( 线性代数)线性方程组的消元解法

线性方程组的消元解法非齐次线性方程组

齐次线性方程组

线性方程组的一般形式和矩阵形式A称为方程组的系数矩阵

b称为方程组的常数项矩阵

x称为n元未知量矩阵

线性方程组的一般形式和矩阵形式线性方程组的增广矩阵

线性方程组与增广矩阵是一一对应的

方程组的解

x1

1

x2

3

x3

2

可以看出用消元法解线性方程组的过程

实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程

解线性方程组时

为了书写简便

只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可

对方程组的增广矩阵施以初等行变换

相当于把原方程组变换成一个新的方程组

前后两个方程组显然是同解的

阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵如果矩阵自上而下的各行中

每一非零行的第一个非零元素的下方全是零

元素全为零的行(如果有的话)都在非零行的下边

则称该矩阵为阶梯形矩阵

如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1

且它所在列的其他元素全是0

则称该矩阵为简化的阶梯形矩阵

阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵如果矩阵自上而下的各行中

每一非零行的第一个非零元素的下方全是零

元素全为零的行(如果有的话)都在非零行的下边

则称该矩阵为阶梯形矩阵

如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1

且它所在列的其他元素全是0

则称该矩阵为简化的阶梯形矩阵

阶梯形方程组与阶梯形矩阵对线性方程组进行变换相当于对其增广矩阵作相应的变换

当原方程组化成一个阶梯形方程组时

其增广矩阵同时化成了阶梯形矩阵

反之当增广矩阵化成了阶梯形矩阵时

原方程组化成一个阶梯形方程组

阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵如果矩阵自上而下的各行中

每一非零行的第一个非零元素的下方全是零

元素全为零的行(如果有的话)都在非零行的下边

则称该矩阵为阶梯形矩阵

如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1

且它所在列的其他元素全是0

则称该矩阵为简化的阶梯形矩阵

阶梯形方程组解的情况分析

阶梯形矩阵与阶梯形方程组有下列对应关系阶梯形方程组解的情况分析

设原方程组已化为下列阶梯形方程组

这是因为满足前r个方程的任何一组数k1

k2

kn

都不能满足“0

dr

1”这个方程

所以方程组无解

1

如果dr

1

0

则原方程组无解

阶梯形方程组解的情况分析

设原方程组已化为下列阶梯形方程组1

如果dr

1

0

则原方程组无解

在这种情况下有r(A)

r(A

b)

在这种情况下有r(A)

r(A

b)

n

2

如果dr

1

0且r

n

则原方程组有唯一解

3

如果dr

1

0且r

n

则原方程组有无穷多个解

在这种情况下有r(A)

r(A

b)

n

定理3

1(解的情况判定)

线性方程组Ax

b有解的充分必要条件是r(A)

r(A

b)

且当r(A

b)

n时方程组有唯一解

当r(A

b)

n时方程组有无穷多解

用消元法解线性方程组的一般步骤第一步

对增广矩阵施以初等行变换

化成阶梯形矩阵

第二步

根据定理3.1判断方程组是否有解

第三步

如果方程组有解

则对上述阶梯形矩阵继续进行初等行变换

化成行简化的阶梯形矩阵

第四步

写出方程组的解

解

对增广矩阵施以初等行变换

化为阶梯形矩阵

因为r(A

¦b)

r(A)

2

4

故方程组有无穷多解

解

对增广矩阵施以初等行变换

化为阶梯形矩阵

解

对增广矩阵施以初等行变换

化为阶梯形矩阵方程组的全部解为其中c1

c2为任意常数

所以原方程组无解

r(A

¦

b)

r(A)

因为r(A)

3

r(A

¦

b)

4

解

对增广矩阵施以初等行变换

化为阶梯形矩阵

解

对增广矩阵施以初等行变换

化为阶梯形矩阵

(1)当a

1时

方程组有唯一解

经初等行变换可得方程组的解为

解

对增广矩阵施以初等行变换

化为阶梯形矩阵

(2)当a

1

b

1时

r(A)

2

r(A¦b)

3

故方程组无解

解

对增广矩阵施以初等行变换

化为阶梯形矩阵

(3)当a

1

b

1时

r(A)

r(A¦b)

2

方程组有无穷多组解

经初等行变换可得其中c1

c2为任意常数

原方程组的全部解为齐次线性方程组

线性方程组中的常数项均为零时

这样的线性方程组称为齐次线性方程组

齐次线性方程组

齐次线性方程组的一般形式为

齐次线性方程组的矩阵形式为Ax

0

说明齐次线性方程组Ax

0恒有解

因为它至少有零解

定理3

2

齐次线性方程组Ax

0有非零解的充分必要条件是

r(A)

n

齐次线性方程组

齐次线性方程组的一般形式为

齐次线性方程组的矩阵形式为Ax

0

推论当m

n时

齐次线性方程组Ax

0有非零解

定理3

2