辽宁省沈阳市第31中学2024届数学高一上期末联考试题含解析

辽宁省沈阳市第31中学2024届数学高一上期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.2．已知直线与直线平行，则的值为A.1 B.-1C.0 D.-1或13．函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒过的定点是（）A.（1，﹣1） B.（0，0）C.（0，﹣1） D.（﹣1，0）4．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.5．若，，则（）A. B.C. D.6．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是A.①② B.②③C.③④ D.②④7．已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的个数是（）①②将的图象向右平移1个单位，得到函数的图象③的图象关于直线对称④若，则A.0个 B.1个C.2个 D.3个8．若，分别是方程，的解，则关于的方程的解的个数是（）A B.C. D.9．已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，它的终边上一点坐标为，.则为（）A. B.C. D.10．下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与A.①② B.①③C.③④ D.①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某挂钟秒针的端点A到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点重合，A与两点距离地面的高度差与存在函数关系式，则解析式___________，其中，一圈内A与两点距离地面的高度差不低于的时长为___________.12．已知平面向量，，，，，则的值是______13．若sinα＜0且tanα＞0，则α是第___________象限角14．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a＝_____.15．已知函数，若，则实数的取值范围为______.16．过点，的直线的倾斜角为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（1）若，求实数a值；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围18．已知集合，B=[3，6].（1）若a=0，求；（2）xB是xA的充分条件，求实数a的取值范围.19．已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若对所有，恒成立，求的取值范围.20．已知函数在闭区间（）上的最小值为（1）求的函数表达式；（2）画出的简图，并写出的最小值21．已知幂函数在上单调递增，函数.（1）求的值；（2）当时，记的值域分别为集合，设，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】先求得全集U和，根据补集运算的概念，即可得答案.【题目详解】由题意得全集，，所以.故选：D2、A【解题分析】由于直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋＝0平行所以，即－1或1，经检验成立.故选A.3、D【解题分析】由，可得当时，可求得函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）所过定点.【题目详解】因为，所以当时有，，即当时，，则当时，，所以当时，恒有函数值.所以函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒过的定点.故选：D【题目点拨】本题考查指数函数的图像性质，函数图像过定点，还可以由图像间的平移关系得到答案，属于基础题.4、A【解题分析】根据分段函数是上的增函数，则每一段都为增函数，且右侧的函数值不小于左侧的函数值求解.【题目详解】函数是上增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是故选：A.5、C【解题分析】由题可得，从而可求出，即得.【题目详解】∵所以，又因为，，所以，即，所以，又因为，所以，故选：C6、D【解题分析】图①的三种视图均相同；图②的正视图与侧视图相同；图③的三种视图均不相同；图④的正视图与侧视图相同．故选D7、C【解题分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，可判断①，由点的坐标代入求得，可得函数的解析式,再根据函数图象的变换规律可判断②，将代入解析式中验证，可判断③；根据三角函数的图象和性质可判断④，即可得到答案【题目详解】由函数图象可知：,函数的最小正周期为，故，将代入解析式中：，得：由于，故，故①错误；由以上分析可知，将的图象向右平移1个单位，得到函数的图象，故②正确；将代入得，故③错误；由于函数的最小正周期为8，而,故不会出现一个取到最大或最小值另一个取到最小或最大的情况，故，故④正确，故选：C8、B【解题分析】∵，分别是方程，的解，∴，，∴，，作函数与的图象如下：结合图象可以知道，有且仅有一个交点，故，即分类讨论：（）当时，方程可化为，计算得出，（）当时，方程可化，计算得出，；故关于的方程的解的个数是，本题选择B选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围9、D【解题分析】根据正弦函数的定义可得选项.