四川省达州外国语学校2023-2024学年高三9月月考（文科）数学试题（解析版）

高2024届9月月考（文科）一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集补集运算.【详解】由，，得，所以，故选：B2.若复数满足，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先根据复数除法的运算求出复数，再由模长公式计算模长即可求解【详解】因为，所以.故选：C.3.已知命题，不是素数，则为（）A.，是素数 B.，是素数C.，是素数 D.，是素数【答案】D【解析】【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.【详解】命题为全称量词命题，该命题的否定为，是素数.故选：D.4.2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率（同比增长率＝（今年车流量-去年同期车流量）÷去年同期车流量×100％））数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（）A.2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23B.2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17C.2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差D.2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次【答案】C【解析】【分析】通过计算得到选项AB正确；观察数据的波动情况，得到选项C错误；设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则，解得，故D正确.【详解】对于A：由题图知，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为，故A正确；对于B：易知2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17，故B正确；对于C：2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，故C错误；对于D：2023年4月23日高速公路车流量为22万车次，同比增长率为10%，设2022年4月23日的高速公路车流量为x万车次，则，解得，故D正确.故选：C．5.若实数x，y满足，则的最大值为（）A.8 B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据约束条件，作出不等式组所表示的平面区域，再作直线：平移求解.【详解】：作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，其中，，.作直线：，平移直线，当其经过点时，有最大值8，故选：A.6.曲线在处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出切点坐标，求得导数，可求得切线斜率，根据导数的几何意义即可求得答案.【详解】由题意可知时，，即切点为，又，则，故曲线在处的切线斜率为，故切线方程为，即，故选：D7.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由图像可知，该函数为奇函数，根据奇偶函数的定义，得出A，B为奇函数，再根据函数图像中，判断出A对，B错；由图像得，判断出C，D错误，即可得出答案．【详解】对于A，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故A正确；对于B，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故B错误；对于C，函数，因为，故C错误；对于D，函数，，故D错误，故选：A．8.已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.9.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先列基本事件，再列满足条件的基本事件，最后根据古典概型求解.

【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况，若这三个数之积为偶数有，9种情况，它们之和大于8共有，5种情况，从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为.故选:D.10.已知三棱锥中，，，，则它的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出外接圆的半径，依题意可证，，即可得到平面，设外接球的半径为，则，即可求出，从而得解；【详解】解：因为，，，即为等边三角形，其外接圆的半径设为，则，又，，所以且，又，平面，所以平面，设外接球的半径为，则，即，所以外接球的表面积；故选：B11.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示：因为，则，，所以，，因，则，设，则，则，由勾股定理可得，即，整理可得，因为，解得，所以，，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.12.已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为，由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线为：，因为切线过点，所以，即，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图象交点的个数，设，则由可得，由可得：或，所以在和上单调递减，在上单调递增，当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，的图象如下图，且，要使与图象有三个交点，则.则的取值范围是:.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数，则______．【答案】8【解析】【分析】根据题意代入分段函数计算即可.【详解】由题意得.故答案为：814.已知平面向量，，若，则实数的值为__________．【答案】##【解析】【分析】由于，所以由构成的平行四边形对角线相等，故为矩形，所以，再运用数量积计算即可.【详解】，由构成的平行四边形为矩形，即，则，解得；故答案为：.15.已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．【答案】【解析】【分析】分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出的值.【详解】因为数列是以为公差的等差数列，则，所以，，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，因此，.故答案为：.16.《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为，，，半径分别为，，（其中），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则___________.【答案】##【解析】【分析】通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】解：阴影部分面积为：由图可知：，所以则，因为在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，所以，，即，则解得：，因为，所以.故答案为：.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.在中，.（1）求角C的大小.（2）若，的面积为，D为AB的中点，求CD的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；（2）首先由面积公式求出，再由为的中点，得到，最后根据数量积的运算律计算可得；【小问1详解】解：因为，所以，由正弦定理可得，即即，即，即，又，所以，因为，所以【小问2详解】解：因为，即，所以，又为的中点，所以，所以，即，所以；18.高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：数学成绩140130120110100物理成绩110901008070数据表明与之间有较强的线性关系.（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩；（Ⅱ）本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理不优秀合计数学优秀数学不优秀合计参考公式及数据：回归直线的系数，，，，.，.【答案】（Ⅰ），估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．【解析】【分析】（Ⅰ）由已知求得与的值，可得关于的线性回归方程，取求得值即可；（Ⅱ）由题意填写列联表，求得的值，结合临界值表得结论．【详解】解：（Ⅰ），．，．关于的线性回归方程为，取，得．估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）由题意填写列联表：物理优秀物理不优秀合计数学优秀24630数学不优秀121830合计362460，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．19.如图所示，在四棱锥M—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形．（1）求证：；（2）若平面平面ABCD，求D到平面ABM的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取BD中点O，连接CO、MO，根据为等边三角形，可得，同理可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，根据线面垂直的性质定理，即可得证.（2）根据面面垂直性质定理，可证平面ABCD，根据题意，求得各个边长，结合勾股定理、余弦定理，可得，可求得三棱锥体积，利用等体积法，即可求得答案.【详解】（1）取BD中点O，连接CO、MO，如图所示因为为等边三角形，且O为BD中点，所以，又，且O为BD中点，所以，又，所以平面，又平面，所以（2）因为平面平面ABCD，且平面平面ABCD=BD，，所以平面ABCD，由（1）可得，，，，所以，所以，所以，即，设D到平面ABM的距离为h，所以三棱锥体积，所以，解得.所以D到平面ABM的距离为20.已知椭圆：经过，两点，是椭圆上异于的两动点，且，直线的斜率均存在.并分别记为，.（1）求椭圆的标准方程（2）证明直线过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将两点代入方程组联立方程组解出即可；（2）利用已知条件求出直线的斜率，利用求直线公式表示直线的方程分析即可.【小问1详解】∵椭圆过和，∴，解得，∴椭圆的方程为：，【小问2详解】如图所示：由知与关于直线对称．在上任取一点，设关于直线对称的点为，则，解得，从而，于是．设点，：．由得，∴，从而．同理，．由（1）有，故，，为方便，记，则，，∴，即．由此可知，当变化时，直线过定点．【点睛】直线与曲线综合问题：考点：1、直线过定点2、定值问题3、取值范围问题4、直线方程问题方法：1、联立直线方程与曲线方程2、消元，得到关于的二次方程3、韦达定理4、化简表达式，分析问题.21.已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若任意且，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）不妨令，则问题等价于，令，只需证明在单调递增，问题等价于在时恒成立，参变分离得到，，再构造函数，利用导数求出的最大值，即可得解.【小问1详解】解：当时，，．则，令，解得或，又因为，所以．列表如下：x2单调递减极小值单调递增因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值．【小问2详解】解：因为，，所以，，若对任意且恒成立不妨令，则，令，只需证明在单调递增，因为，则，所以时恒成立，即，，令，，则，因为，所以令，解得，令，解得，从而在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是．【点睛】