全概公式课件

全概公式和贝叶斯公式1

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>02

例1有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记

Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B两两互斥B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得1233将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/154注：Ω的一个划分一是要互斥，二是要充满整个空间.

设Ω为试验E的样本空间,为E的一组事件,若：定义：则称是样本空间Ω的一个(有限)分割或称是一个完备事件组。样本空间的划分5E的一组事件是Ω的一个划分或构成了完备事件组E的另一组事件就不是Ω的一各划分，或构不成一个完备事件组。

对“掷一颗骰子观察其点数”这一试验，其：比如：6

设Ω为随机试验的样本空间,A1,A2,…,An是样本空间的一个分割,且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,则定理：全概率公式7在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:可简化为8

▲全概率公式关键抓住寻找Ω的一个划分或寻找一个完备事件组(这里事件是导致事件B发生的一组原因,而事件B的出现只能与中之一同时出现)。注：9每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和即为全概率公式.某一事件B发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是：P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式：▲从另一个角度去理解▲全概率公式一搬用于“用条件概率求非条件概率”的问题。即P(B)不易求,但却很容易找到Ω

的一个划分时用全概率公式比较方便10例2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设B={飞机被击落}

Ai={飞机被i人击中},i=1,2,3由全概率公式

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)则B=A1B+A2B+A3B求解如下:依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,

P(B|A3)=111可求得:为求P(Ai),

设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.12于是

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+

P(A3)P(B|A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.13例3（教材page18,例1.4.2）

甲袋中装有2个红球,6个白球;乙袋中装有5个红球,4个白球.现从甲袋中任取3个放入乙袋,然后再从乙袋中任取一个球，解:设Ai={从甲袋中任取3个球中有i个红球}i=0,1,2A={取得红球}求取得红球的概率.由于.根据全概公式得:1415例4某车间有4个班组生产同一种产品，生产的产品没有任何区别的混合在一起，已知这4个组的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%。这4个组的产品的次品率分别为0.05，0.04，0.03，0.02.现从该车间生产的产品中任取一件，求抽取到次品的概率16贝叶斯公式17该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题：“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.引例某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:18有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球。1231红4白?求：该球是取自1号箱的概率

引例

19某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求:P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到：贝叶斯公式1231红4白?20该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：

设A1,A2,…,An是完备事件组（两两互不相容的事件），另有一事件B，它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，则贝叶斯公式与全概率公式一样都是加法公式和乘法公式的综合运用,值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断的方法，称作为：“贝叶斯统计”（这也足可见贝叶斯公式的影响）21

▲贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的先验概率和后验概