微积分初步课件

《微积分初步》导数可应用于求各种变化率，如求变速直线运动的速度、加速度、切线的斜率，经济的边际等问题。介绍微分的概念及应用。介绍积分的概念及应用。1.1、导数的定义：

一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative），记作或，即2、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的三个步骤：

2.算比值：

1.求增量：

3.取极限：

导数的计算2.解：（1）求增量：（2）算比值：

（3）取极限：这就是说，常数的导数等于零1

、求函数(c

是常数)的导数。下面我们求几个常用函数的导数。2

、求函数的导数。解：3.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x的图象，从图象上看，它们的导数分别表示什么？yxO4.3、函数的导数

解：4、函数的导数

解：5.

一般地，可以证明幂函数(是任意实数）的导数公式为6.常数的导数等于零1

、求函数(c

是常数)的导数。下面我们求几个常用函数的导数。2

、求函数的导数。3函数的导数

一般地，可以证明幂函数(是任意实数）的导数公式为(x

)´=x-14函数的导数7.基本初等函数的导数公式8.可以帮助我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题。导数运算法则9.2、熟记运算法则

（1）（C)‘=0（2）(3)（4）（7）（8）（5）（6）1、熟记以下导数公式：10.利用函数的导数来研究函数的极值问题:

一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;(2):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.说明求函数极值的方法与步骤：②令③分区间讨论④将极值点代入f(x)算出极值。①求。，求一阶驻点。的正负号，确定单调区间进而确定极值点。11.函数的极值:请注意几点(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.12.(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).oaX1X2X3X4bxy13.在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小.14.二阶导数的应用曲线凹凸区间的判定直观看曲线“往上弯”为凹，每点切线在曲线下方；曲线“往下弯”为凸，每点切线在曲线上方。xy0xy0abbay=f(x)y=f(x)a图b图a图曲线是凹的,切线的倾斜角

为锐角，且由小变大，

是递增的，则表明有

递增，反之亦然。这就得到有f(x)凹；(b）图同理有，f(x)凸。曲线上凹凸的分界点叫做曲线的拐点。进一步观察曲线凹凸性与切线的关系15.例1：求下列函数的导数并画出函数的大致图像：（4）试证当x>0时，有16.17.微分：导数的代数应用

如果说用导数判定确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点，是导数在几何上的应用，那么这里“微分”则主要是导数在代数上的应用。因为“微分”的主要问题是函数的近似计算——如何求一个函数的改变量？

微分的概念及思想设函数y=f(x)的导数存在，即，由极限的概念令，称它为函数f(x)的微分。并记，则18.例1求函数的微分解

需要注意：(1)微分的意义由于，说明可以用微分求函数的改变量，即这里越小近似程度越好。19.如下图所示：MT是y=f(x)在M点的切线

微分，当较小时，可用直线MT来近似曲线MP（或说用三角形MTN近似曲边三角形MPN）。可见，“以直代曲”是微分的一个基本思想。于是，可顾名思义，把“微分”看作动词，意思为“无限细分”，而把“微分”看作名词，意思为“微小的一部分”。x0yMPTNxX+△Xy=f(x)(2)微分的思想20.(3)微分的计算

由于，因此，“求微分就是求导数”．（并且在存在的情况下，可微与可导等价）。

于是，由导数公式与法则可直接得到微分的公式与法则，如下表

微分基本公式（略）微分四则运算法则

设u、v是x的可导函数，则

21.例2在下面的括号中以适当的函数填空：

分析例1求微分是通过求，这里对照，则是其逆运算，已知求原来的函数。方法在于熟练掌握导数公式：首先找到类似的求导公式，然后猜察反推和多次试算。解

说明：由微分的逆运算求原函数是接下来积分讲的内容，通过求原函数可求不定积分。

22.

微分的近似计算

由得到近似公式：例3证明近似公式：证明类似地，可以证明当较小时有下面近似公式

23.～～～～～常用等价无穷小:～～24.

设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.25.微分学:积分学:互逆问题26.二、基本积分表不定积分的概念和性质一、原函数与不定积分的概念三、不定积分的性质27.一、原函数与不定积分的概念定义1（原函数）如果在区间内,即都有或那么函数就称为或在区间内原函数.的导函数为可导函数是在区间内的一个原函数.28.原函数存在定理：即连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（C为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？如果函数在区间内连续，那么在区间内存在可导函数使都有29.关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数C，（2）若和都是的原函数，则（C为任意常数）证（2）（C为任意常数）都是的原函数.30.被积表达式任意常数积分号被积函数定义2（不定积分）积分变量

在区间I内，函数的带有任意常数项的原函数，称为在区间I内的不定积分,记为原函数31.例1

求解解例2

求32.例3

设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为即是的一个原函数.33.由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算“互逆”.微分运算与求不定积分的运算的关系34.启示能否根据求导公式得出积分公式？结论

既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表35.基本积分表(k是常数);说明：36.37.38.例4

求积分解根据积分公式39.证等式成立.（可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质线性性质为常数）40.解所求曲线方程为例

已知一曲线在点处的切线斜率为且此曲线与y轴的交点为求此曲线的方程.41.5.基本积分表(1)4.不定积分的性质（线性性）1.原函数的概念：2.不定积分的概念：3.求微分与求积分的互逆关系小结6.利用积分公式求积分42.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．43.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．44.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．45.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．46.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．47.48.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．49.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．50.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．51.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．52.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．53.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．54.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．55.观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．56.求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi

[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xi

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿x57.一、定积分的定义如果当n

∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.58.定积分的定义：定积分的相关名称：

———叫做积分号，

f(x)——叫做被积函数，

f(x)dx—叫做被积表达式，

x———叫做积分变量，

a———叫做积分下限，

b———叫做积分上限，

[a,b]—叫做积分区间。59.被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限60.

按定积分的定义，有

(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)

0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形