考研数学三概率论与数理统计(大数定律和中心极限定理)模拟试卷18904

考研数学三概率论与数理统计（大数定律和中心极限定理）模拟试卷1(总分：86.00，做题时间：90分钟)一、<B>选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。</B>(总题数：10，分数：20.00)1.设随机变量X，X，…，X相互独立，S=X+X+…+X，则根据列维一林德伯格中心极限定1理，当n充分大时S近似服从正态分2nn1布，只要X，X，…，X2NN2.00）12N（分数：A.有相同期望和方差．B.服从同一C.服从同一均匀分布．√D.服从同一连续型分布．因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X，X，…，X独立同分布而且各个随机12n方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：选项(A)不成立，因为X，X，…，X有相同期望和相同的分布，所以不满足列维一(B)和(D)虽然满足同分布，但数学方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的(D)一般也不能保证中心极限定理成立．2.假设随机变量X，X，…相互独立且服从同参数A的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比离散型分布．解析：解析：变量的数学期望和均匀分布的数学期望和方差都存在。方差，但未必有12n林德伯格中心极限定理的条件；而选项期望和条件，故选项(B)和12雪夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X，X，…，X，…12nB.X+1，X+2，…，X+n，…12nC.X，2X，…nX,…√12nD.解析：解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X，…，X，…，还是X+1，X+2，…，X+n，…；X，2X，…，nX，…11n12n2n以及X，都是相互独立的；第二个条件要求1各随机变量的期望与方差都存在．由于EX=λ，DXn=λ，E(X+n)=λ+n，D(X+n)=λ，E(nX)=nλ，D(nX)=n2λ，．因此四个备选答案都nnnn满足第二个条件；第三个条件是方差DX，…，DX，…有n公共上界，即DX＜c，c是与n无关的常数．对n1n于(A)=DX=λ＜λ+1；对于(B)：D(X+n)=DX=λ＜λ+1；对于(C)：D(nX)=n2DX=n2λ没有nnnnn公共上界；对于(D)：综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．3.设随机变量序列X，…X，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于其数n1学期望，只要{X，n≥1}n（分数：2.00）A.有相同的数学期望．B.有相同的方差．C.服从同一泊松分布．√D.服从同一连续型分布，f(x)=(一∞＜x＜+∞)．解析：解析：辛钦大数定律要求：{X，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项(A)、n(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．(B)缺少同分布条件，选项4.设X表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则n（分数：2.00）A.B.C.√D.解析：5.设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数F(3，4)满足P{X＞F(3，4)}=α，αα若P{X≤x}=1一α，则x=（分数：2.00）A.√B.C.F(4，3)．αD.F(4，3)．1-α解析：解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又1一α=P{X≤x}=P{X＜x}=所以=F1-α(4，3)，即x=因此选(A)．6.设X，X，X，X是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y=a(X一2X)+b(3X—4x21234)，其中a，b为常数．已知Y～123χ(n)，则224（分数：2.00）A.n必为2．B.n必为4．C.n为1或2．√D.n为2或4．解析：解析：依题意X～N(0，22)且相互独立，所以X-2X～N(0，20)，3X—4X～N(0，100)，3i124且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当时，Y～χ(2)；(2)当b=0，2或a=0，b=时，Y～χ2(1)．由上可知，n=1或2，即应选(C)．7.设X，X，…，X是来自标准正态总体的简单随机样本，和S2为样本均值和样本方差，2n1则（分数：2.00）A.服从标准正态分布B.服从自由度为n一1的χ分布．2C.服从标准正态分布．D.(n一1)S服从自2由度为n一1的χ分布．√2解析：解析：显然，(n一1)S2服从自由度为n一1的χ分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显2的：对于服从标准正态分布的总体，由于X，X，…，X相互独立n并且都服从标准正态分布，12可见服从自由度为n的χ2分布．8.设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y=，则（分数：2.00）A.Y～χ2(n)．B.Y～χ2(n一1)．C.Y～F(n，1)．√D.Y～F(1，n)．解析：解析：根据t分布的性质，如果随机变量X～t(n)，则X2～F(1，n)，又根据F分布的性质，如果X2～F(1，n)，则～F(n，1)．因此Y=～F(n，1)，故应选(C)．9.设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义t满足P{X≤t}=1一α(0＜α＜1)．