2023-2024学年湖北省宜荆荆恩高三（上）起点数学试卷（9月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省宜荆荆恩高三（上）起点数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知a为实数，若复数z=(a2−1A.1 B.0 C.1+i 2.设集合A={x||x−A.{1} B.{1,2}3.将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，则2个小球在同一个盒子的概率为(

)A.35 B.12 C.384.在△ABC中，AB=AC=3，A.0 B.2 C.4 D.85.定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足条件：对∀x，A.(0,4) B.(4,6.设M(x0,y0)为抛物线C：x2=4y上一点，F为抛物线C的焦点，以A.(0,1) B.[0,7.已知O为坐标原点，过点A(1,0)作直线l：ax+by−a+2bA.2+1 B.2−18.定义：在数列{an}中，an+2an+1−an+1anA.1763 B.1935 C.2125 D.2303二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的有(

)A.从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是0.25

B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C.数据26，11，14，31，15，17，19，23的50%分位数是18

D.若样本数据x1，x2，…，xn的标准差为4，则数据2x1+110.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是(

)A.P(A)=12 B.事件A和事件B互为对立事件

C.P(11.如图，直角梯形ABCD中，AB/​/CD，AB⊥BC，BC=CD=1

A.CD⊥平面EDP

B.四棱锥P−EBCD外接球的体积为43π

12.关于函数f(x)=A.f(x)在R上是增函数

B.f(x)为偶函数

C.f(x)的最小值为l三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(x−2x)5的展开式中x的系数为14.将函数f(x)=sinx+15.四棱锥P−ABCD中，底面是平行四边形，E，F分别为线段PD，PC上的点，PEED=16.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，直线FD与四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．

(18.(本小题12.0分)

如图，在三棱台ABC−DEF中，AB⊥AC，AB=2DE=2，AC=22，CF=2，且CF⊥平面ABC19.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=x2−2axex(a∈R)．

(1)若f(20.(本小题12.0分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+3n2(n∈N*)，数列{bn}为等比数列，且a4−1，a621.(本小题12.0分)

甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复n(n∈N*)次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为Xn，甲盒中恰有2个黑球的概率为pn，恰有3个黑球的概率为qn．

(1)求p1，q1；

(222.(本小题12.0分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，△PAB面积的最大值为2．

(1)求椭圆C的方程；答案和解析1.【答案】B

【解析】解：若复数z=(a2−1)+(a−1)i为纯虚数，

所以a2−1=2.【答案】A

【解析】解：因为A={x||x−1|<2}，则−2<x−1<23.【答案】D

【解析】解：将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，共有：32=9种方法，

2个小球在同一个盒子有3种情况，

所以2个小球在同一个盒子的概率为39=13．

故选：D．

先求出将24.【答案】C

【解析】解：由题意，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，

则cosB=cosC=3+45.【答案】D

【解析】解：在f(xy)=f(x)+f(y)−1中，令x=y=1，得f(1)=f6.【答案】C

【解析】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点F(0,1)，准线方程为：y=−1，

设F到准线的距离d1，M(x0,y0)到准线的距离d2，

则d1=2，d2=y0+1=|FM|(7.【答案】B

【解析】解：因为直线ax+by−a+2b=0，可得a(x−1)+b(y+2)=0，

由方程组x−1=0y+2=0，解得x=1，y=−2，即直线l恒过点B(1,−2)，

又因为过点A(1,08.【答案】B

【解析】解：∵数列{an}是“等比差”数列，

∴an+2an+1−an+1an=d(n∈N*)，

∵a1=a29.【答案】AC【解析】解：对于A：从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是1040=0.25，故A正确；

对于B：已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则m=4×5−(1+2+6+7)=4，

这组数据的方差为15×[(1−4)2+(2−4)2+(4−4)2+(6−4)2+(7−4)2]=265，故B错误；

对于C：这组数据从小到大排列为：11，14，15，17，19，23，26，31，共8个，故其50%分位数为第10.【答案】AC【解析】解：选项A：P(A)=C21C41C41C41=816=12.判断正确；

