1.1随机事件及其运算

随机现象有没有规律？怎样获得其规律？掷硬币试验高尔顿板试验试验序号12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502

将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数nH及频率f.波动更小随n的增大,频率

f呈现出稳定性1.1随机现象抛硬币试验高尔顿(Galton)板试验试验模型如下所示:自上端放入一小球,任其自由下落,在下落过程中当小球碰到钉子时,从左边落下与从右边落下的机会相等.碰到下一排钉子时又是如此.最后落入底板中的某一格子.1.1随机现象请看动画演示1.1随机现象

随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性，但大量试验或观察中,结果的出现具有一定的规律性如何来刻划随机现象?结论－－统计规律性。对随机现象进行大量重复的观测或实验，关注的主要内容：1.有哪些可能的结果------事件；2.结果出现的可能性大小------概率。第一章随机事件与概率1.1随机事件及其运算1.1.1随机试验对随机现象进行的观测或实验统称为随机试验.1.在相同条件下可以重复进行.2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果.3.每次试验之前不能确定哪一个结果会出现.例1

在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.例2

从学校西门口乘车到市百货楼，观察所遇到的红灯次数.例3从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.随机试验的例子研究随机现象,就是要研究:(1)可能有哪些结果------事件.(2)每个事件发生的可能性大小--------概率.1.1.2样本空间(SamplingSpace)例1：抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.则样本空间为其中ω1－－正面H朝上，ω2－－反面T朝上.样本空间也可表示为Ω

={H,T}Ω={ω1，ω2}随机试验E的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间,记为Ω={ω}.ω表示基本结果,又称为样本点(SamplingPoint).例2：将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况.例3：将一枚硬币抛掷三次,观察正面H出现的次数.例4：抛一粒骰子,观察出现的点数.Ω2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}Ω3={0,1,2,3}Ω4={1,2,3,4,5,6}则样本空间为则样本空间为则样本空间为例7记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.则样本空间为例5记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.则样本空间为例6在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命.则样本空间为Ω5={0,1,2,3,…}Ω6={t|t≥0}Ω7={(x,y)|T0≤x≤y≤T1}这里x表示最低温度,y表示最高温度.例8盒中有3个白球（编号为1,2,3）和2个红球（编号为4,5），从中依次取出两球.（1）观察两球的颜色.则样本空间为（2）观察出现的号码.则样本空间为（3）观察白球的个数.则样本空间为Ω={白白，白红，红白，红红}Ω={12,13,14,15,

21,23,24,25,31,32,34,35,

41,42,43,45,51,52,53,54}Ω={0,1,2}样本空间由试验目的而定几点说明：1.样本空间中的元素可以是数也可以不是数。2.样本空间分类离散样本空间连续样本空间样本点的个数为有限或可列个样本点的个数为不可列无限个样本空间例1、2、3、4、5、8.例6、7.1.1.3随机事件(randomevent)通俗地讲，试验中可能发生也可能不发生的结果，称为随机事件.例购买体育彩票一张，“中特等奖”、“中奖”、“中三等奖”均为随机事件.一般地，试验的若干样本点组成的集合，称为随机事件，简称为事件.常用大写字母A,B,C,…表示.试验的样本空间Ω与事件A的关系?集合的角度：全集与子集，例1将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况.用集合表示下列事件.A2={HHH,TTT}（2）事件A2={三次出现同一面},则A1={HHH,HHT,HTH,HTT}（1）事件A1={第一次出现的是正面H},则A3={HHT，HTH，THH}（3）事件A3={出现二次正面},则1.1.3随机事件Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}例2:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命.事件B:“寿命小于1000小时”,则B={t|0≤t<1000}例3:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.事件C:“最高温度与最低温度相差10度”,则C={(x,y)|y-x

=10,T0≤x≤y≤T1}思考：说事件A发生意味着什么？什么条件下说某事件A发生？在每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件(Impossibleevent)，记为

.※

称事件A发生，当且仅当A中的某个样本点出现.例掷一粒骰子，记A,B,C分别表示“出现大点”,“出现幺点”，“出现偶数点”.若出现6点，则事件A,C均发生，但事件B不发生.※在每一次试验中都发生的事件，称为必然事件（CertainEvent),记为Ω.1.1.4随机变量(randomvariable)直观定义随试验结果的不同而变化的量称为随机变量.通常用大写字母X,Y,Z,…表示.例1:抛一粒骰子,记X为出现的点数，则X是一个随机变量.（1）事件“出现3点”可用“X=3”表示.（2）事件“出现的点数不小于3”可用“X≥3”表示.例2:抛二粒骰子的样本空间为：记X、Y分别为第一、二粒骰子出现的点数，则：

