第二章信号分析与处理

第2章信号的分析与处理本章学习要求：1信号的时域分析2信号的相关分析3信号的频域分析4数字信号处理基础剔除信号的噪声和干扰，及提高信噪比；消除测量系统误差，修正畸变的波形；强化、突出有用信息，削弱信号中的无用部分；将信号加工、处理、变换，以便更容易识别和分析信号的特征，解释被测对象所表现的各种物理现象。信号分析和信号处理的目的：2.1信号的时域分析2.1.1特征值分析1.离散时间序列统计参数的计算（1）离散信号的均值

对于离散信号，若在0~T时间内，离散点数为N，离散值为，则均值表示为:

（2）离散信号的绝对平均值（3）离散信号的均方值(2.3)信号的均方根值即为有效值，其表达式为:

（4）离散信号的方差(2.4)的开方称为均方根差，又叫标准差，表示为2.1.2概率密度函数分析

概率密度函数是概率相对于振幅的变化率。概率密度函数积分即得到概率

称为概率分布函数，表示信号振幅在到范围内出现的概率。对于任何随机信号有分别为幅值小于和大于式中，的概率

时域信号的均值、均方根值、标准差等特征值与概率密度函数有着密切的关系，即

2.2信号的相关分析2.2.1相关系数

“相关”指变量之间线性关系。对于确定性信号，两个变量之间为一一对应的确定性关系。两个随机性变量之间不具有确定性关系。但若两个变量之间具有某种内涵的物理联系，则通过大量统计就能发现变量之间存在某种虽不精确却具有相应的表征其特性的近似关系。

两个随机变量X和Y的数据点的分布情况:图2.5x与y变量的相关性较好的线性关系具有某种程度的相关关系无相关性对于变量x和y之间的相关程度常用相关系数表示:

式中：——随机变量x,y的协方差;

——随机变量x、y的均值；

、

——随机变量X、Y的标准差。2.2.2自相关分析1.自相关函数的概念

自相关函数用Rx(τ)表示，反映了信号在时移中的相关性,其定义为:(2.19)2.自相关函数的性质证明：例2.1求正弦函数的自相关函数。解：根据式（2.22）得式中，是正弦函数的周期，令带入上式，则可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在时具有最大值。2.2.3互相关分析1.互相关函数的概念反映了两个信号在时移中的相关性。2.互相关函数的性质1)互相关函数是可正可负的实函数。2)互相关函数非偶函数,亦非奇函数,而是互相关函数对称性3）的峰值不在处,其峰值偏离原点的位置反映了两信号时移的大小,相关程度最高。互相关函数性质6)两个同频率正余弦函数相关。7)周期信号与随机信号的互相关函数为零。例2.2

求两个同频率的正弦函数和的互相关函数解：对于周期函数由上例可见，两个均值为零且有相同频率的周期信号，互相关函数中保留了两信号的圆频率、幅值和相位差3.互相关技术的工程应用（1）相关测速工程中常用两个间隔一定距离的传感器进行非接触测量运动物体的速度钢带运动非接触测量（2）相关分析在故障诊断中的应用（3）传递通道的相关测定

上图为汽车司机座振动传递途径的识别示意图。在发动机、司机座、后桥放置三个加速度传感器，将输出进行相关分析可以看到，发动机和司机座的相关性较差，而后桥和司机座的相关性较大，可以认为司机座的振动主要是由汽车后轮的振动引起的。

（4）相关分析的声学应用测量墙板的衰减绕射声和穿透声的相关峰汽车相关法测速：思考题:2.3信号的频域分析2.3.1帕斯瓦尔（Paseval）定理该定理有如下表达式（证明从略）

上述又称为能量等式，即在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的信号总能量。

2.3.2功率谱分析•1.功率谱密度函数的定义

随机信号的自功率谱密度函数（自谱）是该随机信号自相关函数的傅立叶变换，即:两随机信号的互功率谱密度函数（互谱）为其逆变换为:2.功率谱密度函数的物理意义当时，由自谱逆变换定义由相关函数的定义，当时，有比较上两式有：

可知自谱曲线下的总面积就是信号的总功率。自谱大小表明总功率在不同频率处的功率分布。同理可以解释互谱密度函数。自功率谱密度函数是偶函数，频率范围是（，）又称双边自功率谱密度函数。（，0）和（0，）呈对称映射。因此可用0～内来表示信号的全部功率谱。称为信号的单边功率谱密度函数。图2.18为单边谱和双边谱的比较。3.功率谱的计算1）布拉克－杜开（Blackman-Tukey)法：根据原始信号计算出相关函数，然后利用傅立叶变换得到相应功率谱函数；2）模拟滤波器法：采用模拟分析仪进行分析计算的一种方法；3）库立－杜开（Cooley-Tukey)法，即用FFT计算功率谱。模拟信号自谱估计式数字信号自谱的估计式数字信号互谱估计式

