2024届北京市北京四中数学高一上期末质量检测试题含解析

2024届北京市北京四中数学高一上期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（）A. B.C. D.2．函数的部分图象大致是A. B.C. D.3．已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（）A. B.C. D.4．设，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.5．函数图像大致为（）A. B.C. D.6．已知向量，若，则（）A.1或4 B.1或C.或4 D.或7．若指数函数，则有（）A.或 B.C. D.且8．已知函数是R上的偶函数.若对于都有，且当时，，则的值为（）A.﹣2 B.﹣1C.1 D.29．已知，，则的值为A. B.C. D.10．函数的图像必经过点A.（0,2） B.（4,3）C.（4,2） D.（2,3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在空间直角坐标系中，点和之间的距离为____________.12．已知，若，使得，若的最大值为，最小值为，则__________13．已知，，，则有最大值为__________14．已知奇函数在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为___________.15．当时，，则a的取值范围是________.16．已知角终边经过点，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知全集，集合，集合.（1）若，求；（2）若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围.18．已知（1）求函数的单调递增区间与对称轴方程；（2）当时，求的最大值与最小值19．已知函数，.（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值及相应的的值.20．如图，在四棱锥中，，，，且，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若二面角的大小为，求四棱锥的体积.21．已知角的终边有一点.（1）求的值；（2）求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】构造函数并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.【题目详解】，令，在上单调递增，并且图象连续，，，在区间内有零点，所以可以取的一个区间是.故选：B2、B【解题分析】判断f（x）的奇偶性，在（，π）上的单调性，再通过f（）的值判断详解：f（﹣x）==﹣f（x），∴f（x）是奇函数，f（x）的图象关于原点对称，排除C；，排除A，当x＞0时，f（x）=，f′（x）=，∴当x∈（，π）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（，π）上单调递增，排除D，故选B点睛：点睛：本题考查函数图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.3、B【解题分析】根据直观图画出原图，可得原图形为直角梯形，计算该直角梯形的面积即可.【题目详解】过点作，垂足为则由已知可得四边形为矩形，为等腰直角三角形，根据直观图画出原图如下：可得原图形为直角梯形，，且，可得原四边形的面积为故选：B.4、D【解题分析】根据指数函数的性质求得，，根据对数函数的性质求得，即可得到答案.【题目详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，由对数函数的性质，知，即所以.故选：D5、B【解题分析】先求出函数的定义域，判断出函数为奇函数，排除选项D，由当时，，排除A，C选项，得出答案.【题目详解】解析：定义域为，，所以为奇函数，可排除D选项，当时，，，由此，排除A，C选项，故选：B6、B【解题分析】根据向量的坐标表示，以及向量垂直的条件列出方程，即可求解.【题目详解】由题意，向量，可得，因为，则，解得或.故选：B.7、C【解题分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【题目详解】因为是指数函数，所以，解得.故选：C8、C【解题分析】根据题意求得函数的周期，结合函数性质，得到，在代入解析式求值，即可求解.【题目详解】因为为上的偶函数，所以，又因为对于，都有，所以函数的周期，且当时，，所以故选：C.9、A【解题分析】根据角的范围可知，；利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果.【题目详解】由可知：，由得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查同角三角函数值的求解，关键是能够熟练掌握同角三角函数的平方关系和商数关系，易错点是忽略角的范围造成函数值符号错误.10、B【解题分析】根据指数型函数的性质，即可确定其定点.【题目详解】令得，所以，因此函数过点（4,3）.故选B【题目点拨】本题主要考查函数恒过定点的问题，熟记指数函数的性质即可，属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】利用空间两点间的距离公式求解.【题目详解】由空间直角坐标系中两点间距离公式可得.故答案为：12、【解题分析】作出函数的图像，计算函数的对称轴，设，数形结合判断得时，取最小值，时，取最大值，再代入解析式从而求解出另外两个值，从而得和，即可求解.【题目详解】作出函数的图像如图所示，令，则函数的对称轴为，由图可知函数关于，，对称，设，则当时，取最小值，此时，可得，故；当时，取最大值，此时，可得，故，所以.故答案为：【题目点拨】解答该题的关键是利用数形结合，利用三角函数的对称性与周期性判断何时取得最大值与最小值，再代入计算.13、4【解题分析】分析：直接利用基本不等式求xy的最大值.详解：因为x+y=4,所以4≥，所以故答案为4.点睛：（1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.14、【解题分析】根据奇函数的性质得，再根据对数函数性质得，进而结合函数单调性比较大小即可.【题目详解】解：因为函数为奇函数，所以，由于函数在单调递增，所以，由于，所以因为函数在上是增函数，所以，即故答案为：15、【解题分析】分类讨论解一元二次不等式，然后确定参数范围【题目详解】，若，则或，此时时，不等式成立，若，则或，要满足题意，则，即综上，故答案为：16、【解题分析】根据正切函数定义计算【题目详解】由题意故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）求出集合，利用补集和交集的定义可求得；（2）分析可知且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，，则或，，因此，.【小问2详解】解：因为“”是“”必要不充分条件，于是得且，所以，，解得.所以实数的取值范围是.18、（1）单调递增区间为，k∈Z．对称轴方程为，其中k∈Z（2）f（x）的最大值为2，最小值为–1【解题分析】（1）因为，由，求得，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z由，求得，k∈Z故f（x）的对称轴方程为，其中k∈Z（2）因为，所以，故有，故当即x=0时，f（x）的最小值为–1，当即时，f（x）的最大值为219、（1）；；（2）；.【解题分析】（1）利用余弦函数的周期公式计算可得最小正周期，借助余弦函数单调增区间列出不等式求解作答.（2）求出函数的相位范围，再利用余弦函数性质求出最小值作答.【小问1详解】函数中，由得的最小正周期，由，解得，即函数在上单调递增，所以的最小正周期是，单调递增区间是.【小问2详解】当时，，则当，即时，，所以函数的最小值为，此时.20、(1)见解析(2)见解析（3）【解题分析】（1）取的中点，根据题意易证四边形为平行四边形，所以，从而易证结论；（2）由，可得线面垂直；（3）由二面角的大小为，可得，求出底面直角梯形的面积，进而可得四棱锥的体积.试题解析：（1）取的中点，连接，∵为中点，∴，由已知，∴，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.（2）连接，∵，∴，又，∴又，为中点，∴，∴，∵，∴平面.（3）取的中点，连接.∴，，∵，∴，又，为的中点，∴，故为二面角的平面角.∴，∵平面，∴，由已知，四边形为直角梯形，∴，∴.点睛：垂直、平行