江苏省南京市玄武区溧水中学2024届高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

江苏省南京市玄武区溧水中学2024届高一数学第一学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有30人，则的值为A.300 B.200C.150 D.1002．计算sin(－1380°)的值为（）A. B.C. D.3．已知二次函数值域为，则的最小值为（）A.16 B.12C.10 D.84．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于A.－ B.C.－ D.5．已知，都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．设集合，3，，则正确的是A.3， B.3，C. D.7．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（）A. B.C. D.8．如图，网格线上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积是A.3 B.2C. D.9．如果函数对任意的实数x，都有，且当时，，那么函数在的最大值为A.1 B.2C.3 D.410．已知实数满足,那么的最小值为(

)A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在直角坐标系内，已知是圆上一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使，其中的坐标分别为，则实数的取值集合为__________12．在中，角、、所对的边为、、，若，，，则角________13．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是_______.14．已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数，现有以下几种说法：①；②若今天值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时(注：)则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)15．函数的最大值为___________.16．设函数，若实数满足，且，则的取值范围是_______________________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数fx（1）求实数a的值；（2）当a>0时，①判断fx②对任意实数x，不等式fsin2x+18．如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．19．设，函数.（1）当时，写出的单调区间（不用写出求解过程）；（2）若有两个零点，求的取值范围.20．已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围.21．求值或化简：（1）；（2）.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】根据频率分布直方图的面积和1,可得的频率为P=1-10(0.01+0.024+0.036)=0.3,又由,解得.选D.2、D【解题分析】根据诱导公式以及特殊角三角函数值求结果.【题目详解】sin(－1380°)=sin(－1380°+1440°)=sin(60°)=故选：D【题目点拨】本题考查诱导公式以及特殊角三角函数值，考查基本求解能力，属基础题.3、D【解题分析】根据二次函数的值域求出a和c的关系，再利用基本不等式即可求的最小值.【题目详解】由题意知，，∴且，∴，当且仅当，即，时取等号.故选：D.4、D【解题分析】∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝＝.5、C【解题分析】根据充分条件和必要条件定义结合不等式的性质即可判断.【题目详解】若，则，所以充分性成立，若，则，所以必要性成立，所以“”是“”的充分必要条件，故选：C.6、D【解题分析】根据集合的定义与运算法则，对选项中的结论判断正误即可【题目详解】解：集合，3，，则，选项A错误；2，3，，选项B错误；，选项C错误；，选项D正确故选D【题目点拨】本题考查了集合的定义与运算问题，属于基础题7、B【解题分析】由图中阴影部分可知对应集合为，然后根据集合的基本运算求解即可.【题目详解】解：由图中阴影部分可知对应集合为全集，2，3，4，，集合，，，3，，=，=故选：8、D【解题分析】由三视图可知该几何体为有一条侧棱与底面垂直的三棱锥．其体积为故选D9、C【解题分析】由题意可得的图象关于直线对称，由条件可得时，为递增函数，时，为递减函数，函数在递减，即为最大值，由，代入计算可得所求最大值【题目详解】函数对任意的实数x，都有，可得的图象关于直线对称，当时，，且为递增函数，可得时，为递减函数，函数在递减，可得取得最大值，由，则在的最大值为3故选C【题目点拨】本题考查函数的最值求法，以及函数对称性和单调性，以及对数的运算性质的应用，属于中档题．将对称性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据对称性判断出函数在对称区间上的单调性(轴对称函数在对称区间上单调性相反，中心对称函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性求解.10、A【解题分析】表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.【题目详解】依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.【题目点拨】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由题意，∴A（3，2）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，∴圆上不相同的两点为B（1，4），D（5，4），∵A（3，2），BA⊥DA∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=4过P，M，N的圆的方程为x2+y2=m2，∴两圆外切时，m的最大值为，两圆内切时，m的最小值为，故答案为[3，7]12、.【解题分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围得出角的值.【题目详解】由余弦定理得，，，故答案为.【题目点拨】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.13、【解题分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后由题意可得，解不等式可求出的取值范围【题目详解】解：函数的对称轴方程为，因为函数在区间上是单调递增函数，所以，解得，故答案为：14、③【解题分析】对于①通过取特殊值即可排除，对于②③直接带入计算即可.【题目详解】当nA＝1时，PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；B菌的个数为nB＝5×104，∴，∴.又∵，∴故选③15、【解题分析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.【题目详解】由，则开口向上且对称轴为，又，∴，，故函数最大值为.故答案为：.16、【解题分析】结合图象确定a，b，c的关系，由此可得，再利用基本不等式求其最值.【题目详解】解：因为函数，若实数a，b，c满足，且，；如图：，且；令；因为；，当且仅当时取等号；，；故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）a=1或a=-1（2）①fx在R【解题分析】（1）依题意可得fx（2）①根据复合函数的单调性判断可得；②根据函数的单调性与奇偶性可得sin2x+cosx<2m-3在R上恒成立，由【小问1详解】解：因为函数fx所以fx+f(-x)=0，即可得1+x2+ax则(1-a2)x2【小问2详解】①因为a>0，所以a=1．函数fx=ln因为y=1+x2+x与y=ln②对任意实数x，f(sin2x+由①知函数fx在R可得sin2x+cos因为sin2所以2m-3>54于是正整数m的最小值为318、（Ⅰ）略（Ⅱ）【解题分析】（I）证明：连接，在中，分别是的中点，所以，又，所以，又平面ACD，DC平面ACD，所以平面ACD（Ⅱ）在中，，所以而DC平面ABC，，所以平面ABC而平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以平面ABE由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以所以平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，所以直线AD与平面ABE所成角是在中，，所以考点：线面平行的判定定理；线面角点评：本题主要考查了空间中直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．本题也可以用向量法来做．而对于利用向量法求线面角关键是正确写出点的坐标和求解平面的一个法向量．注意计算要仔细、认真19、（1）增区间是，减区间是；（2）【解题分析】（1）根据函数的图象即可写出；（2）根据函数零点的定义结合分类讨论思想即可求出小问1详解】的增区间是，减区间是【小问2详解】由得；由得或，当时，得或，所以1是的零点，①当时，则都不是的零点，故只有一个零点；②当时，即时，为使有两个零点，则，解得，此时的两个零点为.当时，得，所以1不是的零点，为使有两个零点，则，解得，此时的两个零点为，所以.综上，当或时，即的取值范围为，有两个零点20、（1）偶函数，证明见解析（2）【解题分析】（1）为偶