若已知P{|X|αα＞x}=b(b＞0)，则x等于（分数：2.00）A.t．1-bB.C.t．bD.√解析：解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}=根据题设定义P{X≤t}=1一α，可知x=应选(D)．α10.假设总体X的方差DX存在，X，…，X是取自总体X的简单随机样本，其n样本均值和样本方差分别1为，则EX2的矩估计量是（分数：2.00）A.B.C.D.√解析：解析：按定义，EX2的矩估计量是由于所以为EX2的矩估计量，选(D)．二、填空题(总题数：20，分数：40.00)11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于1。（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：7/2）解析：解析：设X，X，…，X是各次掷出的点数，它们显然独立n同分布，每次掷出点数的数学期望12EX=21／6=7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．12.设随机变量序列X，…，1X，…相互独立且都服从正态分布N(μ，σ)，记Y=X一X，2n2nn2n-1根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于1.（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：2σ．）2解析：解析：由于{X，n≥1}相互独立，故Y=X一X(n≥1)相互独立并且都服从N(0，2σ)，2nn2n2n-1所以{Y2，n≥1}独立同分布且EY=DY+(EY)2=2σ，根据辛钦大数定律，当n→∞时22nnnn依概率收敛于2σ2．13.随机从数集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n个数X，X，…，2X，对任何ε＞0，,则1na=1b=．2答案（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：a=3）填空项1:__________________（正确答案：b=11）解析：解析：依题意X，…，nX相互独立且有相同的概率分布：P{X=k}=i(k=1，2，3，4，5)，1与相同的数学期望：EX=i(1+2+3+4+5)=3．根据辛钦大数定律，当n→∞时，依概率收敛于3，即a=3．同理，1X，…，nX相互独立且P{X2=k2}=i(k=1，2，3，4，5)，EX2=i22(1+4+9+16+25)=11，当n→∞时依概率收敛于11，即b=11．14.设随机变量序列X，…，1X，…相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，则=1(结果用n标准正态分布函数ψ(x)表示)．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于X相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，所以EX=0，DX=n根据独立nn同分布中心极限定理，对任意x∈R有15.设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=1．答案（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：0.84）解析：解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数中n=100，20，且[*]由棣莫弗一知随机变量[*]近服似从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=P{16≤X≤32}=[*]≈ψ(3)一ψ(一1)=ψ(3)一[1一ψ(1)]=0．9987一(1一0．8413)=0．84，ψ(u)是标准正态分布函数．”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其p=0．拉普拉斯中心极限定理，其中16.设X，X，…，X是独立同服从参数为4的泊松分布的随机变量，是其算术平均值，则10012P{≤4．392}≈1．（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：0.975）解析：解析：由于EX=DX=4，因为n=100充分大，故由列维一林德伯格定理知．近似kk地服从正态分布N(4，0．22)．因此，有17.设总体X～E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X，X，…，X的联合概率密度f(x，x，…，12n12x)=．1n（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：总体X的概率密度f(x)=由于X，X，…，X相互独立，n且与总体X服从同一指12数分布，因此18.设总体X～P(λ)，则来自总体X的简单随机样本X，X，…，X的样本均值的概率分布为12n1．答案（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）X+X～P(2λ)，继而有X，X，…，解析：解析：由泊松分布的可加性可知，当X，X独立时，121212X独立同为P(λ)分布时，于是，对任意n＞2，的概率分布为n19.设(2，1，5，2，1，3，1)是来自总体X的简单随机样本（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正值，则总体X的经验分布函数F(x)=答案1.n确答案：[*]）解析：解析：将各观测值按从小到大的顺序排列，得1，1，1，2，2，3，5，则经验分布函数为20.已知χ～χ2(n)，则E(χ2)=．1答案2（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：n）解析：解析：由χ分布的典型模式χ2=X2+X2+…+X2=，而X～N(0，1)，且X相ii212n互独立，由于E(X2)=D(X)+[E(X)]2=1+0=1，所以E(χ2)==n．