量子力学公式

量子力学常用积分公式fXneaxdx二—疋严一-fXn八eaxdx (n>0)JciaJIeaxsinbxdx=— (asinbx—bcosbx)Jcr+l7r(7jx2cosaxdx=斗COSOX+(二—W)sinax(«cosZ?x+/?sin/?x)(«cosZ?x+/?sin/?x)1—_牙COSGXf严cosaxdx= J a?+b2fxsiiiaxdx二丄smax— cr⑸Zsinor/uMsinax+(2-丄)cosaxJ cr cra(d>o)厂—Jax'+c+(_\n(y[ax+ylax2+c)(d>o)2 2yla(8)j\lax2+cdx=Y⑹八xcosaxdx⑹八xcosaxdx±cosAAsinA—arcsint2j-a(a<0)⑺一1)!!龙

n\l2£2£2cos/?xdxnV"正奇数）(]0)『吗/，YX(11))[e；x(11))[e；xndx=IE°)n\1/27（71=正整数卫>0）(13)(2“一1}!!2(H)(15)(16)=sin"axtwli启#(d>0)(d>o)£xeaxCQsbxdx, ；「(d>o) (a2+b2)2~第二章：函数与波动方程[1]试用量子化条件,求谐振子能量[谐振子势能V(x)=1JV]乙(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld量子化条件式：|pdq=nhA > 0 E*紅Tz在量子化条件中，令p=rnx为振子动量，q二x为振子坐标，设总能量E•••P2ma)2x2•••P2ma)2x2Mll则E=nhs 八 、厂円(一=)代入公式得：f2m(E-me,—)dx=量子化条件积分指一个周期内位移，可看作振幅鬲四倍，要决定振幅a，注意在A或B点动能为0，£=卯讥2,(1)改写为:2『nuoy/a2-xidx=nh(2)积分得：maxG兀二nh

遍乘;纟得2龙口h3-E=—="方e2龙［乙法］也是利用量子化条件，大积分变量用时间f而不用位移X,按题意振动角频率为3，直接写出位移厂用『项表示：q=x=as\ncot求微分：dq=dx=acocQscotd!(4)求积分：P=也％=macocoscDt(5)将(4)(5)代量子化条件：pdq=ma2co2£cos2cotclt=nhT是振动周期,T=―,求出积分，得COmcDcrn=匸h®mcDcrn=匸h®E=——n=nnco2/rn=123正整数#［2］用量子化条件，求限制在箱内运动粒子能量，箱长宽高分别为％c.

\\（解）三维问题，有三个独立量子化条件，可设想粒子有三个分运动，每一分运动是自由运动•设粒子与器壁作弹性碰撞，则每碰一次时，与此壁正交方向分动量变号（如p-_p），其XX余分动量不变，设想粒子从某一分运动完成一个周期，此周期中动量与位移同时变号，量子化条件:fpgq,二n'pXdxip(l)$P$qr、h=2pJ：dy=2bp(2)fP?q广很h=2pj;dz=2cp⑶P，P，P_都是常数，总动量平方P二+〃；+/£总能量是：二丄［出空卄（卫8/??=乞［（垒）*（色）*（垒）2］8/??bcnx>nynx>ny>nz=123yz正整数⑶平面转子转动惯量为I，求能量允许值.（解）解释题意：平面转子是个转动体，它位置由一坐标（例如转角0）决定,它运动是一种刚体平面平行运动•例如双原子分子旋转•按刚体力学,转子角动量I。，但血=卩是角速度,能量是E='Ico~利用量子化条件，将"理解成为角动量，"理解成转角久一个周期内运动理解成旋转一周，则有pdq=£\cocl(p==nh⑴(1)说明。是量子化⑵co=-=— (”=1,2,3 ) (2)2负I⑶代入能量公式，得能量量子化公式:E二；I宀眉)一罂 (3)2 2I21#⑷有一带电荷0质量加粒子在平面内运动，垂直于平面方向磁场是求粒子能量允许值.、/ (解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，设圆半径是I线速度是b用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是：Bevmv乂利用量子化条件，令卩二电荷角动量转角0

