建筑制图投影基础知识

学习目标：通过本单元的学习，学生应了解投影及轴测投影的基本知识，了解点、直线、平面及平面立体的投影方法，掌握正投影图、轴测投影图的画法。能力标准：能运用投影知识正确绘制正投影图和轴测投影图。

单元七投影基础知识本单元主要学习投影及轴测投影的基本知识，学习点、直线、平面及平面立体的投影，学习正投影图及轴测投影图画法。建筑制图图7-1灯光和物体的影子

在日常生活中，我们看到物体在灯光或阳光照射下，会在墙面或地面上产生影子，这种现象叫做投影（图7-1）。

1、投影的基本知识（1）投影的概念项目一正投影图7-2投影的形成

在工程图样中，通常用投影来表示几何形体。用投影来表示物体的方法，称为投影法。投影分中心投影和平行投影两类，平行投影又分为正投影法和斜投影法。投射线由一点放射出来的投影方法，称为中心投影法;(如图7-2)

（2）投影的分类平行投影又分为两种：（1）斜投影投射线相互平行，但倾斜于投影面，称为斜投影。这种投影方法一般在作轴测投影图时应用。（2）正投影投射线相互平行而且垂直于投影面时，称为正投影法，又称直角投影法。如图7-3所示当投影中心离开物体无限远时，投射线可看作是相互平行的，投射线为相互平行的投影方法称为平行投影法.图7-3正投影法（点击观看动画）构成物体最基本的元素是点，直线是由点移动形成的，而平面是由直线移动形成的。在正投影法中，点、直线和平面形的投影，具有以下基本特性（图7-4）。图7-4点、直线、平面形的正投影特性

（点击观看动画）（3）正投影特性图7-5物体的一个正投影不能确定其空间的形状（点击观看动画）

（4）正投影法中的投影面一般来说，用三个相互垂直的平面做投影面，用物体在这三个投影面上的三个投影，才能比较充分地表示出这个物体的空间形状。这三个相互垂直的投影面，称为三投影面体系，如图7-6。图7-7第一分角的三个投影面

在三投影面体系中，作物体的三个投影，就有三个方向的投影线，如图中的A、B及C。各个方向的投射线应分别与各投影面相垂直。

在三投影面体系中，作物体的三个投影，就有三个方向的投影线，如图中的A、B及C。各个方向的投射线应分别与各投影面相垂直。

图7-8踏步模型的三面投影

由于三个投影面是相互垂直的，因此踏步的三个投影也就不在一个平面上。为了能在一张图纸上同时反映出这三个投影，需要把三个投影面按一定规则展平在一个平面上，其展平方法，如图7-9a所示。（a）(b)

图7-9三个投影面的展平方法(点击观看详细投影过程)

房屋及其它建筑体，都可以看成是由若干几何体组合而成，而几何体则是由平面、曲面、直线、曲线及点等几何元素组成，因此，学习投影作图必须先研究点、线、面投影的基本规律。图7-11点的三面投影(点击观看动画)2、点、直线、平面的投影1）点的三面投影及其投影规律图7-11a是空间点A三面投影的直观图。图7-11b是三个投影面展平后所得点A的投影图。（1）点的投影①正面投影和水平投影连线必定垂直于X轴，即：a′a┴OX②正面投影和侧面投影连线必定垂直于Z轴，即：a′a″┴OZ③水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，即：aax=a″az

点的投影具有以下规律：[例7-1]已知点B的H面投影b和W面投影b″,求作点B的V面投影b′。根据点的投影规律，b′的求作方法见图7-13。图7-13已知点的两个投影求第三个投影（点击观看动画演示）[例7-2]已知点C的H面投影C和V面投影c′,求作点C的W面投影c″。根据点的投影规律，c″的求作方法见图7-14。图7-14已知点的两个投影求第三个投影（点击观看动画）在[例7-2]中，使Ocyh=Ocyw的方法，是用圆孤求作的。此外，还有以下两种作法，见图7-15、图7-16。图7-15求点的第三个投影—45°斜线作法(点击观看动画)图7-16求点的第三个投影—45°分角线法(点击观看动画)在三投影面体系中，空间点及其投影的位置，可以用坐标来确定。三投影面体系看作空间直角坐标系图7—17点的坐标