iii21.已知X，X，X相互独立且服从N(0，σ)，则服从的分布及参数为1。2123（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正解析：解析：记Y=X+X，Y=X一X，则Y～N(0，2σ2)，Y～N(0，2σ2)．由于Cov(Y确答案：[*]）12322312，Y)=E(YY)一E(Y)E(Y)=E[(X+X)(X一X)]=E(X)一E(X2)=σ2一σ2=0，2121212232323所以Y与Y相互独立，且与X独立．又由X+X+X=X+Y～N(0，3σ2)，可知(X12112311+X+X)～N(0，1)，～χ(1)，且X+X+X与X一X相互独立，于是按t分布定212312323义有22.设总体X的密度函数f(x)=分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则ES=1．2（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于ES2=DX，由题设有EX=∫xf(x)dx=∫1x|x|dx=0．DX=EX2一(EX)2+∞-∞-1=∫xf(x)dx=∫1x|x|dx=2∫1x3dx=2所以+∞2-∞-1023.设X，X，…，X是来自总体X～N(μ，4)的简单随机样本，而是样本均值，则满足12=0．95的常数9μ=1．(ψ(1．96)=0．975)（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：1.3067）解析：解析：24.假设X，X，…，2X是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，为其均值，S为其标161准差，如果=0．95，则参数a=1．(t(15)=1．7531)0.05（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：a=-0.4383）解析：解析：由于总体X～N(μ，σ2)，故由t分布典型模式得：～t(15)，所以由此知4a为t(15)分布上0．95分位数，即4a=t(15)=一t(15)=一t(15)=一1．753，a1=0.951-0.950.05一0．4383．25.设X～N(μ，σ)，其中μ和σ2(σ＞0)均为未知参数．从总体X中抽取样本X，X，…，X，212n样本均值为，则未知参数μ和σ的矩估计量分别为2（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：）解析：解析：由于待估计参数有2个：μ，σ2，故考虑一阶、二阶矩．由于E(X)=μ，E(X2)=D(X)+[E(X)]=σ2+μ，解得μ和σ的矩估计量分别为22226.设X，X，…，2X是来自总体X的简单随机样本，已知总体X的概率密度为(θ＞0)，则n1θ的最大似然估计量（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：）解析：解析：似然函数为27.已知总体X服从参数为λ的泊松分布，X，…，X是取自总体X的简单随机样本，其均值为1n方差为S2，如果+(2—3a)S的期望为λ，则a=1．2（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：直接由=λ求a．依题意EX=DX=λ，故，ES2=DX=λ，+(2—3a)ES2=aλ+(2—3a)λ=(2—2a)λ=λ，解得28.已知总体X服从正态分布N(μ，σ)，X，…，X是来自总体X容量为2n的简单随机样本，当2n21σ2未知时，的期望为σ2，则C=，D1Y=．2（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：）解析：解析：通过EY=σ2求得C，为此需先求得X-X分布．由于X～N(μ,σ，)且相互独立，22i2i-1i故X—X～N(0，2σ2，)E(X—X)2=D(X—X2i)+[E(X—X)]=2σ2．22i-12i2i-12i2i-12i-12i29.已知总体X服从参数为p(0＜p＜1)的几何分布：P{X=x}=(1一p)p(x=1，2，…)，X，…，X是x-11n来自总体X的简单随机样本，则未知参数p的矩估计量为；1最大似然估计量为2。（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：）解析：解析：由几何分布的期望公式即得则由上式解得p的矩估计量又样本X，…，X的1n似然函数30.设总体X的概率密度为其中0＜θ＜1是未知参数，c是常数．X，X，…，X为来自总体12nX的简单随机样本，则c=；θ1的矩估计量=．2（分数：2.00）填空项1:__________________（正确答案：正确答案：）解析：解析：三、<B>解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。</B>(总题数：13，分数：26.00)31.设X，X，…，X，…相互独立，其概率分布为令，讨论当n→∞时，Y的依概n12n率收敛性．（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：EX=0，DX=DE=，对任何i=1，2，…，DX＜1，且题设X，X，…，2iiii12X，…相互独立，因此随机变量序列X，X，…，X，…满足切比雪夫大数定律，即对任何ε＞0，n12n因此当n→∞时，Y依概率收敛于0．)n解析：32.对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设其期望值为2，标准差是1．3，计算在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率．（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：设第i次轰炸中命中目标的炸弹数为X，100次轰炸中命中目标的炸弹总数为X，i则X=X+…+X，且X，…，X相互独立同分布．EX=2，DX=1．32，EX=200，DX=169．