（概率论与数理统计）随机向量

一、多维随机变量二、二维随机变量的联合分布函数三、边缘分布四、二维随机变量函数的分布下页多维随机变量(向量)及其分布第三章多维随机变量(向量)及其分布下页多维随机变量(向量)的概念

例1.对某作物新品种进行指标观察，观察其产量(X)，品质(Y)，抗病力(Z)情况.则(X,Y,Z)为三个随机变量.

例2.对某市成年男子身体状况进行抽样调查，了解身高(X),体重(Y)情况.则(X,Y)为两个随机变量.

总之，在实际问题中某些随机试验的结果经常用多个随机变量来描述.

定义设随机试验E的样本空间为Ω={ω}，X1，X2，…，Xn是定义在Ω上的n个随机变量，称随机变量组

(X1，X2，…，Xn)为定义在Ω上的n维随机变量(或n维随机向量).下页第三章多维随机变量(向量)及其分布多维随机变量(向量)的概念一、二维随机向量（X,Y）的联合分布函数F(x,y)=P({X≤x}∩{Y≤y})=P{X≤x,Y≤y}F(x,y)表示随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率.为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称X,Y的联合分布函数.下页yo(x,y)(X,Y)x设(X,Y)为二维随机向量，x,y为两个任意实数,则称二元函数1.定义2.几何意义

对于任意的x1＜x2，y1＜y2，

P{x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2}=F(x2,y2)－F(x2,y1)－F(x1,y2)+F(x1,y1)

下页yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)F(x,y)=P({X≤x}∩{Y≤y})=P{X≤x,Y≤y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称X,Y的联合分布函数.设(X,Y)为二维随机向量，x,y为两个任意实数,则称二元函数3.常用计算公式①

F(x,y)是x和y的单调不减函数.即

对于任意固定的y，当x1＜x2时，F(x1

,y)≤F(x2

,y)，对于任意固定的x，当y1＜y2时，F(x,y1)≤F(x,y2).②0≤F(x,y)≤1,F(-∞，-∞)=0，F(+∞，+∞)=1，对任意固定的y，F(-∞，y)=0，对任意固定的x，F(x，-∞)=0.③F(x,y)关于x右连续，关于y也是右连续的，即

F(x+0,y)=F(x,y)，F(x,y+0)=F(x,y).④对于任意的x1＜x2,y1＜y2有下列不等式

F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0.4.F(x,y)的基本性质下页二、二维离散型随机向量的概率分布

若（X,Y）的所有可能取值为（xi,yj），i,j=1,2,…；且取这些值时的概率表示为

pij=P{X=xi

,Y=yj},i,j=1,2,…，则称这一列式子为（X,Y）的联合概率分布或联合分布律.①pij≥0，i,j=1,2,…;②下页1.定义

若随机向量（X,Y）所有可能取值只有限对或可列多对时,则称（X,Y）为二维离散型随机向量.2.（X,Y）的联合分布列(律)3.联合分布(律)的性质4.（X,Y）的联合分布(律)常用表示形式5.（X,Y）的联合分布函数为其中和式是对一切满足xi≤x，yj≤y的i,j求和.

y1

y2…yj…x1

p11

p12…p

1j

…x2p21

p22…p

2j

…

：：：：

xi

pi1

pi2…pij

…

：：：：XY下页（i=0,1,2;j=0,1,2;且i+j≤2）下页

例1.

设袋中共有3红2蓝4白球，现从中任取2只，以X,Y记录取得的红、蓝色球数，求解下列问题.①求(X,Y)的联合分布---解法1（不推荐）解:

令X表示取出的红球数，Y表示取出的蓝球数，则(X,Y)所有可能取值为（0,0）,（0,1）,（0,2),（1,0）,（1,1）,（2,0），依古典概型得解:

令X表示取出的红球数，Y表示取出的蓝球数，则①求(X,Y)的联合分布---解法2（通常解法）X可能取的值为0,1,2；

Y可能取的值为0,1,2.

Y012X01020

0依古典概型得…所以（X,Y）的联合分布律为下页

例1.

设袋中共有3红2蓝4白球，现从中任取2只，以X,Y记录取得的红、蓝色球数，求解下列问题.②P{X+Y=1}③P{X+Y≤1}④P{X=0}=P{X=1，Y=0}+P{X=0，Y=1}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}=5/12.下页

Y012X010200=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=1/3+2/9=5/9.=1/6+1/3+2/9=13/18.=P{X=0，Y<+∞}三、二维连续型随机向量的概率分布则称（X,Y）为二维连续型随机向量，f(x,y)为（X,Y）的（联合）概率密度，或（联合）分布密度.

设（X,Y）的分布函数为F(x,y)，如果存在非负可积函数

f(x,y)，使得对于任意实数x,y有z=f(x,y)示意图下页f(x,y)1.定义2.概率密度f(x,y)的性质①f（x,y）≥0;③若f(x,y)在（x,y）处连续则有

f(x,y)=④点(X,Y)落在xoy的平面区域D内的概率为下页例2.

已知二维连续型随机向量（X,Y）的联合概率密度，解:①由联合密度函数的性质知计算得求：①

k；②

F(x,y)；③

P{0<X<1,0<Y<1}；④

P{X+Y≤1}.下页从而得k=1.解:②记D={（x,y）|0＜x＜1,0＜y＜1}，则下页例2.

已知二维连续型随机向量（X,Y）的联合概率密度，求：①

k；②

P{0<X<1,0<Y<1}

；③

P{X+Y≤1}

；④

F(x,y).011解:③记D={（x,y）|x+y≤1}，则有下页x+y=1例2.

已知二维连续型随机向量（X,Y）的联合概率密度，求：①

k；②

F(x,y)；③

P{0<X<1,0<Y<1}；④

P{X+Y≤1}.下页解:④所以联合分布函数为例2.

已知二维连续型随机向量（X,Y）的联合概率密度，求：①

k；②

F(x,y)；③

P{0<X<1,0<Y<1}；④

P{X+Y≤1}.ovux(x

,y)yx(x

,y)yx(x

,y)yx(x

,y)y当x>0,y>0时，例3.设二维随机变量（X，Y）的密度函数为

下页解:011(1)当0≤x≤1,0≤y≤1时,(2)当0≤x≤1,y>1时,(3)当x>1,0≤y≤1时,下页011(x,y)011(x,y)011(x,y)(4)当x>1,y>1时,(5)其它情况时,即下页011(x,y)四、两个重要分布1.均匀分布则称随机向量(X,Y)在区域D上服从均匀分布.②若区域D内任一部分区域D1，其面积为A1，则有下页①设平面区D的面积为A,若随机向量(X,Y)的概率密度为

其中m1,m2,s1,s2,r均为常数，且s1＞0,s2＞0，|r|＜1，则称(X,Y)服从参数为m1,m2,s1,s2,r的二维正态分布，记作（X,Y）~N(m1,m2,s12,s22,r).2.二维正态分布下页