2）点的坐标投影轴OX、OY、OZ相当于坐标系X、Y、Z轴投影面H、V、W相当于三个坐标面投影轴原点O相当于坐标系原点[例7-3]已知点A（20，15，10），求作点的三面投影图。

图7-18根据坐标作点的三面投影(点击观看动画)[例7-4]已知点B的坐标x=20，y=0，z=10，即B（20，0，10）,求作点B的三面投影图。图7-19根据坐标作点的三面投影(点击观看动画)

如图7-20a、b所示，点与投影面的相对位置有四类。即：3）各种位置的点投影面上的点；投影轴上的点；与原点O重合的点。空间点；图7-20各种位置的点(点击观看动画)由点的投影图判别两点在空间的相对位置4）两点的相对位置图7-21投影图上的方位(点击观看动画)这六个方位在投影图上也能反映出来，如图7-21b。首先应该了解空间一个点有前、后、上、下、左、右等六个方位，如图7-21a。[例7-5]

试判别C、D两点的相对位置（图7-22）。图7-22判断两点的相对位置(点击观看动画)图7-23重影点(点击观看动画)[例7-6]已知A、B、C三点的三个投影（图7-24），试判别A、B、C三点的相对位置。

图7-24判别三点相对位置(点击观看动画)由此可见：H面上的重影点可利用V面上两点的上下方位来判断；V面上的重影点可利用H面上两点的前后方位来判断；W面上的重影点可利用V面上两点的左右方位来判断。

（2）直线的投影1）直线投影图的作法：由两点确定一直线可知。一直线段通常取其两个端点，然后连接该两点的同名投影（在同一投影面上的投影），即得该直线的投影。

[例7-6]已知直线AB两端点为A（10，20，5）、B（20，5，15）求作直线AB的三面投影。直线AB三面投影的作法如图7-25所示。图7-25直线投影图的做法三点(点击播放动画)2）特殊位置直线及其投影特性①投影面平行线投影面平行线是指仅平行于一个投影面，而倾斜于另两个投影面的直线。

②投影面垂直线投影面垂直是指垂直于一个投影面的直线，该直线必定平行于另外两个投影面。①一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。

3）一般位置直线及其实长与倾角图7-26一般位置直线的投影(点击播放动画)②求作一般位置直线的实长和倾角（a）一般位置直线的实长和与投影面所成的倾角（b）用直角三角形法直接在投影图上求直线实长的做法图7-27用直角三角形法求直线的实长和倾角(点击播放动画)4）直线上的点的投影特性图7-28直线上点的投影(点击播放动画)[例7-7]已知直线AB的投影和ab和a′b′（图7-29a），求作直线上一点C的投影，使AC：CB=3：2。图7-29分直线为定比的点的投影(点击播放动画)5）两直线的相对位置空间两直线的相对位置有三种：平行

，相交，交叉。表7-3不同相对位置的两直线的投影特性[例7-8]已知直线AB、CD及EF的投影，判别三条直线之间的相对位置（图7-30）。图7-30判断已知直线的相对位置

(点击播放动画)图7-31交叉的两直线的投影(点击播放动画)[例7-9]已知直线AB和点C的投影（图7-32a），求作过点C与直线AB平行的直线CD的投影。图7-32过已知点作已知直线的平行线

(点击播放动画)6）一边平行于投影面的直角的投影（两直线垂直相交的特例）图7-33一边平行于投影面的直角的投影

(点击播放动画)[例7-10]已知点C和正平线AB的投影，求点C至直线AB的距离（图7-34）。图7-34求点到正平线的距离(点击播放动画)（3）平面的投影1）各种位置平面的投影①平面的表示方法a用几何元素表示平面图7-35用几何元素表示平面

b.用迹线表示平面

平面与投影面产生的交线，叫做迹线。图7-36一般位置平面迹线

((点击播放动画)

图7-37投影面平行面的迹线

(点击播放动画)图7-38投影面垂直面的迹线

②求作平面投影的方法

图7-39平面投影图的作法

(点击播放动画)2）各种位置平面的投影特点①一般位置平面在三投影面体系中，对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面.

