湖南省雅礼洋湖中学2024届高一数学第一学期期末考试模拟试题含解析

湖南省雅礼洋湖中学2024届高一数学第一学期期末考试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知全集，则（）A. B.C. D.2．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图像大致形状是（）A. B.C. D.3．已知函数则其在区间上的大致图象是（）A. B.C. D.4．要得到函数y=sin(2x+)的图像,只需把函数y=sin2x的图像A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位5．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则A. B.C. D.6．已知函数，若存在互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.7．方程的所有实数根组成的集合为（）A. B.C. D.8．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则A. B.C. D.9．已知集合，则=A. B.C. D.10．已知角的终边过点，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，若在上是增函数，且直线与的图象在上恰有一个交点，则的取值范围是________.12．若且，则取值范围是___________13．定义在上的函数则的值为______14．已知，，且，则的最小值为________.15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是_______16．等比数列中，，则___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知（1）若函数f(x)的图象过点（1，1），求不等式f(x)＜1的解集；（2）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围18．已知.（1）若，且，求的值.（2）若，求的值.19．已知函数（1）求的解析式，并证明为R上的增函数；（2）当时，且的图象关于点对称．若，对，使得成立，求实数的取值范围20．设函数（1）若，求的值（2）求函数在R上的最小值；（3）若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围21．已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值，并求函数的值域；（2）判断函数的单调性（不需要说明理由），并解关于的不等式.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据补集的定义计算可得；【题目详解】解：因为，所以；故选：C2、A【解题分析】先求出时，的面积y的解析式，再根据二次函数的图象分析判断得解.详解】由题得时，，所以的面积y，它图象是抛物线的一部分，且含有对称轴.故选：A【题目点拨】本题主要考查函数的解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、D【解题分析】为奇函数，去掉A,B；当时,所以选D.点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系4、B【解题分析】将目标函数变为，由此求得如何将变为目标函数.【题目详解】依题意，目标函数可转化为，故只需将向左平移个单位，故选B.【题目点拨】本小题主要考查三角函数图像变换中的平移变换，属于基础题.5、C【解题分析】根据题意即可算出每个直角三角形面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出【题目详解】由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有，所以，所以，选C.【题目点拨】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题6、D【解题分析】作出函数的图象，根据题意，得到，结合图象求出的范围，即可得出结果.【题目详解】假设，作出的图象如下；由，所以，则令，所以，由，所以，所以，故.故选：D.【题目点拨】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.7、C【解题分析】首先求出方程的解，再根据集合的表示方法判断即可；【题目详解】解：由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C8、A【解题分析】由三角函数定义得tan再利用同角三角函数基本关系求解即可【题目详解】由三角函数定义得tan，即,得3cos解得或（舍去）故选A【题目点拨】本题考查三角函数定义及同角三角函数基本关系式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题9、B【解题分析】由题意，所以．故选B考点：集合的运算10、A【解题分析】根据三角函数的定义计算可得；【题目详解】解：因为角终边过点，所以；故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由正弦函数的单调性以及图象的分析得出的取值范围.【题目详解】因为在上是增函数，所以，解得因为直线与的图象在上恰有一个交点，所以，解得，综上.故答案为：12、或【解题分析】分类讨论解对数不等式即可.【题目详解】因为，所以，当时，可得，当时，可得.所以或故答案为：或13、【解题分析】∵定义在上的函数∴故答案为点睛：：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围14、12【解题分析】，展开后利用基本不等式可求【题目详解】∵，，且，∴，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为12故答案为：1215、【解题分析】设圆锥的母线为，底面半径为则因此圆锥的高是考点：圆锥的侧面展开图16、【解题分析】等比数列中，由可得．等比数列，构成以为首项，为公比的等比数列，所以【题目点拨】若数列为等比数列，则构成等比数列三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（－1，1）（2）a≥0或【解题分析】（1）将点（1，1）代入函数解析式中可求出的值，然后根据对数函数的单调性解不等式即可，（2）将问题转化为只有一解，再转化为关于x的方程ax2＋x＝1只有一个正根，然后分和分析求解【小问1详解】∵函数的图象过点（1，1），，解得此时由f(x)＜1，得，解得故f(x)＜1的解集为（－1，1）【小问2详解】∵函数只有一个零点，只有一解，将代入ax＋1＞0，得x＞0，∴关于x的方程ax2＋x＝1只有一个正根当a＝0时，x＝1，满足题意；当a≠0时，若ax2＋x－1＝0有两个相等的实数根，由，解得，此时x＝2，满足题意；若方程ax2＋x－1＝0有两个相异实数根，则两根之和与积均为，所以方程两根只能异号，所以，a＞0，此时方程有一个正根，满足题意综上，a≥0或18、（1）或（2）【解题分析】（1）诱导公式化简可得，结合，求解即可；（2）代入，结合诱导公式化简可得，即，利用二倍角公式化简可得，代入即得解【小问1详解】由题意，若，则或【小问2详解】若，则即，即故19、（1）；证明见解析.（2）【解题分析】（1）由求出后可得的解析式，按照增函数的定义证明即可；（2）求出函数在上的值域为，求出在上的最值，根据的最值都属于列式可求出结果.【小问1详解】依题意可得，解得，所以.证明：任取，且，则，因为，，所以，所以为R上的增函数.【小问2详解】依题意，即，当时，为增函数，，，所以在上的值域为，因为在上的最值只可能在或或处取得，所以在上的最值只可能在或或处取得，所以在上的最值只可能是或或，因为的图像关于点对称，所以在上的最值只可能是或或，所以在上的最值只可能是或或或或，若，对，使得成立，则的最值都属于，所以，即，所以，所以，又，所以.【题目点拨】关键点点睛：（2）中，求出在上的最值，根据题意转化为的最值都属于是解题关键.20、（1）（2）（3）【解题分析】（1）利用求得，由此求得.（2）利用换元法，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案.（3）利用换元法，结合二次函数零点分布等知识来求得的取值范围.【小问1详解】因，所以即此时，由【小问2详解】令，，则，对称轴为①，即，②，即，③，即，综上可知，.【小问3详解】令，由题意可知，当时，有两个不等实数解，所以原题可转化为在内有两个不等实数根所以有21、（1），