pdq=£nuvdtp=iTnnrv=n((2)即mrv=nh （3）由⑴⑵求得电荷动能斗肿二导2 line再求运动电荷在磁场中磁势能，按电磁学通电导体在磁场中势能磁矩*场强—电流*线圈面积*场强—e磁矩*场强—电流*线圈面积*场强—e水力B,v是电荷旋转频率，心冷代入前式得运动电荷磁势能二 （符号是正）2mc心冷代入前式得运动电荷磁势能二 （符号是正）2mc点电荷总能量二动能+磁势能=E=Behn2mc[5]对高速运动粒子（静质量川）能量和动量由下式给出:试根据哈密顿量H=E=曲+&2与正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意群速度相等关系•计算速度并证明它大于光速.（解）根据（3）式来组成哈氏正则方程式组:q二严,本题中q=v,p=p,因'&Piv=一Jure4+cp二〃—卩二==■ （4）切 J肿/+刊异从前式解出表示）即得到⑵•乂若将⑵代入⑶，就可得到⑴式.

其次求粒子速度一和它物质波群速度比间关系•运用德氏假设：P=hk于⑶式右方，乂用Eico于⑶式左方，遍除〃:c、、e=J=a）（k）Vtr按照波包理论，波包群速度比是角频率丢波数一阶导数:_c2k c~pyjnrc4+c2P2最后一式按照（4）式等于粒子速度…因而Vc=Vo又按一般波动理论，波相速度比是由下式规定匕,=必=¥ （U是频率）K利用（5）式得知性+ ⑹C0C故相速度（物质波）应当超过光速。最后找出心和几关系，将（1） （2）相除，再运用德氏波假设:EticocCi⑺P族vVG 'U；[6] （1）试用Fermat最小光程原理导出光折射定律n^a・二faimv（2）光波动论拥护者曾向光微粒论者提出下述非难：mv如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理可〃〃=0认为P=

则可pdl=0这将导得下述折射定律这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：卩二卑仍C就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有可〃〃=0,你怎样解决矛盾?（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播,（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播,因此自定点A到定点B路径是两段直线：光程I=n\Q+rti@设A,B到界面距离是比b（都是常量）有乂AE沿界面投影c也是常数，因而Q存在约束条件：aa+btsa=c⑵{2求（1）变分，而将3,66看作能独立变化，有以下极值条件&=seca农dax+nibscca3a〃a=。 ⑶22再求⑵变分 asec2 +bsec2d=&=0⑶与⑷消去d和da得［乙法］见同一图，取X为变分参数，取0为原点，则有:/二斤1J/++72、yjb+（cx〜）

求此式变分，令之为零，有:yja2求此式变分，令之为零，有:yja2+x2=0这个式子从图中几何关系得知，就是(5)(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波群速度光程原22理作可出〃=0,依前题相速二L-,-=-=cqn是折射率，"是波前阵面V/VG}更引起，而波阵面速度则是相速度匕「这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.Jjndl=0前一非难是将光子传播速度『看作相速度/误解.V/>⑺当势能V(F)改变一常量C时，即V(7)tV(F)+c,粒子波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否P(解)设原来薛定灣方程式是今+兽[E-iyO将方程式左边加减相等量3得：cbrTr孕+学{[E+C]-[V(x)+C]M=Odx~力一这两个方程式从数学形式上来说完全相同，因此它们有相同解刃力,从能量本征值来说，后者比前者增加了Co#⑻设粒子势能极小值是E„>Vmm(证)先求粒子在某一状态中平均值能量EJJJV.2g= [-才2+%“沁其中动能平均值一定为正:

与st士Jjj{0]-▽0P心T*22m山中间一式第一项是零，因为肖假定满足平方可积条件，因而尸>0因此E=用高斯定理:T=_导”(0TV)•広+扫Ifv屮7中间一式第一项是零，因为肖假定满足平方可积条件，因而尸>0因此E=用高斯定理:T=_导”Tv>v,能让能量平均值V>y.因此E>y.令0=0'本征态）贝U卫二E“而+ min minE„>V»证mm#⑼设粒子在势场V（F）中运动（1）证明其能量平均值是：E=八Wdx= -Vy/\lx （1）其中W是能量密度（2）证明能量守恒公式竺+V40 （2）dt其中£=一工（翌v+徑貯/）（能流密度）2mdtot（证明）（1）三维粒子能量算符〉：H=-A-VV+V⑶2m求H在状态0中平均值£■=J[jVHif/dx=jjji//\-VV+V由于=V(T*VT)- ,将此式代入前一式:.2.2{V(T*VT)-VT*VT)Jx3+JJJ*Wdx学Jj学JjjV(T*VT)r7x3+学J”VTEd疋+卩VTA/x-_4.2Ijj-_4.2IjjV(TVT)JxV(TVT)Jx3虑为无限远处界面j[TVT•dS若屮满足平方可积条件，则limT*VT=O,S考r-x证得公式⑴⑵求⑴式中能量密度W时间偏导数，注意¥。一般都含时间，VT,W也是如此，因而：工=[｛二0F0P+W0P｝ctdt2m瓷WE罟+詈WT讐吋+甞心｝+竺亚+六賢dtdt=_av-[vt*+vtj+—[V2vP+VT]2mdtdtdt2m粒子满足含时间薛定谴方程与其共辄方程式:

dt2mhi——=一一V2T+VTdt2m_有2o\T/*Q中乂设s三页旨m+百可叭则有dWdt〃+竺更一竺兰dWdt〃+竺更一竺兰dtdtdtdt公式⑵得证。［10］设N个粒子哈密顿量为:TOC\o"1-5"\h\z宀-若諾1若皿E-^| (1)w(证…和0是它任一态函数，定义：p(r,/)=Ap.(f,r)⑵\o"CurrentDocument"7(rJ)=£7,(rJ) ⑶口(和)訂…“七/匕…中2imJJ求证：空+x7•7=o ⑷dt［证明］按定义：雲二dtoti二工「寸心…dfS…心冷vpy二工J……，也，心…〃牛W)二工门(和) ⑸i多粒子体系状态田厅石…丘丿)应当满足多粒子薛定谴方程式，写出这个方程式和禺共馳方程式:=£QTk程式和禺共馳方程式:=£QTk2加方2-v-评+y,泮(6a)(6b)(6a)(6b)将前二式等式右方式子代替左方卸孚，代进式⑸…弓哙旳沖存冷)…弓哙旳沖存冷)更亠f)(7)乂待证公式等号左方第二项是:三工□•工久(和)• •(和)+・(和)+・・i(E，/)+・••]=(V]+v2+・・・▽(・•・)[)辽"id■i里工J…t…心-Ml__2im-一一.=vr7i(AO+v辽"id■i里工J…t…心-Ml__2im-一一.•d3〈xVf-(TVT-TV・T4)菇工字辽卜可卄心…心x弓盏jeppw一旳H)将⑼式两个求和合一，注意到/Hk项不存在，因而⑻⑼等值异号。[]]]设出与瓦是薛定谒方程式两个解，证明出”]⑹比(元％与时间无关。［证明］试将此式对时间求偏导数，再利用咒所满足薛定谓方程式,有：訓曲宀=0（学◎萨学）找因一tu賈丄二-2Lv2T\+dt2m+力严二2dt='V2T.+vt.2m訓V讣=JIJ茁典+打.vv2）j\=一必+旷】RPQX2miJ*J最后一道等号是利用高斯定理将题给体积分（工）变换成（T）包围面S面积分，若屮I,屮2满足平方可积条件lim出=0,lim=07->ocr->x等，可使这面积分等于零。所以体积分jyjHl（元（元少卅是与时间无关。r#［12］考虑单粒子薛定谴方程式：加二/）=-丄,0+M（方+/匕（左）］”（左,/）ot 2mV］,V2为实函数，证明粒子几率不守恒。求出在空间体积Q内，粒子几率“丧失”或“增加”速率。