利用频谱分析，将复杂的波形转换成频谱，以便进一步了解振动的构成原因。2.4数字信号处理基础

2.4.1数字信号处理的基本步骤

数字信号处理的基本步骤如图2.29所示，它包括4个环节：数字信号处理步骤简图信号调理A/D信号调理A/D数字信号分析仪或电子计算机结果显示D/A···x(t)y(t)1.信号调理

目的是把信号调整为便于数字处理的形式，它包括:1)电压幅值处理，以满足电子计算机对输入电压的要求；2)过滤信号中的高频噪声；3)如果信号中不应有直流分量，则隔离信号中的直流分量；4)如果原信号为调制信号，则应解调.

2.模数（A/D）转换

模数转换包括：在时间上对原信号等间隔采样；幅值的量化及编码；把模拟量转换成数字量，即把连续信号变成离散时间序列。

3.数字信号分析

在信号分析仪或通用计算机上进行。需将长序列数据截断，进行数字滤波、时域中的概率统计、相关分析、频域中的频谱分析、功率谱分析、传递函数分析等。4.输出结果

运算结果直接显示或打印，也可用数模转换器把数字量转换成模拟量输入外部被控装置。2.4.2时域采样和采样定理1.时域采样

采样是在模数转换过程中以一定时间间隔对连续时间信号进行取值的过程。它的数学描述就是用间隔为的周期单位脉冲序列去乘模拟信号(2.66)上式说明经时域采样后，各采样点的信号幅值为g(t)为采样函数。2.采样定理采样函数为一周期信号，即对进行傅立叶变换，有写成傅立叶级数形式，有

可见，间距为的采样脉冲序列的傅立叶变换也是脉冲序列,其间距为。

上式为信号经过间隔为的采样之后所形成的采样信号的频谱。

由卷积定理，并考虑到函数与其它函数卷积的特性，有

若采样间隔太大，即太低，则由于平移距离过小，移至各采样脉冲对应的序列点的频谱就会有一部分相互交叠.

新合成的图形与不一致，这种现象称为混叠.

为避免混叠以便采样后能准确恢复原信号，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，即这就是采样定理。实际工作中，一般采样频率应选为被处理信号中最高频率的倍以上。

2.4.3截断、泄漏和窗函数1.截断、泄漏和窗函数的概念

在数字处理时必须把长时序列截断。截断就是将无限长的信号乘以有限宽的窗函数。“窗”的意思是指通过窗口使我们能够看见原始信号的一部分，原始信号在视窗以外的部分均视为零。

窗函数就是在模数转换过程中（或数据处理过程中）对时域信号取样采用的截断函数。2.几种常用的窗函数

对时域窗的一般要求：其频谱的主瓣尽量窄，以提高频率分辨率；旁瓣尽量低，以减少泄漏。频域指标：

（1）3dB带宽B它是主瓣归一化幅值下降到-3dB时的带宽。（2）最大旁瓣峰值A（dB）A越小，由旁瓣引起的谱失真越小。（3）旁瓣谱峰渐进衰减速度D（dB/oct）。（1）矩形窗

矩形窗使用最普遍，因为习惯上中的不加窗就相当使用了矩形窗，并且矩形窗的主瓣是最窄的。

（2）汉宁（hanning)窗汉宁窗的旁瓣小，泄漏少，但汉宁窗的主瓣较宽。

（3）哈明(hamming)窗

2.4.4离散傅立叶变换和快速傅立叶变换1.离散傅立叶变换

傅立叶变换及其逆变换不适合用数字计算机计算，须将连续信号离散化，无限数据有限化。对有限个离散数据的傅立叶变换，称为有限离散傅立叶变换，简称DFT.

在进行DFT时，首先需将连续信号离散化，在区间（0，T）内，以时间间隔散序列用计算机对离散时间序列进行傅立叶变换，对采样，得到离得到的谱线是离散值。

由于频域中离散谱线对应时域中的周期函数，因此要对离散时间序列求频谱，必须假设信号是周期的，即以T为周期。在此假设基础上，便可利用周期函数的傅立叶变换公式分析离散时间序列。周期函数的傅立叶级数为：式中：