广西柳州市柳州高级中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（解析版）

2023级柳州高中开学考试一､填空题（每题5分，共12小题60分）1.分解因式：______.【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式分解即可.【详解】.故答案为：.2.计算：__________.【答案】【解析】【分析】根据分式、根式计算可得答案.【详解】故答案为：3.若，则的值为__________.【答案】2【解析】【分析】根据指数幂的运算可得答案.【详解】因为，所以，，故答案为：2.4.如图是由几块相同的小正方形搭成的立体图形的三视图，则这个立方体图形中共有__________块小正方体.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原原图，从而确定正确答案.【详解】根据三视图可知，以正视图为视角，左边有个小正方体（如图）；中间有个小正方体（如图）；右边有个小正方体（如图）.故共有个小正方体.故答案为：5.当时，二次函数的图象与轴所截得的线段长度之和为______.【答案】【解析】【分析】先由求根公式求出两根，从而求出两根距离的通式，利用累加法化简求解即可.【详解】当时，，解得，，所以，所以.故答案为：6.在中，，则边上中线的长的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】延长到点，使，连接，证明，推出，可得结论．【详解】解：延长到点，使，连接，如图所示：在和中，，，．在中，由三角形的三边关系，得，即，，故答案为：．7.如图，与均是等边三角形，若，则的度数是__________.【答案】【解析】【分析】首先根据边角边关系证明△ACE≌△BCD，再根据三角形全等的性质得到∠AEC=∠BDC=60°+∠BDE，最后根据三角形的内角和定理，角间的关系可得∠DBE的度数.【详解】解：如图

