江西省南丰一中2024届高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

江西省南丰一中2024届高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则的值为（）A B.1C. D.2．已知则当最小时的值时A.﹣3 B.3C.﹣1 D.13．设，满足约束条件，且目标函数仅在点处取得最大值，则原点到直线的距离的取值范围是（）A. B.C. D.4．设集合，则（）A. B.C. D.5．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边上有一点，，则()A. B.C. D.6．若正数x，y满足，则的最小值为（）A.4 B.C.8 D.97．用b，表示a，b，c三个数中的最小值设函数，则函数的最大值为A.4 B.5C.6 D.78．设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（）A.20 B.15C.9 D.69．已知函数，若，，，则实数、、的大小关系为（）A. B.C. D.10．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知为偶函数，当时，，当时，，则不等式的解集为__________12．函数中角的终边经过点，若时，的最小值为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间.13．函数在一个周期内图象如图所示，此函数的解析式为___________.14．已知是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为___________.15．若直线：与直线：互相垂直，则实数的值为__________16．已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数，现有以下几种说法：①；②若今天值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时(注：)则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.18．已知函数，，图象上相邻两个最低点的距离为（1）若函数有一个零点为，求的值；（2）若存在，使得（a）（b）（c）成立，求的取值范围19．已知的图象上相邻两对称轴的距离为.（1）若，求的递增区间；（2）若时，若的最大值与最小值之和为5，求的值.20．如图，在三棱柱中，平面，，在线段上，，.（1）求证：；（2）试探究：在上是否存在点，满足平面，若存在，请指出点的位置，并给出证明；若不存在，说明理由.21．已知（1）求；（2）若，且，求

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】知切求弦，利用商的关系，即可得解.【题目详解】，故选：A2、B【解题分析】由题目已知可得：当时，的值最小故选3、B【解题分析】作出可行域，由目标函数仅在点取最大值，分，，三种情况分类讨论，能求出实数的取值范围．然后求解到直线的距离的表达式，求解最值即可详解】解：由约束条件作出可行域，如右图可行域，目标函数仅在点取最大值，当时，仅在上取最大值，不成立；当时，目标函数的斜率，目标函数在取不到最大值当时，目标函数的斜率，小于直线的斜率，综上，原点到直线的距离则原点到直线的距离的取值范围是：故选B【题目点拨】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意线性规划知识的合理运用.4、D【解题分析】根据绝对值不等式的解法和二次函数的性质，分别求得集合，即可求解.【题目详解】由，解得，即，即，又由，即，所以.故选：D.5、B【解题分析】由三角函数定义列式，计算，再由所给条件判断得解.【题目详解】由题意知，故，又，∴.故选：B6、C【解题分析】由已知可得，然后利用基本不等式可求得结果【题目详解】解：因为正数x，y满足，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故选：C【题目点拨】此题考查基本不等式应用，利用了“1”的代换，属于基础题7、B【解题分析】在同一坐标系内画出三个函数，，的图象，以此确定出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值【题目详解】如图所示：则的最大值为与交点的纵坐标，由，得即当时，故选B【题目点拨】本题考查了函数的概念、图象、最值问题利用了数形结合的方法关键是通过题意得出的简图8、C【解题分析】根据图形得出,,,结合向量的数量积求解即可.【题目详解】因为四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,根据图形可得:,,,,,,，，故选C.本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.考点：向量运算.9、D【解题分析】根据条件判断函数是偶函数，且当时是增函数，结合函数单调性进行比较即可【题目详解】函数为偶函数，当时，为增函数，，，，则（1），即，则，故选：10、D【解题分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【题目详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，又因为，所以，，整理可得，因为且，解得.故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】求出不等式在的解，然后根据偶函数的性质可得出不等式在上的解集.【题目详解】当时，令，可得，解得，此时；当时，令，解得，此时.所以，不等式在的解为.由于函数为偶函数，因此，不等式的解集为.故答案为：.【题目点拨】本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中等题.12、（1）（2），【解题分析】（1）根据角的终边经过点求，再由题意得周期求即可；（2）根据正弦函数的单调性求单调区间即可.【小问1详解】因为角的终边经过点，所以，若时，的最小值为可知，∴【小问2详解】令，解得故单调递增区间为：，13、【解题分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式【题目详解】由图象可知，，，由，三角函数的解析式是函数的图象过,，把点的坐标代入三角函数的解析式，，，又，，三角函数的解析式是.故答案为：.14、【解题分析】根据题意求出函数的单调区间及所过的定点，进而解出不等式.【题目详解】因为是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，，所以函数在上为减函数，.所以且在上为增函数，，在上为减函数，.所以的解集为：.故答案为：.15、-2【解题分析】由于两条直线垂直，故.16、③【解题分析】对于①通过取特殊值即可排除，对于②③直接带入计算即可.【题目详解】当nA＝1时，PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；B菌的个数为nB＝5×104，∴，∴.又∵，∴故选③三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解题分析】（1）函数是偶函数,所以得出值检验即可；（2），因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：因为是上偶函数，所以，即解得，此时，则是偶函数，满足题意，所以.【小问2详解】解：因为，所以因为时，存在零点，即关于的方程有解，令，则因为，所以，所以，所以，实数的取值范围是.【小问3详解】因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以令，得…（*），记，①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；②当时，因为，所以只需，解得，方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意，综上，的取值范围是.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）化简函数解析式，根据周期计算，根据零点计算；（2）求出在，上的最值，解不等式得出的范围【题目详解】（1），的图象上相邻两个最低点的距离为，的最小正周期为：，故是的一个零点，，，（2），若，，则，，，故在，上的最大值为，最小值为，若存，使得（a）（b）（c）成立，则，【题目点拨】关键点点睛：本题第二问属于存在，使不等式成立，即转化为，转化为三角函数求最值.19、(1)增区间是[kπ－,kπ＋],k∈Z(2)【解题分析】首先根据已知条件，求出周期，进而求出的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间，，即可求出的递增区间由确定出的函数解析式，根据的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到的值解析：已知由，则T＝π＝，∴w＝2∴（1）令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ则－＋kπ≤x≤＋kπ故f(x)的增区间是[kπ－,kπ＋],k∈Z（2）当x∈[0,]时，≤2x＋≤∴sin(2x＋)∈[－,1]∴∴点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间的最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题20、(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解题分析】（1）因为面，所以，结合就有面，从而.（2）取，在平面内过作交于，连结.可以证明四边形为平行四边形，从而，也就是平面.我们还可以在平面内过作，交于，连结.通过证明平面平面得到平面.【题目详解】解析：（1）∵面，面，∴.又∵，，面，，∴面，又面，∴.（2）（法一）当时，平面.理由如下：在平面内过作交于，连结.∵，∴，又，且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，又面，面，∴平面.（法二）当时，平面.理由如下：在平面内过作，交于，连结.∵，面，面