【题目详解】的终边上有一点，，.故选：D.10、C【解题分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可.【题目详解】①中的定义域为，的定义域也是，但与对应关系不一致，所以①不是同一函数；②中与定义域都是R，但与对应关系不一致，所以②不是同一函数；③中与定义域都是，且，对应关系一致，所以③是同一函数；④中与定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.故选C【题目点拨】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①.②.【解题分析】先求出经过，秒针转过的圆心角的为，进而表达出函数解析式，利用求出的解析式建立不等式，解出解集，得到答案.【题目详解】经过，秒针转过的圆心角为，得.由，得，又，故，得，解得：，故一圈内A与两点距离地面的高度差不低于的时长为.故答案为：，12、【解题分析】根据向量垂直向量数量积等于，解得α·β＝，再利用向量模的求法，将式子平方即可求解.【题目详解】由得，所以，所以所以.故答案为：13、第三象限角【解题分析】当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0且tanα＞0，则α是第三象限角考点：三角函数值的象限符号.14、﹣8【解题分析】根据AC的斜率等于AB的斜率得到，解方程即得解.【题目详解】由题意可得AC的斜率等于AB的斜率，∴，解得a＝﹣8.故答案为：-8【题目点拨】本题主要考查斜率的计算和三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、或【解题分析】令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.【题目详解】令，对任意的，，故函数的定义域为，因为，则，所以，函数为奇函数，当时，令，由于函数和在上均为减函数，故函数在上也为减函数，因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，所以，函数在上也为减函数，因为函数在上连续，则在上为减函数，由可得，即，所以，，即，解得或.故答案为：或.16、##【解题分析】设直线的倾斜角为，求出直线的斜率即得解.【题目详解】解：设直线的倾斜角为，由题得直线的斜率为，因为，所以.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）根据即可求出实数a的值；（2）令，根据由求得的值，再根据正弦函数的性质分析的取值情况，结合题意即可得出答案.【小问1详解】解：，∴，∴；【小问2详解】解：令，则，由得，∵在[－，]上是增函数，在[，]上是减函数，且，∴时，x有两个值；或时，x有一个值，其它情况，x值不存在，∴时函数f（x）只有1个零点，时，，要f（x）有2个零点，有，∴时，，要f（x）有2个零点，有，综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是.18、（1）（2）【解题分析】（1）先化简集合A，再去求；（2）结合函数的图象，可以简单快捷地得到关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当时，，又，故【小问2详解】由是的充分条件，得，即任意，有成立函数的图象是开口向上的抛物线，故，解得，所以a的取值范围为19、（1）为奇函数；证明见解析；（2）是在上为单调递增函数；证明见解析；（3）或.【解题分析】（1）根据已知等式，运用特殊值法和函数奇偶性的定义进行判断即可；（2）根据函数的单调性的定义，结合已知进行判断即可；（3）根据（1）（2），结合函数的单调性求出函数在的最大值，最后根据构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.详解】（1）∵，令，得，∴，令可得：，∴，∴为奇函数；（2）∵是定义在上的奇函数，由题意设，则，由题意时，有，∴，∴是在上为单调递增函数；（3）∵在上为单调递增函数，∴在上的最大值为，∴要使，对所有，恒成立，只要，即恒成立；令，得，∴或.【题目点拨】本题考查了函数单调性和奇偶性的判断，考查了不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.20、（1）（2）见解析【解题分析】【试题分析】（1）由于函数的对称轴为且开口向上，所以按三类，讨论函数的最小值.（2）由（1）将分段函数的图象画出，由图象可判断出函数的最小值.【试题解析】（1）依题意知，函数是开口向上的抛物线，∴函数有最小值，且当时，下面分情况讨论函数在闭区间（）上的取值情况：①当闭区间，即时，在处取到最小值，此时；②当，即时，在处取到最小值，此时；③当闭区间，即时，在处取到最小值，此时综上，的函数表达式为（2）由（1）可知，为分段函数，作出其图象如图：由图像可知【题目点拨】本题主要考查二次函数在动区间上的最值问题，考查分类讨论的数学思想，考查数形结合的数学思想方法.由于二次函数的解析式是知道的，