江西省吉安市安福中学2024届高一数学第一学期期末联考试题含解析

江西省吉安市安福中学2024届高一数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A. B.C. D.2．已知，都为单位向量，且，夹角的余弦值是，则A. B.C. D.3．已知集合，则（）A. B.C. D.4．函数的图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为A. B.C. D.5．已知角α的终边经过点，则等于（）A. B.C. D.6．已知平面直角坐标系中，点，，，、、，，是线段AB的九等分点，则（）A.45 B.50C.90 D.1007．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，动点满足，则动点轨迹与圆位置关系是（）A.外离 B.外切C.相交 D.内切8．函数与（且）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.9．下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（）A.与 B.与C.与 D.与10．对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________12．如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.13．已知为第二象限角，且，则_____14．已知函数，若关于方程恰好有6个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________.15．函数的最大值是__________16．若，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，（1）试比较与的大小关系，并给出证明；（2）解方程：；（3）求函数，（是实数）的最小值18．已知数列的前n项和为（1）求；（2）若，求数列的前项的和19．已知函数，只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③最小值为（1）请写出这两个条件的序号，求的解析式；（2）求关于的不等式的解集.20．已知.（1）若，且，求的值.（2）若，求的值.21．已知函数（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】得到的偶函数解析式为，显然【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.2、D【解题分析】利用，结合数量积的定义可求得的平方的值，再开方即可【题目详解】依题意，，故选D【题目点拨】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.3、C【解题分析】根据并集的定义计算【题目详解】由题意故选：C4、D【解题分析】函数的图像的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，所得图像的解析式为，再向右平移3个单位长度，所得图像的解析式为，选D.5、D【解题分析】由任意角三角函数的定义可得结果.【题目详解】依题意得.故选：D.6、B【解题分析】利用向量的加法以及数乘运算可得，再由向量模的坐标表示即可求解.【题目详解】，∴故选：B.7、C【解题分析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解.，详解】设，由，得，整理得，表示圆心为，半径为的圆，圆的圆心为为圆心，为半径的圆两圆的圆心距为，满足，所以两个圆相交.故选：C.8、B【解题分析】分析一次函数的单调性，可判断AD选项，然后由指数函数的单调性求得的范围，结合直线与轴的交点与点的位置关系可得出合适的选项.【题目详解】因为一次函数为直线，且函数单调递增，排除AD选项.对于B选项，指数函数单调递减，则，可得，此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的上方，合乎题意；对于C选项，指数函数单调递减，则，可得，此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的下方，不合乎题意.故选：B.9、D【解题分析】由终边相同的角的性质逐项判断即可得解.【题目详解】对于A，因为，所以与终边相同；对于B，因为，所以与终边相同；对于C，因为，所以与终边相同；对于D，若，解得，所以与终边不同.故选：D.10、C【解题分析】先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解.【题目详解】解：，即，即又当且仅当“”，即“”时等号成立，即，故.故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据题意，只要即可，再根据基本不等式中的“”的妙用，求得，解不等式即可得解.【题目详解】根据题意先求得最小值，由，得，所以若要不等式恒成立，只要，即，解得，所以.故答案为：12、【解题分析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.【题目详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.故答案为：13、【解题分析】根据同角三角函数关系结合诱导公式计算得到答案.【题目详解】为第二象限角，且，故，.故答案为：.14、【解题分析】作出函数的简图，换元，结合函数图象可知原方程有6根可化为在区间上有两个不等的实根，列出不等式组求解即可.【题目详解】当，结合“双勾”函数性质可画出函数的简图，如下图，令，则由已知条件知，方程在区间上有两个不等的实根，则，即实数的取值范围为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了分段函数的图象，二次方程根的分布，换元法，数形结合，属于难题.15、【解题分析】由题意得，令，则，且故，，所以当时，函数取得最大值，且，即函数的最大值为答案：点睛：（1）对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，当其中一个式子的值知道时，其余二式的值可求，转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα（2）求形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的函数的最值（或值域）时，可先设t＝sinx±cosx，转化为关于t的二次函数求最值（或值域）16、1【解题分析】由已知结合两角和的正切求解【题目详解】由，可知tan（α+β）＝1，得，即tanα+tanβ＝，∴故答案为1【题目点拨】本题考查两角和的正切公式的应用，是基础的计算题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或．（3）【解题分析】（1）与作差，配方后即可得；（2）原方程化为，设，可得，进而可得结果；（3）令，则，函数可化为，利用二次函数的性质分情况讨论，分别求出两段函数的最小值，比较大小后可得各种情况下函数，（是实数）的最小值.试题解析：（1）因为，所以（2）由，得，令，则，故原方程可化为，解得，或（舍去），则，即，解得或，所以或（3）令，则，函数可化为①若，当时，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，故，②若，当，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，故，③若，当时，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，故，；④若，当时，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，则时，，时，，故，⑤若，当时，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，因为时，，故，综述：【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质分段函数的解析式和性质、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）由条件求得数列是等差数列，由首项和公差求得.（2）由（1）求得通项，代入求得，分组求和求得.【题目详解】解：（1）因为，所以是公差为2，首项为2的等差数列所以（2）由（1）可知，因为，所以，所以19、（1）（2）答案见解析【解题分析】（1）若选①②，则的解集不可能为；若选②③，，开口向下，则无最小值．只能是选①③，由函数的解集为可知，-1，3是方程的根，则，又由的最小值可知且在对称轴上取得最小值，从而解出；（2）由，即，然后对分类求解得答案；【小问1详解】选①②，则，开口向下，所以的解集不可能为；选①③，函数的解集为，，3是方程的根，所以的对称轴为，则，所以，又的最小值为，（1），解得，，所以则；选②③，，开口向下，则无最小值综上，.【小问2详解】由化简得若，则或；若，则不等式解集为R；若，则或当时，不等式的解集为或；当，则不等式解集为R；当，则不等式的解集为或20、（1）或（2）【解题分析】（1）诱导公式化简可得，结合，求解