湖南省长沙市开福区长沙一中2024届数学高一上期末统考试题含解析

湖南省长沙市开福区长沙一中2024届数学高一上期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为约米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（）A. B.C. D.2．已知为钝角，且，则（）A. B.C. D.3．命题“∃x＞0，x2＝x﹣1”的否定是（）A.∃x＞0，x2≠x﹣1 B.∀x≤0，x2＝x﹣1C.∃x≤0，x2＝x﹣1 D.∀x＞0，x2≠x﹣14．设函数,则下列结论错误的是A.函数的值域为 B.函数是奇函数C.是偶函数 D.在定义域上是单调函数5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.6．已知，则下列说法正确的是（）A.有最大值0 B.有最小值为0C.有最大值为－4 D.有最小值为－47．已知，则的最大值为（）A. B.C.0 D.28．已知角的终边过点，则等于（）A.2 B.C. D.9．已知，，，则下列判断正确是（）A. B.C. D.10．若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，，，则面积的最大值为___________.12．某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.13．写出一个值域为，在区间上单调递增的函数______14．已知正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，高为，则球的表面积为________15．如果二次函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为________16．已知，且.（1）求的值；（2）求的值.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知（1）利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形；（2）判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式18．设全集为R，集合，（1）求；（2）求19．已知，求的值.20．已知二次函数，关于x的不等式<0的解集为（1）求实数m、n的值；（2）当时，解关于x的不等式；（3）当是否存在实数a，使得对任意时，关于x的函数有最小值-5.若存在，求实数a值；若不存在，请说明理由21．已知tanα<0，（1）若求的值;（2）若求tanα的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】直接由弧长半径圆心角的公式求解即可.【题目详解】根据条件得：扇形半径为10，弧长为6，所以圆心角为：.故选：A.2、C【解题分析】先求出，再利用和角的余弦公式计算求解.【题目详解】∵为钝角，且，∴，∴故选：C【题目点拨】本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、D【解题分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确结论.【题目详解】因为特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以：命题“∃x＞0，x2＝x﹣1”的否定是：∀x＞0，x2≠x﹣1故选：D【题目点拨】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.4、D【解题分析】根据分段函数的解析式研究函数的单调性，奇偶性，值域，可得结果.【题目详解】当时，为增函数，所以，当时，为增函数，所以，所以的值域为，所以选项是正确的；又，，所以在定义域上不是单调函数，故选项是错误的；因为当时，，所以，当时，，所以，所以在定义域内恒成立，所以为奇函数，故选项是正确的；因为恒成立，所以函数为偶函数，故选项是正确的.故选：D【题目点拨】本题考查了分段函数的单调性性，奇偶性和值域，属于基础题.5、D【解题分析】借助正方体模型还原几何体，进而求解表面积即可.【题目详解】解：如图，在边长为的正方体模型中，将三视图还原成直观图为三棱锥，其中，均为直角三角形，为等边三角形，，所以该几何体的表面积为故选：D6、B【解题分析】由均值不等式可得，分析即得解【题目详解】由题意，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立故，有最小值0故选：B7、C【解题分析】把所求代数式变形，转化成，再对其中部分以基本不等式求最值即可解决.【题目详解】时，（当且仅当时等号成立）则，即的最大值为0.故选：C8、B【解题分析】由正切函数的定义计算【题目详解】由题意故选：B9、C【解题分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【题目详解】，即.故选：C.10、C【解题分析】根据二次函数的对称轴在区间的左边，即可得到答案；【题目详解】由题意得：，故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】利用诱导公式，两角和与差余弦公式、同角间的三角函数关系得，得均为锐角，设边上的高为，由表示出，利用基本不等式求得的最大值，即可得三角形面积最大值【题目详解】中，，所以，整理得，即，所以均为锐角，作于，如图，记，则，，所以，，当且仅当即时等号成立．所以，的最大值为故答案为：12、①.448②.600【解题分析】销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较．【题目详解】由题意可得（元），即第14天该商品的销售收入为448元.销售收入，，即，.当时，，故当时，y取最大值，，当时，易知，故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.故答案为：448；600.【题目点拨】本题考查分段函数模型的应用．根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法．13、【解题分析】综合考虑值域与单调性即可写出满足题意的函数解析式.【题目详解】，理由如下：为上的减函数，且，为上的增函数，且，，故答案为：14、【解题分析】首先判断正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心连线的中点，然后构造直角三角形求半径，代入公式求解.【题目详解】如图：设和分别是上下底面等边三角形的中心，由题意可知连线的中点就是三棱柱外接球的球心，连接，是等边三角形，且，，，球的表面积.故答案为：【题目点拨】本题考查求几何体外接球的表面积的问题，意在考查空间想象能力和转化与化归和计算能力，属于基础题型.15、【解题分析】函数对称轴为，则由题意可得，解出不等式即可.【题目详解】∵函数的对称轴为且在区间上是增函数，∴，即.【题目点拨】已知函数在某个区间上的单调性，则这个区间是这个函数对应单调区间的子集.16、（1）（2）【解题分析】(1)根据，之间的关系，平方后求值即可；（2）利用诱导公式化简后，再根据同角三角函数间关系求解.【小问1详解】∵∴，.【小问2详解】由,可得或（舍），原式,∴原式.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）为单调递减函数，不等式的解集见解析.【解题分析】（1）利用已知条件令，求出的解析式，利用奇函数的定义判断为奇函数，即可得证；（2）由（1）得，原不等式变成，利用函数单调性化为含有参数的一元二次不等式，求解即可.【小问1详解】证明：∵，令，∴，即，又∵，∴为奇函数，有题意可知，的图象关于成中心对称图形；【小问2详解】易知函数为单调递增函数，且对于恒成立,则函数在上为单调递减函数，由（1）知，的图象关于成中心对称图形，即，不等式得：，即，则，整理得，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18、（1）；（2）或.【解题分析】(1)根据给定条件利用交集的定义直接计算即可作答.(2)利用并集的定义求出，再借助补集的定义直接求解作答.【小问1详解】因为，，所以.【小问2详解】因为，，则，而全集为R，所以或.19、【解题分析】先根据条件求出，再将目标式转化为用表示，然后代入的值即可.详解】由已知，所以由得20、（1）；（2）答案见解析；（3）存在，.【解题分析】（1）利用给定条件结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算作答.（2）分类讨论求解一元二次不等式即可作答.（3）换元，借助二次函数在闭区间上最值，计算判断作答.【小问1详解】依题意，不等式的解集是，因此，是关于x的一元二次方程的二根，且，于得，解得，所以实数m、n的值是：.【小问2详解】当时，由（1）知：，当时，，解得：或，当时，解得，当时，不等式化：，解得：，所以，当时，原不等式的解集是，当时，原不等式的解集是，当时，原不等式的解集是.【小问3详解】假设存在实数满足条件，由（1）知，，，因，则设，函数化为：，显然，于是得在上单调递减，当时，，由解得：或（舍去），又，所以存在实数满足条件，.【题