2021届高考数学教学案第2章第讲函数的奇偶性与周期性含解析

学必求其心得，业必贵于专精2021高考数学人教版一轮创新案：第2章第3讲 函数的奇偶性与周期性含解析第3讲函数的奇偶性与周期性［考纲解读］ 1.了解函数奇偶性的含义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性（重点）3了解函数周期性最小正周期的含义会判断应用简单函数的周期性(重点)［考向预测］ 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点预测2021年高会侧以下点①函奇偶性判断应用②函周性的断及用；综利用函数奇性、期性单调求数的或解等式.1。函数的奇偶性!奇偶性 定义 图象点!一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个偶函数 x,都有错误f－xfx， 关于错误!y轴对称那么函数f(x）就叫做偶函数一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一奇函数 个x,都有错误!f(－x）＝－f(x),那么函数f(x就叫做

关于04原点对称学必求其心得，业必贵于专精奇函数2．周期性(1数＝（x如果在一非常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有01f（x＋T）＝f(x，那么就称函数＝f()为周期函称T为这个函数的周期．(2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个错误最小的正数那么这错误最小正数就叫f)的最小正周期．1．概念辨析（1“ab＝0“函数f(x间ab（a≠b偶性（ )(2)若函数f（x)是数有f(）＝0.( )（3数＝（＋a数＝f(关线＝a．( ）(4)若函数＝（＋b数＝（)的图象关于点(b)中（ )（5)已知函数＝f（）是定义在R上的偶函若在（，0)上是减函则(0,＋∞）上是增函数（ )（6)若T为y＝f(x）的一个周期，那么nT（n∈）也是函数f（)的周期( ）答案 (1)√ （）×(3)√ √（5）√ (6)×2．小题热身（1)下列函中为函数是(A．＝2sinx．＝|ln｜

)．＝2cosxD．＝2－x学必求其心得，业必贵于专精答案 A解析 A是奇函数,B是偶函数，D是非奇非偶函数．(2若f(x)是R为2足f(11（2＝2则f（3)－f(4)＝________.答案 －1解析 因为f（x）是R上周期为2的函数，所以f（3）f（＝1，f(4)＝f2)2,所以f（3）－f（＝1－2＝－1.（3）设f（x)是定义在R当x>0时，f(x）＝x2＋1,则f(－2)＋f(0）＝________。案 －5析 为f(x)是定义在R，以f－2－f(2）＝－22＋－5，f(0)＝0，所以f（－2）＋f)－5.(4）偶函数y＝f(x）的图象关于直线x＝2对称f＝3则f(－1）＝________.答案 3解析 因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f1，因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(1）＝f3＝3。综上可知（1)＝3.(5）设奇函数f（x)的定义域为［5,5]，若当x［0,5]时（x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．答案 (－2，)（2,5]学必求其心得，业必贵于专精解析 因为函数f(x)是奇函数所以其图象关于原点中心对称，作出其图如右,观察图象可知，不等式f(x)＜0学必求其心得，业必贵于专精题型一 函数的奇偶性角度1 判断函数的奇偶性1（2020·成都市高阶段试）知y＝f(x）是定义在R上的奇函，则列函中为函数是( ）①y＝f（|x｜)；②y＝f(－x)；③y＝xf（x；④y＝f（x)＋x.A③ ③④ D④案 D析 为y＝f（x）是定义在R以f（－x）＝－f(x,由（|－x｜＝f(｜x|),知①是偶函数由f[－(－x)]＝f(x)＝－（－x由y＝f(x）是定义在R上的奇函数，且y＝x是定义在R上的奇函数奇奇＝知③是偶函数由f(－x）＋(－x)＝－[f（x）＋x］,知④是奇函数．2．判断下列函数的奇偶:(1)f(x)＝3－x2＋错误!；（2）f(x)＝（1－x)错误；(3）f（x）＝错误!；x2＋x，(4）f(x）＝，－x2＋x，x>0.解 （1)错误得x2＝3，解得x＝±错误!，即函数f（x)的定义域为{－错误,错误}，∴f（x)＝错误!＋错误＝0。学必求其心得，业必贵于专精∴f(－x)＝－f(x)且f（－x）＝f(x)，∴函数f（x)既是奇函数又是偶函数．(2)错误≥0得－1≤x〈1，所以f(x)的定义域为［1，1，所以函数f(x）是非奇非偶函数．(3）错误得定义域(－1,0）∪(0,1)，关原对．∴x－2<0，∴｜x－2｜－2＝－x，∴f（x)＝错误!.又f（－x)＝错误!＝错误!＝－f（x，∴函数f(x）为奇函数．(4）显然函数f（x)的定义域为(－∞，0)∪（0，＋∞）,关于原点对称．∵当x<0时，－x>0,则f(－x）＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f（x；当x〉0时，－x<0，则f（－x）＝（－x)2－x＝x2－x＝－f（x)；意x，有f（－x）＝－f(x)，∴函数f（x)为奇函数．度2 用3．(·衡拟)知f（x）是定义在R若x＞0时,f(x）＝xlnx，则x＜0时，f（x)＝（ ）A．xlnxC．－xlnx

