2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题2-1等式性质与不等式性质（7大题型）（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质（7大题型）分层作业题型目录考查题型一：用不等式(组)表示不等关系考查题型二：作差法比较两数(式)的大小考查题型三：作商法比较两数(式)的大小考查题型四：利用不等式的性质判断命题真假考查题型五：利用不等式的性质证明不等式考查题型六：利用不等式的性质比较大小考查题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围考查题型一：用不等式(组)表示不等关系1．（2023·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得．故选：B．2．（2023·高一课时练习）下列说法正确的为（

）A．与2的和是非负数，可表示为“”B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且”D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃”【答案】C【解析】对于A，应表示为“”，对于B，应表示为“”，对于D，应表示为“7℃13℃”，故A，B，D错误．故选：C．3．（2023·全国·高一专题练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M【答案】A【解析】长、宽、高之和不超过Mcm，.故选：A.4．（2023·高一课时练习）用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意：生活费a不低于300元，即.故选：B5．（2023·全国·高一专题练习）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】数学成绩不低于100分表示为，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为，即.故选：D.考查题型二：作差法比较两数(式)的大小6．（2023·高一单元测试），和同时成立的条件是．（答案不唯一，写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】，因为，即，所以，所以或，故所写答案只要满足上述两个不等条件其中一即可，如等.故答案为：（答案不唯一）.7．（2023·全国·高一专题练习）比较大小：.【答案】【解析】因为，所以故答案为：.8．（2023·全国·高一专题练习）已知，设，，则（填“>”“<”或“=”）．【答案】>【解析】.因则.，又，.则，即.故答案为：9．（2023·全国·高一专题练习）设，，则，的大小关系为．【答案】【解析】，所以.故答案为：10．（2023·广西桂林·高一校考阶段练习）设，则与的大小关系为：（用“”、“”、“”填写）.【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：.11．（2023·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知为实数，则(填“”、“”、“”或“”).【答案】【解析】由题知，，当且仅当时，取等号.故答案为：.考查题型三：作商法比较两数(式)的大小12．（2023·全国·高一专题练习）若，则、、、中最小的是.【答案】【解析】因为，所以，，因为，，所以，即故答案为：13．（2023·全国·高一专题练习），则的大小关系为．【答案】≥【解析】因为，则由所以故答案为：14．（2023·高一课时练习）如果，，那么，，从小到大的顺序是【答案】【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以。综上：故答案为：15．（2023·全国·高一随堂练习）若，求证：．【解析】证明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．考查题型四：利用不等式的性质判断命题真假16．（多选题）（2023·高一单元测试）下列命题不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【解析】对于A，若，则，所以A错误，对于B，当时，则不等式的性质可得，所以B错误，对于C，当，时，，所以C错误，对于D，若，则由不等式的性质可得，所以D正确，故选：ABC17．（多选题）（2023·浙江台州·高一校联考期中）已知为实数，若，则下列不等关系一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】对于A，由不等式性质可知不等式两边同时加减同一个实数，不等号方向不改变，即A正确；对于B，易知，又，若时，；若时，；若时，；所以并不一定成立，即B错误；对于C，由可知，当时，，，所以，即C正确；对于D，当时，由不等式性质易知时，，即D错误；故选：AC18．（多选题）（2023·广东佛山·高一校联考期中）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若且，则D．若，则【答案】BC【解析】若,，则，故A错误；若，则，，故B正确；若且，则，即，故C正确；若，取，，，则，，此时，故D错误.故选：BC19．（多选题）（2023·云南昆明·高一校考期中）对于任意实数，，，，以下四个命题中正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，则【答案】AB【解析】A选项：因为成立，则，则，故A正确；B选项：若，，由不等式同向可加性，得，故B正确；C选项：令,满足，，但，故C不正确；D选项：令，满足，但，故D不正确.故选：AB.20．（多选题）（2023·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）下列说法中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】AB【解析】对于，因为，，所以，故正确；对于，因为，所以，又，所以，故B正确；对于C，因为，所以，又，所以，故C错误；对于D，当时，满足，但，此时，故D错误，故选：AB21．（多选题）（2023·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知实数a，b，c，若，则下列不等式不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】当，时，满足，但，故A错误；当，时，满足，但，故B错误；因，，由不等式性质得，故C正确；当时，不成立，故D错误.故选：ABD.22．（多选题）（2023·江苏·高一专题练习）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AB【解析】对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确；对于B，，因为，所以，故B正确；对于C，当时，故C错误；对于D，当时，，故D错误；故选：AB.考查题型五：利用不等式的性质证明不等式23．（2023·全国·高一专题练习）试比较下列组式子的大小：(1)与，其中；(2)与，其中，；(3)与，．【解析】（1），，因为，所以，即；（2）．因为，，所以，，所以，即；（3）方法一（作差法）．因为，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因为，所以，，，所以，所以．24．（2023·高一课时练习）（1）若，证明：.（2）已知，，，，试证明a，b，c至少有一个不小于1.【解析】（1）要证，只需证，只需证,即，即证.因为，所以，即成立，所以原不等式成立．（2）假设a，b，c均小于1，即，则有，而，这与矛盾，假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.25．（2023·内蒙古通辽·高一校考期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小.（2）已知，，.求证：；【解析】（1）∵，∴，∴．（2），，，又，.26．（2023·全国·高一专题练习）（1）比较与的大小．（2）已知，求证：；【解析】（1），所以.（2）因为，所以，所以，所以，即.27．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，且，证明：．（2）证明：．【解析】证明：（1）由，且，所以，且所以，所以，即；所以，即．（2）要证，只需证，即证；即证，即证；即证，显然成立；所以．28．（2023·福建泉州·高一福建省泉州市培元中学校考阶段练习）（1）证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积；（2）已知，求证：.【解析】（1）设周长为，则圆的面积，正方形面积为，得，即圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积；（2）由得，则，而，故．29．（2023·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）已知为三角形的三边长，求证：(1)；(2).【解析】（1）为三角形的三边长，而，显然，即，当且仅当时取等号，因此，所以.（2）为三角形的三边长，则，于是得：，所以.30．（2023·全国·高一专题练习）若，，，求证：.【解析】证明：因为，所以，又因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得，所以，所以，因为，，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得.又，所以，所以由不等式的同号可乘性可得.考查题型六：利用不等式的性质比较大小31．（2023·浙江台州·高一校联考期中）已知，，判断a，b大小关系.（填“>、=、<”）【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以，故答案为：32．（2023·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）能说明命题“若，则”错误的一组数，，是．【答案】，，（答案不唯一）【解析】因为，若，则，所以只要满足的，，均符合题意，故答案为：，，（答案不唯一）33．（2023·高一单元测试）下列不等式中，不成立的是．（填序号）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，若；⑥若，则；⑦若，，则；⑧若，，则．【答案】①③⑥【解析】对于①,若,则,所以①不成立；对于②，由可知，所以成立，故②成立；对于③，如满足，但，所以③不成立；对于④，因为，所以，即，所以④成立；对于⑤，由可得，所以⑤成立；对于⑥，若，则，所以⑥不成立；对于⑦，因为，所以，且，所以，所以⑦成立；对于⑧，因为，所以，所以，所以⑧成立，故答案为:①③⑥.34．（2023·高一单元测试）若，，则0．（填“”、“”或“”）【答案】【解析】因为,所以,又因为,所以,故答案为:.35．（2023·海南儋州·高一校考期中）如果，，那么(填“”或“”)【答案】【解析】因为，，根据不等式的性质可得，.故答案为：.36．（2023·河南·高一统考期中）给出下列三个论断：①；②；③且.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【答案】若，且，则.【解析】若选择①③作为条件，②作为结论：若，且，则；若选择①②作为条件，③作为结论：若，，则，故，但也可能大小0，故选择①②作为条件，③作为结论的命题不正确；若选择②③作为条件，①作为结论：若，且，则，故，但与大小关系不确定，故选择②③作为条件，①作为结论的命题不正确.故答案为：若，且，则.37．（2023·北京房山·高一统考期中）若a，b同时满足下列两个条件：①；②．请写出一组a，b的值．【答案】或其他任意合理答案【解析】容易发现，若将①式转化为②式，需使即与异号，显然应使，当时，需使，则，可取；当时，需使，则，可取.综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.故答案为：或其他任意合理答案.38．（2023·辽宁沈阳·高一校联考期中）若，，，则，的大小关系是.【答案】【解析】由,有，，则，故,故答案为：.考查题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围39．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D错误，故选：B.40．（2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，，所以．故选：D.41．（2023·全国·高一专题练习）实数、满足，.(1)求实数、的取值范围；(2)求的取值范围．【解析】（1）由，，则，所以，所以，即，因为，由，所以，所以，所以，∴，（2）设，则，解得，∴，∵，．∴，，∴，42．（2023·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）已知，．求和的取值范围．（2）已知，，求的取值范围．【解析】（1）因为，由不等式的性质可得，；，因此，即；，即，所以，.（2）令，，即，则有，解得，而，，于是，，所以，，即，所以.43．（2023·辽宁营口·高一校考阶段练习）（1）已知，求与的取值范围；（2）已知，试求的取值范围【解析】（1）由于，，，即；又，，(2)，，，又，，故.1．（2023·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考期末）若、为实数，则“”是“或”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，若，则，此时有，若，则，此时有，所以，若，则“或”，即“”“或”；若“或”，若，不妨取，，则；若，不妨取，，则.所以，“”“或”.因此，“”是“或”的充分不必要条件.故选：A.2．（2023·陕西安康·高二校联考期末）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（