解：要证明几率不守恒，可以计算总几率时间变化率，先考察空间一定体积Q中粒子出现总几率，按Born假设，总几率是n求总几率时间变化率牛锁心"缈#甞+学匹沁—I-dtdtiM+W^iM+W^i(—W£ALdt=_Lv2V*-丄［%-讯］»将（2）代入（1），化简后得竺二M{__L（yW—炸¥•）+当dt唄2mi 方利用高斯定理将右方第一项变形:（”pp一旳#）}心+訂口曲x卅二（ppp—炸旷）価+1八？如果粒子运动范围是无限，并且符合平方可积条件，则在无限远处hto,▽?旷-0，因而（3）式面积分等于0。这证明总几率p=fff这证明总几率p=fffAWx不守恒，因为竺工0。nd如果考察有限体积Q之内总几率变化率，令:7三吕沙"Q)(3)式改写为:¥=一IP•“'+¥JI"匕(元)皿” (5)Xx Q£是空间0内粒子几率减少或增加速度，右方-\p-ds是指。包围面S$上几率流动速度(流进或流出)，右方半『口0乜(丘指由虚数势能引起,〃Q附加几率变化速率，题目所指是这一项。[13]对于一维自由运动粒子，设八(a\0)=J(x)求忆(xj)f。(解)题给条件太简单，可以假设一些合理条件，既然是自由运动,可设粒子动量是〃，能量是E,为了能代表一种最普遍一维自由运动，可以认为粒子波函数是个波包(许多平面波叠加)，其波函数:讥X、讥X、t)=丄vpx-£r)0(〃)"dp=—X这是一维波包通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令应有肖(如」「 dp(2)0)= 力加-x但按题意，此式等于汉力。但我们知道一维5函数一种表示是:将⑵(3)二式比校：知道"彳，并且求得飒沪盍，于是⑴成_.(px_£r)eTidp这是符合初条件波函数，但”卫之间尚有约束条件E=f-（因为2m是自由粒子，总能量等于动能），代入（4）（5）将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果：I］宀）1如匸x）曲2面宀丄宀2〃r2mti7rit写出共辄函数（前一式/变号）：1imx",2mTiJ7r12mTi71m本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为：匚迹［馬（旷竽）血一匸血［岳（P—芋）M用课本公式得于"=二（中）\淫3鞘，两者相乘，可得相同结果。屮（XJ）2加Vt#［14］在非定域势中粒子薛定谓方程式是:

/?/—T(x，t)= 2T(x,f)+IV(元元7?(元，t\bxrdt2m<⑴求几率守恒对非定域势要求。此时，只依赖于波函数W在空间一点几率波是否存在？［解］按题意，是要求写出几率守恒条件，从这个条件寻出V%V)应当遵守要求。几率守恒条件是:clclcl⑵与［13］题类似，可写出［1］共辄方程式:一加二P(6/)=-—r)+fffv*(x, 4/(3)dt ?»?2m ....将［1］和［3件中貿和d送-想等同式子代入到［2］式中去，就得到如下条_Afff(TVT-TV2T*)八+丄2mihiJJJr)JJJv(x， r)-T(x,r)JJJvx(x，亍(昭t) d»d'x‘=OnL / x .将前式等号左方第一顼变成面积分［高斯定理h第二顼变成六重积分：f［(T*VT-TVT*)-6/5+丄2加屮 7加 )(4r)V(x，疋闭(0,r)-T(x, (丘，元)W(0,/)］〃"d=Ony前式等号左方第一顼由于波函数平方可积条件(VTO,W(X)TO当时)可消去，因田仏/)和T(x\r)形式相同,xr对易：OIM材（右/）[v（x，疋）—八无，亍）｝P（w，/）｝心・/疋=0 （5）nx这积分式定积分，它等于零可能性要求被积函数为零，即：V（x，x,）=V\x,x1）因此V（x，元）必须是元元实函数。#15］写出动量表象中薛定潯方程式。［解］本题可有二中［A］含时间薛定谒方程式，［E］定态薛定谓方程式。［A］写出含时间薛氏方程式：（1）为将前式变换成动量表象0，可写出含时间表象变换式:昨总严皿'小切心 （2）0呎几f）=命咋计沁 （3）为了能用（3）变换（1）式，将（1）式遍乘-1dt一沪2m（2加）左方变形二力烷呎”，）t等号右方第一积分是可以用三重积分分部积分来变形，这式写成标量:-1力2（2加严2m计算（5）x部分分部积分法：