B．xln(－x）D．－xln(－x）答案 B解析 设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－xln(－x．又f(x）是定义在R以f(－x－（x)以（x＝xn(－x)．4数f（x)＝错误!的最大值为M最小值为，则（M＋N－1)200为（ )学必求其心得，业必贵于专精A．1．22020

．2D．32020答案 A解析 由已知x∈R，f（x）＝错误＝错误＝错误＋1。令g(）＝错误，易知g（x）为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为0,所以＋＝）5．若(ex＋1）＋ax是偶函数，则a＝_______。3答案 23解析 为e3x＋＋ax是以f－x＝f（x以3x＋)＋a，所以－3a＝a,解得a＝－错误。解法二函数e3x＋)＋ax为偶函故f(－x＝（)，即（3x＋1＋a，化简得2ax，即错误＝2ax，整理得2ax＋3x＝1.所以2a＋3x＝0,解得a＝－错误。1．判断函数奇偶性的三种方法（1)定义（举例明2）学必求其心得，业必贵于专精(2）图象法(3)性质法如例明1（③，4）设f(x)(定域是D12，它共义奇,奇偶,偶＋偶＝偶,偶偶＝偶奇偶＝奇．2．函数奇偶性的应用(1求函数:将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求求到间上义明3.(3)求解析中参数:利用待系法解根据f(x（－）＝0到于数恒式由数对性等恒立条件得方程(组)，进而得出参的值．举例说明5。（4)区．（5）求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．如举例说明4。注意：对于定义域为I的奇函数f（),若0∈I，则f（0）＝0。学必求其心得，业必贵于专精1．已知R上的奇函数,当则f（－2)等( )A．－3 B．－错误!C.错误! D．3答案A解析 由已知得f(0＝20＋0。解得＝1.当所以f（2)＝f(2)＝－221－3。2．(·辽宁名校考函数错误的图象（ )A．关于x．关于直线x

．关于原点对称D．关于y答案 B解析 记错误!,定义域为(－,－2)∪(,＋∞．∵f为函即数错误的图象关于原点对称．3（2020·武汉联考)若义在R上函数 )e）

答案 D解析 又学必求其心得，业必贵于专精由①②解得g(x)＝错误故选。题型二 函数的周期性1．(2019·温州模拟已知义在R上的函数f（）的最小正周期等于T，则下列函数的最小正周期一定等错误的是（ )A．f（2x)．2f（）

B．f错误!D．f（2)答案 A解析 由已知得f(x＋T＝f(x所以f2x＋T)＝(2x即错误!T＝（2)所以函数f(2x)的周期是2f错误＝错误即f错误＝错误，所以函数f错误的周期是2T2f(x＋)2（)，数2（)的是T数f（x2）．T学必求其心得，业必贵于专精2已知定义在R上的函数fx)满足f(x＋2)＝f

