02函数的极限-王振堂-高等数学-教学课件

§2.2函数的极限一、当x

时函数的极限二、当x

x0时函数的极限三、左极限与右极限四、关于函数极限的定理一、当x

时函数f(x)的极限

引例

和数列极限一样

“当|x|无限增大时

y无限地接近于1”

是指“当|x|无限增大时

|y

1|可以任意小”

即对于任意给定的

0

要使限

定义2

3(函数的极限)

如果对于任意给定的正数

总存在一个正数M

使得当一切|x|

M时

|f(x)

A|

恒成立

则称当x趋于无穷大时

函数f(x)以常数A为极限

记作说明

定义中

刻划f(x)与A的接近程度

M刻划|x|充分大的程度

是任意给定的正数

M是随

而确定的

如果x从某一时刻起

往后总是取正值(负值)而且|x|无限增大

则称x趋于正(负)无穷大

记作x(x)

此时定义中|x|

M可改写为x

M(x

M)

证

对于任意给定的

0

要使

证

因此

对于任意给定的

0

取M

log2

则当x

M时

注意:p.56图2-5对于任意给定的

0

要使

证

因此

对于任意给定的

0

取M

log2

则当x<－M时

注意:例2(续)用定义证明p.56图2-5例4解例3解xy极限f(x)

A(x

)的几何意义

对任意给定的小正数

总可以找到M

0

当x进入区间(

M)

(M

)时

f(x)全部落入区间(A

A

)内

引例.

测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度

,要求确定直接观测值精度

:二、当x

x0时函数f(x)的极限目的:研究当自变量x→x0时,函数y=f(x)的变化性态.定义2

4(函数的极限)

如果对于任意给定的正数

总存在一个正数

使当0

|x

x0|

时

|f(x)

A|

恒成立

则称当x趋于x0时

函数f(x)以常数A为极限

记作说明

(1)定义中的

刻划f(x)与常数A的接近程度

刻划x与x0的接近程度

是随

而确定的

(2)定义中的|x

x0|

表示x与x0的距离小于

而0

|x

x0|表示x

x0

因此0

|x

x0|

表示x

(x0

x0)

(x0

x0

)

分析

设f(x)

3x

2

对于任意给定的

0

要使|f(x)

4|

|(3x

2)

4|

|3x

6|

3|x

2|

证明:|f(x)

4|

|(3x

2)

4|

|3x

6|

3|x

2|

5|f(x)

x0|

|x

x0|

只要取

就可以了

设f(x)

x

证

|f(x)

x0|

取

当0

|x

x0|

时

因此

对于任意给定的

0

对于任意给定的

0

要使6例5证函数在点x=1处没有定义.7极限f(x)

A(x

x0)的几何意义

f(x)全部落入区间(A

A

)内

当x进入(x0

x0)

(x0

x0

)时

总可以找到

0

对任意给定的正数

三、左极限与右极限

观察当x从0的左侧趋于0时和当x从0的右侧趋于0时

f(x)的变化趋势

容易看出当x从0的左侧趋于0时

f(x)趋于1

而当x从0的右侧趋于0时

f(x)趋于0

我们分别称它们是函数f(x)当x趋于0时的左极限与右极限

三、左极限与右极限定义2

5(左极限右极限)

如果当x从x0的左侧(x

x0)趋于x0时

f(x)以A为极限

即对于任意给定的

0

总存在一个正数

使0

x0

x

时

|f(x)

A|

恒成立

则称A为x

x0时f(x)的左极限

记作

如果当x从x0的右侧(x

x0)趋于x0时

f(x)以A为极限

即对于任意给定的

0

总存在一个正数

使0

x

x0

时

|f(x)

A|

恒成立

则称A为x

x0时f(x)的右极限

记作四、关于函数极限的定理定理2

1(双侧极限与单侧极限的关系)

解

当x

0时

而当x

0时

8左右极限存在但不相等,例9证四、关于函数极限的定理四、关于函数极限的定理定理2

1(双侧极限与单侧极限的关系)

例10.研究当x

0时

f(x)

|x|的极限

解

定理2

2(局部保号定理)

如果f(x)

A(x0

x0)

而且A

0(或A

0)

则总存在一个正数

使当0

|x

x0|

时

f(x)

0(或f(x)

0)

四、关于函数极限的定理

设A

0

取

A/2

则按极限定义可知

总存在一正数

使当0

|x

x0|

时

不等式|f(x)

A|

A/2恒成立

于是可得

A

A/2

f(x)<A+A/2

因此

f(x)>A/2>0

类似地可证A

0的情形

证

定理2

2(局部保号定理)

如果f(x)

A(x0

x0)

而且A

0(或A

0)

则总存在一个正数

使当0

|x

x0|

时

f(x)

0(或f(x)

0)

四、关于函数极限的定理定理2

3

如果f(x)

A(x

x0)

且f(x)

0(或f(x)

0)

则A

0(或A

0)

如果f(x)