如加加/ydz訂JJ彳賢严曲去丿xdydz-X一弓LJJJ导如，边亠JJH,=—辛 Em叫Zdydz.tli(tli(p¥x+pvy+p.z>/ftxdydz"加曲JJJ7"加曲L)2zVX=卡JJR关于召召积分按同法计算'⑸式结果是諾严盏皿- Px2+Py2+P：T(xt)e‘x,rdxdydz=丨肖仏f)J±ji再计算(4)式右方第二积分o二諾严⑹卩咿，讨叫》｝刃呎戸，MS但最后一个积分中G®，刃三总『弟“叫心rp厂指坐标空间，q指动量相空间，最后将(4)(6)(7)综合起来就得到动量表象积分方程式如下:畤呎戶’“=豊呎厉J+JJJg(，”》(戸，(8)若要将定态薛定谴方程式从坐标表象变成动量表象，运算步骤和上面只有很少差别，设粒子能量为E，坐标表象薛氏方程：—V2八(X)+[E-V(x)]T(x)=02m动量表象方程也是积分方程式，其中G(尸，戸)是这个方程式核(Kernel)-金呎P)+W(“)-JJJg(p，尸％(尸，4/2//=o#[16严设在曲线坐标(qU中线元ds表为ds1=gdqidqkik写出这曲线坐标中薛定谓方程式，写出球面坐标系中薛定谴方程式(解)厶=竺＜©+空呦2+空同样关于y,z有类似二式。(这里为书写叫叫方便q上标改成下标。）决参看Amer・J.Phys.Vol.41.1973-11ds2=dx2+dy2+dz?=ox1—+dxox\y^/肉+(韵+肉十十+6®丿X<1x</2dq.dq., &竺+空空*竺玄dq.dq.+2 + 十6如勿]dqdqdqdqJ3 { 3x」令g厂工（学旦）为坐标变换系数：xyzoqioqk设沿曲线坐标等势面单位矢量是弘乙，禺则%河|心池*万3NW8^两%河|心池*万3NW8^两^22勿一1—厲三(&22g界Hi]g】g22g33如V2T=di\{gracl)= ) {2[陛当型。屮]g"g22g33勿Igl1勿II6[£33人16W]I6[幻胡226W])6伤g22勿2 勿3心3d(hg22g33勿3代入直角坐标薛定灣方程式:

哈g）-册总聲嚎嗨譽轨喘［晋訝｝"伽小％咖）Vf=v{x（qq2q3）-}在球坐标情形dx+在球坐标情形dx+.-1.-1—sin&cos“y=rsinAsinA,z=rcosO式正交坐标系代入后得ar{即几歲代入后得ar{即几歲dt2mr2sm20dr{卧彳僚）+僚）+（刽=1\（dxg22=vUH朋）+篇『）+Vz（r,0.肖）Frrd* 1__d_Tu----= r｛一drsin&dOdt2mi2or1_d