图7-40一般位置平面(点击播放动画)②投影面平行面空间平面平行于一个投影面，同时垂直于另外两个投影面，称投影面平行面。

表7-4投影面平行面③投影面垂直面空间平面垂直于一个投影面，同时倾斜于另两个投影面。表7-5投影面垂直面图3）平面上的直线和点①点和直线在平面上的几何条件若一条直线通过平面上的两个点，或通过平面上一个点又与该平面上的另一条直线平行，则此直线一定是在该平面上。若一个点在某一平面内的直线上，则该点必定在该平面上。7-41平面上的直线和点在平面上取点，首先要在平面上取线。[例7-11]已知三角形ABC及其上一点K的投影k′，求作点K的另一投影k(图7-42a)。作法见图7-42。图7-42作平面上点的投影(点击播放动画)②平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线不仅应满足直线在平面上的几何条件，它的投影又应符合投影面平行线的投影特性。[例7-12]已知三角形ABC（图7-43a），求作通过点A且在该平面上的一条水平线。作法见图7-43。图7-43作平面上的水平线(点击播放动画)3、体的投影（1）平面几何体的投影平面几何体是由若干平面围成的。求作平面几何体的投影，就是作出围成该形体的各个表面或其表面与表面相交棱线的投影，作图时注意投影中的重影和可见性。1）棱柱体的投影图7-44正三棱柱的投影(点击播放动画)2）棱锥体的投影图7-45正五棱锥的投影在图7-46a中，已知正三棱锥表面上点K的V面投影k′，求点K的其余两个投影。可以通过点K在体表面上先作一辅助线，则K的投影必在此辅助线的同名投影上。图7-46作正三棱锥表面上点的投影(点击播放动画)（2）曲面几何体的投影1）圆柱体的投影图7-47圆柱体

(点击播放动画)图7-48圆柱体的投影(点击播放动画)如图7-49所示，已知圆柱体表面上的点K和M的V面投影k′和m′（图7-49a），求点K和点M的其他投影。图7-49求圆柱面上点的投影

(点击播放动画)2）圆锥体的投影图7-50圆锥体

图7-51圆锥体的投影

(点击播放动画)如图7-52所示，已知圆锥体表面上点K在V面上的投影k′（图7-52a），求点K的其余两个投影。图7-52求圆锥面上点的投影

(点击播放动画)（3）组合体的投影1）组合体的类型组合体由若干基本形体（几何体）所组成。2）组合体投影图的画法作组合体投影图，就是画出构成它的若干几何体的投影图。图7-53叠加型组合体

图7-54叠加型组合体投影图做法图7-55切割型组合体

图7-56切割型组合体投影图做法

图7-57混合型组合体

图7-58混合型组合体投影图做法

必须指出，将组合体分解为若干基本形体，是一种分析作图过程，实际上组合体是一个整体。故作图时各基本形体互相叠合时产生的交线是否存在，还要具体分析。如图7-58b中形体1与形体2侧面投影的交接处，就不应画交线。3）组合体投影图的识读根据已知的投影图，运用投影原理和方法，想象出空间物体的形状，这就是投影图的识读。图7-59投影图的识读

识读投影图的方法，一般有形体分析法和线面分析法两种。

①形体分析法这种方法是以几何体的投影特点为基础。根据组合体的构成方式和各部分的相对位置，综合想象出形体的完整形状。图7-60形体分析法识读组合体投影图

②线面分析法这种方法是以线和面的投影特点为基础。识读时对投影图中的每条线和由线围成的各个线框进行分析，根据它们的投影特点，明确它们的空间形状和位置，综合起来就能想象出整个形体的形状。这种读图方法，叫做线面分析法。