选项B：事件B：第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，

则两次向下的数字之和为奇数．则事件A和事件B不是对立事件．判断错误；

选项C：P(AB)=C21C21C41C41=41611.【答案】AB【解析】解：对于A，∵E为AB中点，

∴BE=CD，BE/​/CD，

∴四边形EBCD为平行四边形，

又AB⊥BC，

∴四边形EBCD为矩形，

∴CD⊥DE；

∵PD=AD=22+22=22，CD=2，PC=23，

∴PD2+CD2=PC2，

∴CD⊥PD，

又PD⋂DE=D，PD，DE⊂平面EDP，

∴CD⊥平面EDP，A正确；

对于B，∵BC/​/DE，AB⊥BC，

∴AE⊥DE，即PE⊥DE，

∵CD⊥平面EDP，PE⊂平面EDP，

∴CD⊥PE，

又CD⋂DE=D，CD，DE⊂平面EBCD，

∴PE⊥平面EBCD12.【答案】BC【解析】解：由题设f(x)=ln(ex+1ex)，

而t=ex>0在R上递增，g(t)=t+1t在t∈(0,1)上递减，在t∈(1,+∞)上递增，

所以μ=ex+1ex在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，又y=ln13.【答案】−10【解析】解：展开式的通项公式为Tr+1=C5r(x)5−r(−2x)r=C5r(−2)rx5−314.【答案】2π【解析】解：∵f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)，

图像向左平移15.【答案】12【解析】解：设AC⋂BD=O，连接DF交CE于G，连接OG，BF，

由于BF⫽平面AEC，BF⊂平面BDF，平面BDF⋂平面AEC=OG，

则BF⫽OG，由于O是BD的中点，所以OBO16.【答案】10【解析】解：不妨设点D在第一象限，如图，作OM⊥BC于点M，

则M为BC的中点，也是FD的中点，设E的右焦点为F′，连接DF′，

因为OM是△DFF′的中位线，所以OM//DF′，

所以DF′⊥DF，设|DF′|=m，则|OM|=m2,|FD|=2a+m，|BM|=16|D17.【答案】解：(1)在△ABC中，∵A=2B，asinA=bsinB，b=3，c=1，

∴a2si【解析】(1)利用正弦定理，二倍角公式结合已知可得a2sinBcosB=3sin18.【答案】解：(1)证明：连接DP，则四边形DPCF是矩形．

又tan∠CDP=tan∠CPQ=22，则∠CDP=∠CPQ，从而CD⊥PQ．

由CF⊥平面ABC，且PR⊂平面ABC，得CF⊥PR．

由AB⊥AC，且PR为三角形ABC的中位线，得AC⊥PR．

又因为AC∩CF=C，AC，CF⊂平面ADFC，

所以PR⊥平面ADFC．

由于CD⊂平面ADFC，则CD⊥PR．

因为PQ∩PR=P，PQ，PR⊂平面PQR.，则CD⊥平面PQR．

又因为CD⊂平面【解析】(1)由面面垂直的判定定理、线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；

(2)以P为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面BC19.【答案】解：(1)f′(x)=(2x−2a)ex−(x2−2ax)exe2x=−x2+2(a+1)x−2aex，

∵f(x)在x=3处取得极值，

∴f′(3)=0，解得a=34．

当a=34时，f(x)=【解析】(1)求出函数的导数，由题意可得f′(3)=0求出a的值，计算f′(1)，f(120.【答案】解：(1)因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+3n2(n∈N*)，

当n=1时，a1=S1=2，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+3n2−(n−【解析】(1)根据Sn和an的关系求出{an}的通项公式，由{an}21.【答案】解：(1)由题可知：p1=23⋅23+13⋅13=59，q1=13⋅23=29；

证明：(2)n次操作后，甲盒有一个黑球的概率P(Xn=1)=1−pn−qn，由全概率公式知：

P【解析】(1)交换后甲盒有2黑球，说明两个盒子相互交换1个白球或者交换1个黑球，若交换后甲盒有3黑球，说明甲给乙白球，乙给甲黑球；

(2)根据全概率公式进行