2024届上海市浦东新区数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届上海市浦东新区数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1和B1C所成的角是（）A. B.C. D.2．如图，正方形中,为的中点,若,则的值为()A. B.C. D.3．△ABC的内角、、的对边分别为、、,若,,,则（）A. B.C. D.4．设全集，集合，，则（）A. B.C. D.5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若.则（）A. B.C.2 D.6．下列函数是偶函数且值域为的是（）①；②；③；④A.①② B.②③C.①④ D.③④7．将一个直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为（）A.一个圆台 B.两个圆锥C.一个圆柱 D.一个圆锥8．在下列图象中，函数的图象可能是A. B.C. D.9．郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（）A.125 B.135C.165 D.17010．已知集合，，则等于（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，的图像在区间上恰有三个最低点，则的取值范围为________12．函数的定义域是____________．（用区间表示）13．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.14．已知向量＝(1，2)、＝(2，λ)，，∥，则λ＝______15．已知函数，则__________16．已知集合，若，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数；（1）求的定义域与最小正周期；（2）求在区间上的单调性与最值.18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，.（1）求证：；（2）若为等边三角形，，平面平面，求四棱锥的体积.19．已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数20．已知函数，，将图象向右平移个单位，得到函数的图象.（1）求函数的解析式，并求在上的单调递增区间；（2）若函数，求的周期和最大值.21．已知函数，不等式解集为，设（1）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线DA1所成的角就是异面直线AD1和B1C所成的角，利用正方体的性质即得【题目详解】由正方体的性质可知，，∴四边形为平行四边形，∴DA1∥B1C，∴正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线DA1所成的角就是异面直线AD1和B1C所成的角，∵四边形ADD1A1正方形，∴直线AD1和DA1垂直，∴异面直线AD1和B1C所成的角是90°故选：D2、D【解题分析】因为E是DC的中点，所以，∴，∴，考点：平面向量的几何运算3、C【解题分析】由已知利用余弦定理可求的值,利用等腰三角形的性质可求的值.【题目详解】解：∵,,,∴由余弦定理可得,求得：c＝1.∴∴.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了余弦定理在解三角形中应用,属于基础题.4、B【解题分析】先求出集合B，再根据交集补集定义即可求出.【题目详解】，，，.故选：B.5、A【解题分析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.【题目详解】由得，∴.故选：A.6、C【解题分析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案.【题目详解】对于①，是偶函数，且值域为；对于②，是奇函数，值域为；对于③，是偶函数，值域为；对于④，偶函数，且值域为，所以符合题意的有①④故选：C.7、D【解题分析】依题意可知，这是一个圆锥.8、C【解题分析】根据函数的概念，可作直线从左向右在定义域内移动，得到直线与曲线的交点个数，即可判定.【题目详解】由函数的概念可知，任意一个自变量的值对应的因变量的值是唯一的，可作直线从左向右在定义域内移动，得到直线与曲线的交点个数是0或1，显然A、B、D均不满足函数的概念，只有选项C满足.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了函数概念，以及函数的图象及函数的表示，其中解答中正确理解函数的基本概念是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用.9、D【解题分析】利用公式可求平均数和90%分位数，再求出众数后可得所求的和.【题目详解】这组数据的平均数为，而，故90%分位数，众数为，故三者之和为，故选：D.10、A【解题分析】先解不等式,再由交集的定义求解即可【题目详解】由题,因为,所以,即,所以,故选:A【题目点拨】本题考查集合的交集运算,考查利用指数函数单调性解不等式二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调递区间的应用求出结果【题目详解】解：，，根据正弦型函数图象的特点知，轴左侧有1个或2个最低点①若函数图象在轴左侧仅有1个最低点，则，解得，，，此时在轴左侧至少有2个最低点函数图象在轴左侧仅有1个最低点不符合题意；②若函数图象在轴左侧有2个最低点，则，解得，又，则，故，时，在，恰有3个最低点综上所述，故答案：12、【解题分析】函数定义域为故答案为.13、10【解题分析】根据，可得函数是以2为周期的周期函数，函数在区间内的零点的个数即为函数交点的个数，作出两个函数的图像，结合图像即可得出答案.【题目详解】解：因为，所以，所以函数是以2为周期的周期函数，令，则，在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，如图所示，由图可知函数有10个交点，所以函数在区间内的零点有10个.故答案为：10.14、－2【解题分析】首先由的坐标，利用向量的坐标运算可得，接下来由向量平行的坐标运算可得，求解即可得结果【题目详解】∵，∴，∵∥，，∴，解得，故答案为：－215、3【解题分析】16、0【解题分析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同.,又,故答案为0.点睛：利用元素的性质求参数的方法（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）定义域，；（2）单调递增：，单调递减：，最大值为1，最小值为；【解题分析】(1)简化原函数，结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值.试题解析：；（1）的定义域：，最小正周期；（2），即最大值为1，最小值为，单调递增：，单调递减：，18、（1）详见解析；（2）2【解题分析】（1）根据题意作于，连结，可证得，于是，故，然后根据线面垂直的判定得到平面，于是可得所证结论成立．（2）由（1）及平面平面可得平面，故为四棱锥的高．又由题意可证得四边形为有一个角为的边长为的菱形，求得四边形的面积后可得所求体积【题目详解】（1）作于，连结.∵，，是公共边，∴，∴∵，∴，又平面，平面，，∴平面，又平面，∴（另法：证明,取的中点.）（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面又为等边三角形，，∴.又由题意得，，是公共边，∴，∴，∴平行四边形为有一个角为的边长为的菱形，∴，∴四棱锥的体积【题目点拨】（1）证明空间中的垂直关系时，要注意三种垂直关系间的转化，合理运用三种垂直关系进行求解，以达到求解的目的，同时在证题中要注意平面几何知识的运用（2）立体几何中的计算问题中往往涉及到证明，同时在证明中渗透着计算，计算时要注意中间量的求解，最后再结合面积、体积公式得到所求19、（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析．【解题分析】（1）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，（2）利用函数单调性的定义证明，先取值，再作差变形，判断符号，然后得出结论【题目详解】解：（1）根据题意，函数为偶函数，证明：，其定义域为，有，则是偶函数；（2）证明：设，则，又由，则，必有，故在上是减函数20、（1），增区间是（2）周期为，最大值为.【解题分析】（1）由图象平移写出的解析式，根据余弦函数的性质直接确定单调增区间.（2）应用二倍角正弦公式可得，结合正弦型函数的性质求周期和最大值.【小问1详解】由题设，，而在上递减，上递增，所以的单调增区间是.【小问2详解】由（1）有，所以，最小正周期为，最大值为，此时.综上，周期为，最大值为.21、（1）；（2）【解题分析】（1）由不等式的解集为可知是方程的两个根，即可求出，根据的单调性求出其在的最大值，即可得出m的范围；（2）方程可化为，令，则有两个不同的实