）A．18 B．20 C．22 D．28【答案】C【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且，于是，则，又，解得，因此，此时，所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）设，则“且”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且，可得,当，时，满足，但不满足且,则“且”是“”的充分不必要条件,故选：A.4．（2023·北京·高三强基计划）若a，b，c为非负实数，且，则的最小值为（

）A．3 B．5 C．7 D．以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有，等号当时可以取得，因此所求最小值为5．故选：B.5．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）对任意给定的实数a、b，有，且等号当且仅当（

）时成立A． B． C． D．【答案】C【解析】由，所以不等式取等号时，或，故选：C6．（2023·陕西西安·高二西安中学校考期中）设，则的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，.又，故.则.故选：C.7．（2023·广西·高二校联考阶段练习）汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案——甲：每次加油的总金额固定；乙：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（

）A．甲方案实惠 B．乙方案实惠C．哪种方案实惠需由两次油价决定 D．两种方案一样实惠【答案】A【解析】设两次加油的油价分别为，且.甲方案：设每次加油总金额为，则平均油价；乙方案：设每次加油量为，则平均油价.则，因为，，且，所以，，，所以，.所以，，甲方案实惠．故选：A.8．（2023·浙江·校考模拟预测）已知实数满足，当取到最小值时，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，当，取到最小值，此时可得．故选：D9．（多选题）（2023·全国·高一课堂例题）已知，且，则下列命题中是真命题的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】CD【解析】取，，，满足选项A，B中的前提条件．对于选项A，