江西省抚州市东乡区第二中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

东乡二中2023年秋季第一次教学质量检测卷（九年级数学）说明：1.范围：第一章~第二章第4节。2.满分：120分，时间：120分钟。一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.如果一个四边形的两条对角线互相平分且垂直，那么这个四边形是（）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形2.在中，点D为的中点，点E在上，且.若，，则的长为（）A.10 B.11 C.12 D.133.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A. B. C. D.4.如图，在矩形中，，相交于点O，平分交于点E，若，，则的长为（）A. B.9 C. D.125.用配方法解方程时，可以将方程化为（）A. B.C. D.6.若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（）A.20 B.24 C.28 D.20或28二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.关于x的一元二次方程有一根为0，则______.8.如图，在正方形中，对角线、相交于点O，的平分线交于点E，过点E作交于点，则的度数为______.9.已知a，b是关于x的方程的两根，那么的值为______.10.关于x的一元二次方程有两个相等的实数解，则______.11.如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接.若，，则的最小值是______.12.如图，点E在正方形的对角线上，，若点F在正方形的边上，且，则的度数为______.三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.解方程：（1）（用配方法解）；（2）（用公式法解）.14.已知关于x的一元二次方程有两个实数根.（1）求k的取值范围；（2）若方程有一根为1，求方程的另一根.15.如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，.（1）求证：四边形是矩形；（2）若平分，，，求四边形的面积.16.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上.（1）在方格纸中画出以为一边的菱形，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形的面积为3；（2）在方格纸中画出以为一边的等腰，点G在小正方形的顶点上，连接，使.17.已知关于x的方程，试问：（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程?（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程?四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.下面是李阳同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务..解：二次项系数化为1，得，第一步移项，得，第二步配方，得，第三步变形，得，第四步开方，得，第五步解得，，第六步（1）上面李阳同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；（2）上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程.19.如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E.（1）求证：四边形是矩形.（2）若，，求菱形的面积.20.如图，点P为正方形的对角线上的任意一点，于点E，于点F.（1）求证：；（2）若正方形的边长为3，.求的长.五、（本大题共2小题，每小题9分、共18分）21.如图，在矩形中，点C、A分别在x轴、y轴正半轴上，点B在第一象限，将矩形纸片折叠，使点B与点O重合，点C落在点G处，折痕为.（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）若，，求点G的坐标.22.材料阅读：若x满足，求的值.解：令，，可得且，则.根据上述材料：（1）若x满足，求的值；（2）若x满足，求的值；（3）如图，已知正方形，，，长方形的面积为45，求正方形的面积与正方形的面积差.六、（本大题共12分）23.如图1，在矩形中，点E为的中点，将沿折叠得到，点C的对应点是点F，连接，.图1图2图3（1）求证：；（2）如图2，过点F作，交于点H，连接，求证：四边形是菱形；（3）如图3，若，求证：点A，E，F在同一条直线上.2023-2024学年度九年级阶段性练习北师大版•数学参考答案（一）1.【答案】B【解析】∵一个四边形的两条对角线互相平分且垂直，∴这个四边形是菱形.故选：B.2.【答案】C【解析】∵，∴，∵，点D为的中点，∴，∵，由勾股定理得，.故选：C.3.【答案】B【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴.故选：B.4.【答案】B【解析】∵在矩形中，平分，∴，，，∴，∴，∴.∵，，∴，又∵，∴为等边三角形，∴，∴.故选：B.5.【答案】A【解析】移项，得，二次项系数化为1，得，配方，得，整理，得.故选：A.6.【答案】C【解析】如图所示：∵四边形是菱形，∴，∵，因式分解，得0，解得或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，能构成三角形.∴菱形的周长.故选：C.7.【答案】【解析】∵关于x的一元二次方程有一根为0，∴，解得，∵是一元二次方程，∴，即，∴.8.【答案】22.5°【解析】∵四边形是正方形，∴，∵平分，∴，∵，∴.9.【答案】【解析】将方程因式分解，得，解得，，∴，∴.10.【答案】【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数解，∴，∴.11.【答案】【解析】连接，如图，∵四边形是菱形，∴，∵G，H分别为，的中点，∴是的中位线，∴，当时，则，最小，得到最小值，∵，∴是等腰直角三角形，∴，即，∴，∴.12.【答案】60°或90°或150°【解析】①如图1，当点F在上时，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴；②如图2，当点F在上时，连接，∵四边形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，在四边形中，，∴；③如图3，当点F和点C重合时，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴.综上，的度数为60°或90°或150°.图1图2图313.解：（1）∵，∴，∴，∴，或，∴，；（3分），（2）∵，∴，.（6分）14.解：（1）∵方程有两个实数根，∴，即，∴；（3分）（2）∵方程有一根为1，把代入方程中得，，解得，∴一元二次方程为，解该方程得，，∴方程的另一根为3.（6分）15.解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，又∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形；（3分）（2）∵平分，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴.（6分）16.解：（1）如图所示，菱形即为所求；（3分）（2）如图所示，即为所求.（6分）17.解：（1）由题意得，分3种情况：①，解得，该方程是一元一次方程；②，解得；该方程是一元一次方程；③，解得，该方程是一元一次方程；故或时，该方程是关于x的一元一次方程；（3分）（2）由题意得，且，解得，都满足，∴时，该方程是关于x的一元二次方程.（6分）18.解：（1）解法中运用“而方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；（4分）（2）从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下：，，，，解得，.（8分）19.解：（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形，∴，∴，∴平行四边形是矩形；（4分）（2）∵四边形是矩形，∴，，∵四边形是菱形，∴，，∴.（8分）20.解：（1）证明：如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，∴；（4分）（2）在中，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴.（8分）21.解：（1）证明：由折叠可得，，∵，∴，∴，∴.（3分）（2）∵，，∴，由（1）可得，，∴，∴的度数是55°.（6分）（3）设，则，根据折叠可得，，在中，，∴，解得，则，，如图所示，过点G作轴于点H.∵，∴，在中，，∴点G的坐标为.（9分）22.解：（1）设，，可得，且，则.（3分）（2）设，，可得且，则.（6分）（3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，又∵四边形是正方形，，；∴，∵正方形的面积与正方形的面积应，又∵，∴（a、b均大于0，舍去），∴.（9分）23.解：