，

∵在等边△ABC和等边△DCE中，∠ACB=∠DCE=∠ABC=∠ECD=60°

又△ACE与△BCD中，

∠ACB=∠ECD⇒∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，

即∠ACE=∠DCB，而AC=BC，EC=DC

∴

△ACE≌△BCD

则

∠AEC=∠BDC=60°+∠BDE

∴∠AEB=360°-∠AEC-∠CED-∠BED

则360°-∠AEC-∠CED-∠BED=145°，

360°-(60°+∠BDE)-60°-∠BED=145°，

360°-120°-(∠BDE+∠BED)=145°，

360°-120°-(180°-∠DBE)=145°，

解得，∠DBE=85°即为所求．故答案：85°8.上初三的小芳看到读高三的姐姐在解一道高考题：“已知，则__________”姐姐做不出，正在苦思闷想，小芳凑上去说：这个题我会做，并随口说出了答案，这个答案是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】运用赋值法求解.【详解】令，则，，令，则，；故答案为：；.9.如图，已知正方形中，点在边上，且，把线段绕点顺时针旋转，使点落在所在的直线上的点处，则两点的距离为__________.【答案】1或7【解析】【分析】如图，利用旋转的性质及正方形的性质得出对应线段相等，即可得出≌，从而可求出的长，同理得出的长【详解】如图所示，当旋转到时，在和中，，所以≌，所以，所以,当旋转到时，在和中，，所以≌，所以，所以，综上，两点的距离为1或7，故答案为：1或710.如图，在中，的平分线交于点，且交于，则的长是__________.【答案】【解析】【分析】根据角平分线、平行线、直角三角形等知识判断出，由此求得正确答案.【详解】依题意，的角平分线是，设，由于，所以，所以，则.故答案为：11.设，且满足：对实数，当时，均有，则的最小值为____________.【答案】1【解析】【分析】设,则当时，均有，则，可得，再利用均值不等式可得出答案.【详解】对实数，当时，均有，设由，则函数在上单调递增,所以即，即，所以所以当且仅当时，取得等号.所以，时，有最小值1故答案为：1【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，考查函数单调性得应用，属于中档题.12.记表示不超过实数的最大整数，记的数为“好数”，如0，7等都是“好数”，4不是“好数”，则100以内正整数中共有“好数”__________个.【答案】67【解析】【分析】根据题意分析可知：当，为整数，，进而可得结果.【详解】由题意可知：当时，则有：若，则；若，则；若，则；若，则；综上所述：当时，的所有可能值为0，1，2，3.又因为，所以当，为整数，，因为，所以的最大值为16，所以100以内正整数中共有“好数”的个数为.故答案为：67.二､解答题（共四道题90分，第13题，第14题，每题15分，第15题，第16题，17每题20分）13.二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，例如：；请你根据初中所学知识解决下列问题：（1）计算：（2）计算：（3）计算：【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】【分析】由题意，根据分母有理化的规律可依次求解（1）、（2）、（3）.【小问1详解】，，，，.【小问2详解】，，，，.【小问3详解】，，，，.14.关于三角函数有如下的公式：①②③利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：，根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，“高考”期间，学校在综合楼上从点A到点B悬挂了一条宣传条幅，小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面，小明在四楼D点测得条幅端点A的仰角为，测得条幅端点B的俯角为，小芳在三楼C点测得条幅端点A的仰角为，测得条幅端点B的俯角为若楼层高度CD为3米，请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB的长.（结果保留根号）【答案】（米）【解析】【分析】根据题中公式可得，过D作，过C作，设米，根据直角三角形结合解得，进而可得结果.【详解】由题意可知：，过D作，垂足为M，过C作，垂足为N，则，米，，设米，则米，在中，（米），在中，（米），因为，即，解得（米），在中，，所以（米）.15.某单位欲购买A､B两种电器，根据预算，共需资金15750元.购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2300元：购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2050元.（1）购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元？（2）若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？（3）为节省开支，该单位只购买A､B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元：自己出资金不超过4000元；其中政府对A､B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案？【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件及等量关系联立方程组即可求解；（2）利用关系式为：总费用减去B种电器的总费用不超过件A种电器的费用即可求解；（3）根据政府补贴资金和自己出的资金得到不等式组，求得整数解即可.【小问1详解】设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元.由题意可知,解得，故购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元.【小问2详解】设购买B种电器件.,解得,故可购买B种电器至少有件.【小问3详解】设购买A种电器件，则购买B种电器件.,解得，因为取整数，所以可取，共种方案.16.如图所示，已知抛物线交轴于，交轴于点，且.（1）求抛物线的解析式；（2）在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使为锐角？若存在，求出点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）当时，为锐角，理由见详解.【解析】【分析】（1）根据以及一元二次方程根与系数的关系求出值得出结果.（2）先求出点的坐标，根据直径所对圆周角为直角，得出直角的位置，再判断为锐角的位置得出结果.【小问1详解】因为抛物线交轴于，所以，因为抛物线开口向上，与轴有两个交点，所以，，所以，，，，，所以，解得，或，舍去，所以，即抛物线的解析式为.【小问2详解】令，解得，则，由得.连接，，所以，所以，设关于抛物线对称轴的对称点为，所以，根据抛物线的对称性可知：，因此以为直径作圆，那么圆必过点，根据圆周角定理可知：轴下方的半圆上任意一点和组成的三角形都是直角三角形，如果设点点横坐标，那么必有，为锐角.17.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的边分别在轴和轴上，.点从点开始沿边匀速移动，点从点开始沿边匀速移动，点，点同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为秒.（1）连接矩形的对角线，当为何值时，以为顶点的三角形与相似；（2）在点，点运动过程中，线段的中点也随着运动，请求出的最小值；（3）将沿所在直线翻折后得到，试判断点能否在对角线上，如果能，求出此时的值，如果不能，请说明理由.【答案】（1）或；（2）；（3）不能，理由见解析.【解析】【分析】（1）分与,分别求解即可；（2）过点作于点，过点作于点，从而可得，再根据二次函数的性质求解即可；（3）设与相交于点，则，则有，，从而得当时，有最大值，所以有最大值，而点到的最短距离为，，从而得结论.【小问1详解】解：由