应11001100用独立同分布中心极限定理，X近似服从正态分布N(200，169)，则有P{180＜X＜220}=P{|X一200|＜20}=ii=2φ(1．54)一1=0．876．)解析：33.假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克．求：(I)100个螺丝钉一袋的重量超过5．1千克的概率；(Ⅱ)每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的重量超过5．1千克的概率．（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：(I)假设X表示袋中第i颗螺丝钉的重量，i=1，…，100，则X,…，X相100i1互独立同分布，EX=50，DX=52．记一袋螺丝钉的重量为S，则ES=5000，DS=2500．应100100用列维一林德伯格中心极限定理可知S近似服从正态分布N(5000，502)，且P{S＞5100}=1一P{Sii100100100≤5100}=≈1一ψ(2)=0．02275．(Ⅱ)设500袋中重量超过5．1千克的袋数为Y，则Y服从参100数n=500，P=0．02275的二项分布．EY=11．375，DY=11．116．应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，可知Y近似服从参数μ=11．375，σ2=11．116的正态分布，于是)解析：34.已知总体X的数学期望EX=μ，方差DX=σ2，X，X，…，X是来自总体X容量为2n的简单随122n机样本，样本均值为（分数：2.00）．求EY．_________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于总体分布未知，我们只好将Y化简，应用数字特征性质计算EY．由于=2nσ2+2nμ2+2nμ2—2σ2—4nμ2=2(n一1)σ2．)解析：35.已知总体X与Y相互独立且都服从标准正态分布，X，…，X和Y，…，Y是分别来自总体X1189与Y的两个简单随机样本，其均值分别为求证：服从参数为15的t分布．（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：应用t分布的典型模式证明．已知X～N(0，1)，Y～N(0，1)且相互独立，因ii此样本均值如果用S2与S2分别表示样本方差，则有7S2=X，由于X与Y相互ijX仅依赖于X，SiY独立，S仅依赖于Y，因此S与S2独立，根据χ分布性质(可加性)222jXY2XY知Q=7S2+8S2一χ2(15)，又S2，S2相互独立，所以与7S2+8S2=Q相XYXYXY互独立，根据t分布典型模式有)解析：36.设X，X，…，X是取自正态总体X的简单随机样本，EX=μ，DX=4,试分别求出满足下列12n各式的最小样本容量n：（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：依题意，X～N(μ，4)，查标准正态分布函数表可得n≥1089．)解析：37.(I)设X与Y相互独立，且X～N(5，15)，Y～χ(5)，求概率P{X一5＞}；(Ⅱ)设总体X～2N(2．5，6)，X，X，X，X，X是来自X的简单随机样本，求概率P{(1．3＜＜3．5)∩(6．3212345＜S2＜9．6)}．（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：P{6．3＜S2＜9．6}==P{0．7＜χ(4)＜1．067}=P{χ2(4)2＞0．7}一P{χ2(4)＞1．067}=0．95—0．90=0．05．于是所求概率为p=0．3179×0．05=0．0159．)解析：38.设X，X，…，X是来自总体X的简单随机样本，已知总体X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布．试12n求总体X的数学期望E(X)的矩估计量和最大似然估计量．（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：由题设知，总体X的概率密度为而E(X)=进行矩估计和最大似然估计．首先求矩估计量只有一个参数，用总体矩等于样本矩来解．总体一阶矩为E(X)，样本一阶矩为则E(X)的矩估计量再求最大似然估计量似然函数为根据最大似然估计的不变性可知，E(X)的最大似然估计量由上可知)解析：39.设X，X，…，X是来自总体X的简单随机样本，已知总体X的概率密度为试求λ的矩12n估计量和最大似然估计量．（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：)解析：40.设总体X～N(0，σ)，参数σ＞0未知，X，X，…，X是取自总体X的简单随机样本(n＞1)，212n令估计量(I)求的数学期望；(Ⅱ)求方差（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：(I)由于X，X，…，X相互独立且与总体X同分布，故(Ⅱ)根据抽n12样分布有关结论知再由χ2分布随机变量的方差公式有：Y～χ(n)，则DY=2n．)2解析：41.已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2，且P{X=2}=(1—θ)2，EX=2(1—θ)(θ为未知参数)．(I)试求X的概率分布；(Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计值．（分数：2.00）_________________________________________________________正确答案：(正确答案：(I)设X的概率分布为P{X=0}=p，P{X=1}=p，P{X=2}=p，由题设知p=(1—θ)01222，又EX=2(1—θ)=0×p+1×p+2p=p+2p=p+2(1—θ)，解得p=2(1—θ)一2(1—θ)201212112=2θ(1—θ)，而p+p+p=1，所以p=1—p—p=θ2，X的概率分布为(Ⅱ)应用定012012义求矩估计值、最大似然估计值．令μ=EX=2(1—θ)，解得于是θ的矩估计量将样本值代入得θ的矩估计值为即