1x

,当x∈[0,2)时，f(x）＝x＋ex，则f（2020）＝________.答案 1解析 因为定义在R上的函数f(x)满足f（x＋2）＝错误!，所以f（x＋4)＝错误!＝f（x）,所以函数f（x）的周期为4.当x∈[0,2）时，f（x)＝x＋ex，所以f（2020）＝(50540)f（0＝0＋0＝1.1．求函数周期的方法方法 解读 适合题型具体步骤为:对于函数y＝f（x)，如定义法

果能够找到一个非零常数T使得当数T定x有（x的函数，如举例说明＋T＝f(x,那么T数y＝f(x）1期采用递推的思路进行,再结合定义确递推定周期．:若f(x＋a)＝－f（x）,则法 f(x＋2a＝f[(x＋a)＋a－f(x＋a)＝f(x),所以2a为f(x)的一个周期

含有（x＋a)与f（x)的关系式，如举例说明2通过换元思路将表达式化简为定义换元式的结如:若f（x＋a)＝f(x－a)，f(bx±a)fbx±c)关法 令x－a＝t，则x＝t＋a，则ft＋)式＝f(t＋a＋a）＝f（t＋a－a）＝f(t),学必求其心得，业必贵于专精所以2a为f(x）的一个周期2．函数周期性的应用根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T函期,则kT（k∈Z且k≠0)也是函数的周期．如举例说明2。1（2019·绵拟)函数f（x)＝错误!则f(9）_____。答案 1解析 f(9)f9－)＝f)＝f5－)＝（1)＝2×11＝1.2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）＝x3－x,则函数y＝f（x)的图象在区间[0,6］上与x的为_．案 7析 当0≤x〈2时，f(x)＝x3－x,又f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且f（0）＝，则f（6)＝f(4)f2)＝f0）0。又f（1)＝0，∴f（3）f5＝(1）＝0，故函数y＝f(x）的图象在区间[0，6］上与x轴的交点有7个．题型三 函数性质的综合应用角度1 单调性与奇偶性结合1(2019·数（x为R当x≥0时f(x单调递减若（2)＞f1－)则a取围（ ）学必求其心得，业必贵于专精A。错误! B。错误!C。错误! D。错误!答案 C解析 因为函数（x为R以f(2a)（1－a)f｜a｜)＞(1－a｜又当x≥0时fx单调递减所以|2a｜＜1－a以(a）2＜（1a）2即3a2＋a－1－1＜a＜错误。角度2 周期性与奇偶性结合2(2018·知f(x为(－∞＋∞函足f(1－x）＝f（1＋x．若f(1＝2则f(1＋(2)＋）＋…＋f(50)＝（ )A．－50 ．0．2 D．50答案C解析 因为f（x)是定义域(－∞，＋∞)的奇函数,且满足f（1－x)＝（1＋x以（1＋x)－f(x－1)f(x＋4)＝f[1（x＋3)]＝（－x－2)＝－f(x＋2)＝－［1－(x＋1)]＝－f(－x)＝（x)以f(x)为4的函．此f(1＋f(2）(3＋＋f(50）＝2［（12＋（34＋f(1f(2),因为（3f（1)，f(4)＝－f(2，所以f（1）＋f（2）f（3）f（4）0,因为f(2）f(24＝f(－2）＝f，所以f(2）0从而f（1)＋f(2）f3)＋＋f(50)＝(1），故选C。角度3 单调性、奇偶性和周期性结合3（2019·青岛二中拟）知定在R上的函数f(x)满足:①f（x＋2＝（x)②（x－2）函③当x∈[01错误!＞0（x1≠x2成立f错误，f（4)f错误的大小关系正确的是（ )学必求其心得，业必贵于专精A．f错误＞f(4)＞错误!B．f（4）＞错误＞f错误!C．f错误＞f(4）＞错误!D．f错误＞f错误＞f(4）答案 C解析 由f(x＋2)＝f(x)可知函数（x的周期为2,所以f(x)＝f(x－2，又f（x－2)为奇函数，所以f(x）为奇函数，所以f错误＝f错误＝错误,f(4）＝f4－2＝f（0＝0.f错误＝错误＝f错误，又x∈[0，1)时，f(x)单调递增．故奇函数f(x)在（－1，1）上单调递增．所以f错误＞f（0）错误，即f错误＞f(4）＞错误。函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略（1)个质:数（x)是偶函数，那么f(x)＝（|x｜)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．如举例说明1.（2)利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．如举例说明2。（3)利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求学必求其心得，业必贵于专精解．如举例说明3。1．已知函数f(x）＝(m＋n)(x－1)为偶函数，且（－∞，0）上单递，则f（2－＞0解集（ )A（1，3)．(－1，1)