图7-61用线面分析法识读组合体投影图

上面介绍了两种读图方法。在读图时往往是两种方法混合运用，即先用形体分析法了解组合体的大致形状，对有疑点的线和线框再用线面分析法分析。这样才能达到正确、迅速识读投影图的目的。（4）形体尺寸注法形体投影图画好后，都应注上必要的尺寸，以确定形体的大小。1）几何体的尺寸注法对于几何体只要注出它的长、宽、高或直径就可以了。一个尺寸只需注一次，不要重复。尺寸注写应清晰，便于识读。几何体的尺寸注法，如图7-62所示。图7-62几何体的尺寸注法

(点击播放动画)2）组合体的尺寸注法组合体投影图上的尺寸，一般包括下列三种：①定量尺寸。确定形体的形状和大小的尺寸叫定量尺寸。②定位尺寸。确定构成组合体的各基本形体（或孔洞）相对位置的尺寸叫定位尺寸。③总体尺寸。整个组合体的总长、总宽和总高尺寸叫总体尺寸。组合体形状比较复杂，对一个组合体的尺寸注法也不是唯一的，可有不同方式。但都应该注意下列原则：a.尺寸应尽量注在能反映形体特征的投影图上。b.表示同一基本形体的尺寸，应尽量集中注出。c.与两投影图有关的尺寸，宜注在两投影图之间。d.尺寸最好注在图形之外，互相平行的尺寸应将小尺寸注在里边，大尺寸注在外边。e.同一图上的尺寸单位应一致。

图7-63组合体的尺寸注法

(点击播放动画)（5）体的截断与相贯被某一平面截割后的形体，称为截断体。截割形体的平面，称为截平面。截平面与形体表面的交线，称为截交线。截交线所围成的平面图形，称为截面。图7-64体的截断

两相交的形体，称为相贯体，它们表面的交线，称为相贯线。分相贯和互惯两种。两形体相贯，可能是平面体与平面体相贯、平面体与曲面体相贯或曲面体与曲面体相贯。图7-65体的相贯

1）平面体的截交线平面体的表面是由一些平面形所围成。在求作平面体截交线时，可先求出各棱线与截平面的交点，然后连成截交线。[例7-13]已知正五棱柱被一正垂面P所截断，求作截交线的投影和截面实形（图7-66）。图7-66作正五棱柱的截交线

(点击播放动画)[例7-14]已知三棱锥被一正垂面P所截断，求作截交线的投影和截面实形（图7-67）。图7-67作三棱锥的截交线

(点击播放动画)2）曲面体的截交线平面截割曲面体的截交线，一般是平面曲线但也可能是平面折线，这要看截平面与曲面体的相对位置而定。表7-6圆柱体的截交线

①圆柱体的截交线有圆、椭圆、矩形三种形状，如表7-6所示。[例7-15]已知正圆柱被一正垂面（倾斜于圆柱轴线）所截断，求作截交线的投影和截面实形（图7-68）。

图7-68作圆柱体的截交线

(点击播放动画)②正圆锥体的截交线有五种不同形状的截交线，如表7-7所示。表7-7正圆锥体的截交线

[例7-16]已知正圆锥被一正平面P（不通过顶点）所截断，用素线法求作截交线的投影（图7-69）。图7-69用素线法作正圆锥的截交线[例7-17]已知正圆锥被一正垂面P（倾斜于圆锥轴线）所截断，用纬圆法求作截交线的投影和截面实形（图7-70）。

图7-70用纬圆法作圆锥的截交线

3）直线与形体的贯穿点直线与形体相交，即直线贯穿形体，直线与形体表面的交点，称为贯穿点，它是直线与形体表面的共有点。[例7-18]已知空间一直线与四棱柱相交，求作贯穿点的投影（图7-71）。图7-71直线贯穿四棱柱

