymin 2〔2〕
1sin(2x
2)13sin(2x当 3
)1
max
5;sin(2x当
)1
min
1。 2〔3〕 6
x
02x 6, 3 30sin(2x)13sin(2x当
)1
max
2;sin(2x)0当 3
min
0。点评:求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx与cosx的有界性,以及复合函数的有关性质。ysin(2x)5.ysinx的图象变换为函数
3 的图象。1:
x2x2(x
)2x6 31:
1横坐标缩短到原来的ysinx2横坐标缩短到原来的纵坐标不变向左平移个单位ysin2x ysin[2(x
)]sin(2x 6 32:
xx3
2x3向左平移个单位解法:ysinxysin(x
1横坐标缩短到原来的)2横坐标缩短到原来的3 纵坐标不变ysin(2x)3点评:1中,先伸缩,后平移;在解法2中,先平移,后伸缩,外表上看来,两 种变换方法中的平移是不同的〔即6和3到的结果是全都的。y2sin(2x)6.用五点法作出函数
3 的图象,并指出函数的单调区间。分析:按五点作图法的要求找出五个点来,然后作图。〔〕列表2x 3x2x2x603y 012223071232-25620
302、、2、2,再求出相应的x值和y值。描点用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如下图:利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到y2sin(2x
)3 xR的简图〔图略。,7可见在一个周期内,函数在[12 12 ]上递减,又因函数的周期为,所以函数k,k7](kZ)的递减区间为
12 12
。同理,增区间为[k
5,k](kZ)12 12 。点评:x02、3、2、2,然后求出相应的x,y值。7.yAsin(x的图象,确定A、、的值。解析:明显A=2T5()6 6
222T y2sin(2x)x1:由图知当
6时,y=02x2()0 故有 6 , 3所求函数解析式为
y2sin(2x )32:y2sin2x6 y2sin2(x ) y2sin(2x )即得3
6 ,即 3点评:yAsin(x)的解析式难点在于确定初相,一般可利用图象变换关系和特别值法。【模拟试题】1f(sinx)x,且
1x [0,] f( )2,则 2的值等于sin1 1
A. 2y2、函数
xsin a
B. 2 C. 6 D. 6a0)的定义域为A.R B.[-1,1]1,1C.[3 3]
D.[-3,3]3、在[02]上,满足
sinx
12x取值范围是[0,6
] [,5]6 6 2 [ , ] [
,]6
0x3 x4ycosx|tanx|〔
2且 2〕的图象是5、假设
x[ , 6 3
,则函数
f(x)2cos2xsinx1
的值域是A.31(3C. 2
1),9
B.31(3D. 2
1),1 76、函数y 2
yAsin(x)
在同一周期内,当
x12y最大
2 x,当
12时,最小 ,那么函数的解析式为〔 〕 y2
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