（1）事件“点数之和等于5”可表示为（2）事件“最大点数为6”可表示为事件表示法1.语言法例1:抛一粒骰子,观察出现的点数.记X为出现的点数，则样本空间为事件A：“出现的点数不小于3”＝{1,2,3,4,5,6}A={3,4,5,6}A={X≥3}语言描述集合法随机变量法2.集合法3.随机变量法1.1.5事件间的关系(Relationofevents)设试验E的样本空间为Ω

,A,B,Ak(k=1,2,…)是事件.1.1.5.1包含关系若事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A.记作A

B.BAΩBA

B例1:抛一粒骰子，事件A=“出现4点”，B=“出现偶数点”

.

则A

B.例2:记T为电视机的寿命,令

A={寿命超过10000小时}={T|

T>10000}，

B={寿命超过20000小时”}={T|

T>20000}.

则B

A.1.1.5.2相等关系即A

B且B

A

A＝B.例1抛二粒骰子，A={二粒骰子点数之和为奇数}，B={二粒骰子的点数为一奇一偶}.若事件A发生必然导致B发生，而且B发生必然导致A发生，则称事件A与B相等.记作A=

B.则A=

B.1.1.5.3互不相容(Incompatibleevents)

若事件A与事件B不能同时发生,则称事件A与B互不相容

.

AB例A={寿命小于10000小时},B=“寿命大于20000小时”.则事件A与B互不相容.1.1.6.1事件的和（并）(Unionofevents)

“事件A,B

中至少有一个发生”，称为事件A与B的和（并）.记作A∪B.1.1.6事件的运算(operationofevents)即A∪B={x|x∈A或x∈B}

BAA∪B注意A∪B={事件A发生或事件B发生}

＝{A

发生,且B不发生;或A不发生,且B发生;或A,B都发生}A1.1.6.2事件的积（交）(Productofevents)

B“事件A与B都发生”，称为事件A与B的积（交）.记作A∩B

或AB即A∩B=AB={x|x∈A，x∈B}1.1.6事件的运算命题若事件A与B互不相容，则AB＝

.反之亦然.AB

“事件A出现而事件B不出现”,称为事件A与B的差.记作A-B.即图示A与B的差.

AB

AB1.1.6.3事件的差(Differenceofevents)

1.1.6事件的运算1.1.6.4对立(逆）事件(Oppositeevents)

“事件A不发生”，称为A的对立（逆）事件.记作Ā.即注1：若事件A,B满足A∪B=Ω，且AB=

.则称事件A与B互为对立（逆）事件.AΩ思考：事件A与B互为对立和事件A与B互不相容的关系？对立事件与互不相容事件的区别

ABABA、B对立A、B互不相容互不相容对

立1.1.6事件的运算

练习：

1.将差事件A-B表示成积的形式.2.将和事件A∪B表示成互不相容事件的和.1.6.5事件运算的规则1.交换律(Exchangelaw)A∪B＝B∪

A，AB＝BA2.结合律(Combinationlaw)(A∪

B)

∪

C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)3.分配律(Distributivelaw)(A

∪

B)C＝(AC)∪(BC)，(AB)∪

C＝(A

∪

C)(B

∪C)4.对偶律(Duallaw)例1设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.(1)A出现,B,C不出现;(5)三个事件都不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;(6)不多于一个事件出现;1.1.6事件的运算(7)不多于两个事件出现;(8)三个事件至少有两个出现;(9)A,B至少有一个出现,C不出现;(10)A,B,C中恰好有两个出现.1.1.6事件的运算例2：某人连续购买彩票，记A,B,C分别为其在第一、二、三次所买的彩票中奖，试解释下列式子的意义.1.1.6事件的运算第三次未中奖第三次才中奖仅有一次中奖至少中奖二次至多中奖二次至少中奖二次(1)没有一个是次品;(2)至少有一个是次品;(3)只有一个是次品;1.1.6事件的运算1.设Ai（i＝1,2,3,4）为工人生产的第i个产品是正品，试用

Ai

表示下列事件练习(4)至少有三个正品;(5)恰好有三个是次品;1.1.6事件的运算1.设Ai（i＝1,2,3,4）为工人生产的第i个产品是正品，试用Ai表示下列事件.2.口袋中有10只黑球和5只白球，从中不放回地一只一只摸球，直至摸完。记事件“最后摸出的几只球全是黑球”为A，事件“最后摸出的一只球是黑球”为B.则事件A与B的关系如何？A=B.3.从1,2,…,9中可重复任取n>1次,记A={所取的n个数字之积能被10整除},则A的对立事件是什么？所取n个数字中没有数字