(点击播放动画)[例7-19]已知空间一直线与三棱锥相交，求作贯穿点的投影（图7-72）。图7-72直线贯穿三棱锥

(点击播放动画)直线与曲面休相交，其贯穿点投影的求法，一般用素线法比较方便，如图7-73、图7-74所示。图7-73直线贯穿圆柱

图7-74直线贯穿圆锥

（6）两平面体相贯折线上的各转折点为两平面体棱线相互的贯穿点，求出这些贯穿点的投影并依次连接起来，即可得两平面体相贯线的投影。

1）两平面体相贯，它们的相贯线可能是封闭的平面折线，也可能是空间折线。

[例7-20]求作烟囱与屋面相贯线的投影（图7-75）。

图7-75作烟囱与屋面相贯线投影之一

如果没有给出相贯体的W面投影，也可以利用在形体表面上定点和作辅助线的方法作图（图7-76）。图7-76作烟囱与屋面相贯线投影之二

2）在房屋建筑中，坡屋面是一种常见的屋顶形式。在通常情况下，屋顶檐口的高度处在同一水平面上，各个坡面的水平倾角又相同，故又称为同坡屋面（图7-77）。图7-77同坡屋面

同坡屋面的基本形式有二坡和四坡。①檐口线平行的两个坡面相交，其交线是一条平行于檐口线的水平线，通称屋脊线，它的H面投影必定平行于檐口线的H面投影，且与两个檐口线距离相等（图7-77b）。②檐口线相交的相邻两个坡面，其交线表示一条斜脊或斜沟，它的H面投影必定为两檐口线夹角的分角线。由于建筑物的墙角绝大多数是90°角，故此斜脊或斜沟线的H面投影为45°斜线（图7-77b）。③如果两斜脊、两斜沟或一斜脊和一斜沟相交，在交点处必还有另一条屋脊线相交。

同坡屋面具有如下几个特性：[例7-21]已知四坡顶房屋的平面图和各坡面的水平倾角α，求作屋顶的H面和V面投影（图7-78）。图7-78坡屋面投影作法

(点击播放动画)项目二轴测投影1、轴测投影基本知识正投影图虽能完整准确地表示出形体形状的大小，且作图简便、度量性好，但其图形不直观。轴测图虽然直观性较强，但不反应实际尺寸。

图7-79正投影图与轴测图

轴测投影属于平行投影的一种。它是用一组平行投射线按某一特定方向，将形体连同三个坐标轴一起投射在一个新的投影面上而成（如图7-80）。（1）轴测投影的形成图7-80轴测投影的形成(点击播放动画)（2）轴测投影的分类轴测投影分为正轴测投影和斜轴测投影两大类。当形体长、宽、高三个方向的坐标轴与投影面倾斜，投射线与投影面相垂直，所形成的轴测投影，称为正轴投影；当形体两个方向的坐标轴与投影面平行，投射线与投影面倾斜，所形成的轴测投影，称为斜轴测投影。用轴测投影方法画成的图，简称为轴测图。它们的投影与原来长度的比值，称为轴向伸缩系数（简伸缩系数），分别用p1、q1、r1表示，即：P1==O1X1／OX；q1=O1Y1／OY；γ1=O1Z1∕OZ；画正等轴测图时，根据形体特点，通过形体分析可选择各种不同的作图方法，如叠加法、切割法和坐标法等。

图7-81正等轴测轴测轴画法

[例7-22]已知柱基础的正投影图（图7-82a），求作它的正等轴测图。从图7-82a正投影中可以看出，这是由三个四棱柱体上下叠加而成的柱基础。图7-82用叠加法画正等轴测图

[例7-23]已知形体的正投影图（图7-83a），求作它的正等轴测图。图7-83用切割法画正等轴测图

[例7-24]已知四坡顶房屋的正投影图（图7-84a），求作它的正等轴测图。图7-84用坐标法画正等轴测图

求作曲面体的轴测投影，首先要掌握平面上圆的轴测投影画法。图7-85用八点法画椭圆

如果是作正等轴测图，那么正四边形的轴测投影图是一菱形。在菱形中画椭圆可用近似画法，如图7-86。图7-86正等轴测图中画椭圆的近似画法(点击播放动画)图7-87三个方向圆的轴测图

图7-88圆角的正等轴测图

[例7-25]已知圆柱的正投影图（图7-89a），求作它的正等轴测图。图7-89圆柱的正等轴测图(点击播放动画)（3）轴测投影的特性：1）直线的轴测投影，仍然是直线