．(－∞，1）∪(3＋)D（－,－1)∪1，)答案 A解析 f(x)＝(x－)(m＋n）＝m2＋(n－m）x－n。∵数f（x（mx＋n)（x－1)为偶函数，∴f（－）＝f（x)．即m2＋(n－m)x－nm2－(n－m)－n，得（n－m)＝（－)，即n－m＝则m＝n，则f（＝m2－m，∵f（x)在(－∞，0增∴m＜0，由f（2－＞0，得m（2－)2－m＞0，即(2－x)21＜02－4＋3＜0，得1＜＜3，即不等式的解集(1,3)．2(2019·广东模拟)定在R上数（足f(＝f2－x),f(x)＝－－且［01]上有fx＝2则f错误＝( )A。错误! B.错误!C．错误! D．错误!答案 D解析 因为f（x）＝－f(－x，所以f(）是奇函数，因为f(x）＝f(2－)，所以f(－x）＝f（＋）＝f(x所以f（4＋x）＝f－2－)＝f(2＋）＝f（，学必求其心得，业必贵于专精所以函数f（x）是以4为周期的函,所以f错误＝f错误＝错误!＝f错误,因为在0，1有f（x）＝x2，以f错误＝错误2＝错误，所以f错误＝－f错误＝错误。3在R数f（x)满足f(x－4）＝－f（x)，且间 )A．f（－25)<f（)〈f（0）．f（80）<f（f－25)．f（<f（<f(－5）D．f(－25）<f(80〈f（)案 D析 为（x－4)＝－f(x,所以f(x－8)＝－f(x－4)＝（x,所以函数f(x）的周期T＝8，所以（－25）f（1),f（1＝f（3－f(1)f（1，f(8）f)数f（x）在区f（x）在区间［－2,2］上是增函数，所以f（－1）f(0〈f（1),所以f(25)f（80)〈1．学必求其心得，业必贵于专精组 基础关1．(0·武威模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,＋∞)上单递增是( )A．f（）＝x－e－x．f（＝＋错误!

．f（)＝tanxD．f（)＝x|答案 A解析 （)＝|x｜是偶函数,排除Df(x)＝x＋错误（0＋∞)上先后增,排除C；f()＝tanx在(0，＋∞)上不单函，排除B;f（x＝ex－－x符合题意．2数＝f(xy＝g(数y＝f(x·g(x)为( )案 A析为（)为（)以＝)·g(x)为奇函数，排除B;由两函数的图象可知当x∈错误!时，y＝学必求其心得，业必贵于专精f(x)·g(x)<0；当x∈错误时＝f（）·g(）0项A符选A.73（2020·烟台应练习)已知在R上函数（x)的周期为2，且足f（x）＝错误若f错误＝f错误则f(5)等于（ ）7A16 B．－错误!C.错误! D.错误!答案B解析 由于函数（)的周期为2以f错误＝f错误＝－错误＋a错误＝f错误＝错误＝错误,所以错误＋a＝错误以a错误，因此f（5a）(3)＝f(－1）＝1错误＝错误。故选。4．已知函数y＝（）x是偶函数，且f（2)1,则－2)＝（ ）A．2 ．3．4 D．5答案D解析 ∵＝（＋xf(－x)－)＝f(x＋，∴f(－x＝f（x)＋2x＝2f(－2＝f2＋45,故选D.5（219·成若数f(x)＝1错误的图象关于原点对称，则实数a等于（ )A．2 ．1．1答案 A解析 由已知,函数

D．2f（x）为奇函数，所以f（1）＋f（－1)＝0,即1－错误＋1错误＝0，1－a1＋2a0,解得a＝－2。6(2019·合肥模)已知偶函数（)［0＋∞)上，数a，b，“a>b"是“f（a）>f（b）”的( )学必求其心得，业必贵于专精A．充分不必要条件．充要条件

．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为f（x)是偶函数，所以f(｜b）＝f（b．因为f（x）［0,＋∞)上单递a＞b|≥0.以f(a＞(b＝f(b若fa）＞（)例－3＝(3)1而－3＜1｜.由f(a)f(b）到a＞b｜.以“a｜b｜”“（a＞fb要．7（2020·沈阳市高质检已知数f（x）＝错误!,实数ab满足不等式f（2a＋)＋4－3b）＞0，则下列不等关系恒成立的是（ )A．b－a＜2．b－a＞2

．a＋2b2D．a＋2b2答案 C解析 由题意知f（－x）＝错误!＝错误!＝－错误!＝－f（x),所以数f(x)为奇函数，又（x)＝错误＝错误＝错误－1以（x在R上为减函数，由f(2a＋b）＋f(－3b)＞0，得f（2a＋b）＞f（4－3)＝f3b4，故2a＋b3－4，即b－a2.故选C.8数（x)是奇函数，当x＞0时,（x＝lgx，则错误!的值_______．答案 －lg2解析 由已知得f错误＝lg错误＝2f－2＝f2＝g2，以f错误＝lg2.9已知奇函数（x)(x∈R)满足（x＋4)＝f(x－2)且当x∈[－3,0)时，f（x）＝错误!＋3si错误!x，则f（2021）＝________。答案 －4解析 因为函数f(x)（x∈R）为奇函数满足f（x＋4)＝f（x－学必求其心得，业必贵于专精2)，所以f(x＋)f（)，数f(x以6，当x∈[－3,0)时，f(x）＝错误＋3si错误x，所以f（2021）＝(33761）＝(－)＝错误＋3si错误＝4。10（202·甘肃天摸）设f(x)是定义在R上以2的当∈[0,1］时，f(x）＝log(x＋1，则函数f(x）在[1,］上的解析式_______．答案 f（x）＝log2(3－x）解析 因为f(x)是定义在R上以2为周期的函数，当x∈［0,1]时,f(x)＝log2（＋1)．所以设∈[1,2，则－2∈［－1，0，2－∈[0,1]．所以f(2－x)＝log［(2－x＋1]＝lo（3－x)，又f（)为偶函,所以f（x)＝f（x－2)＝f(2－x)＝lo2(3－)．组 能力关1．已知p：a，q：函数f（）＝ln（x＋错误)为奇函数，则p是q成立( ）A．充分不必要条件．充分必要条件

．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析 若函数f(x＝(＋a2＋x)为,则（－＋f(x)＝n(－x错误）n(＋错误）lna20，得a＝1.所以p是q成立的充分必要条件．2数（－aa＞0数,若g(x＝f(x＋2019，则g()的最大值最小之和为（ )学必求其心得，业必贵于专精A．0 ．1．2019 D．4038答案D解析 因为函数f（x）是定义在区间[－a，a］上的奇函数，）m m所以f(xm＋（x)mn＝0,所以g(x)m＋（）in＝[f(）a＋2019]＋[f(x）n＋2019＝f（)ma＋f(x）min＋4038）m m3(219·南拟数f(x)是周期为4数当［0，2（)＝x－1，式（x0在[－13为（ ）A（1,3)（－1，0)∪(1)

（－1，1）D．(－1,0）∪01）案 C析 若∈[－2，0－x∈[0，2],∵当x∈[0,2]时，f(x）＝－1，∴f（－x）＝－－1,∵f(x）是偶函数，∴（－)＝－x1＝f(x即当x∈[－20]时（)－－1，－22]内（)＝错误若［2,4]则x－4∈[－2，0，即f(x)＝f（x－4)＝－(x－4）－1＝－x＋3，x∈[2,4，作出函数f(