《应用数学基础》课件第三章 任意角的三角函数

第三章任意角的三角函数三角函数是基本初等函数之一．在中学，我们已经学过锐角的三角函数，并且应用它们来解直角三角形和进行有关的计算．但在科学技术领域和实际问题中，还经常用到任意大小的角．因此我们需要将角的概念进行推广，然后进一步研究任意角的三角函数．第一节任意角的概念、弧度制第二节任意角的三角函数第三节同角三角函数的关系第四节诱导公式第五节三角函数的图像和性质第一节任意角的概念、弧度制一、角的概念的推广图3-1解示意在实际生活中，角的形式可以按照两种相反的方向旋转．我们把一条射线按逆时针方向旋转所形成的角称为正角；把按顺时针方向旋转所形成的角称为负角；特别地，当一条射线没有做任何旋转时，也认为此时形成一个角，并把这个角称为零角．图3-2正、负角示意解解图3-3图形示意……解在平面直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）落在第几象限，则称这个角为第几象限的角．（终边位于第Ｉ象限内的角均为正角吗？终边相同角之间相差多少？）图3-4象限角示意如图3-4所示解解

解或二、弧度制如图3-5所示．图3-5弧度制示意即圆心角的弧度数的绝对值等于该角所对的弧长与圆半径长之比.(!本公式中圆心角必须用弧度制,不能用角度制!)由弧度的定义可知：由上面三个式子可以推导出角度制与弧度制之间的换算公式:

由换算公式,我们可以把任意大小的角进行角度制与弧度制之间的互化.下面是常用的一些特殊角的角度与弧度数的对应(表3-1).(!在以后的学习中会经常遇到这些特殊角角度制与弧度制之间的转化,应熟记.)表3-1特殊角的角度数与弧度数对应角度弧度

说明:(1)用弧度制表示角时,弧度或rad可以省略不写,直接用一个实数表示.(2)一般规定,正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.

用弧度制来度量角,实际上是在角的集合与实数集之间建立了一种一一对应的关系:每一个角都有惟一确定的一个实数(即这个角的弧度数)与它相对应,反之,每一实数也都有惟一的一个角与它相对应.其对应关系如图3-6所示.正角零角负角正数零负数图3-6角的弧度数与实数之间的对应关系解解例9设飞轮半径r=1.5m,每分钟转300转,求:飞轮每秒钟的转数;飞轮圆周上一质点每秒钟所经过的圆心角的弧度数;飞轮圆周上一质点每秒钟所经过的圆弧长.解习题思考题：1.正角、负角、零角是如何规定的，任意角的含义是什么？2.如何利用平面直角坐标系研究角？3.终边相同的角一定相等吗？相等的角一定终边相同吗？终边相同的角有多少？4.角度制、弧度制、密位制、纳米是如何规定的？答案答案答案答案课堂练习题：2.填空：度弧度答案答案单击左键显示结果第二节任意角的三角函数一、任意角三角函数

在中学我们已经学习了锐角的三角函数，下面将其推广到任意角的情形.图3-7平面直角坐标系内任意角的位置示意(a)(b)(c)(d)

根据三角函数的定义可知,三角函数可以看成以角为自变量的函数.当角用弧度制来度量时,由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,所以,三角函数可以看作以实数为自变量的函数,其定义域见表3-2.表3-2三角函数的定义域三角函数

定义域三角函数

定义域解所以解解表3-3常见特殊角的三角函数值0解二、终边相同角的三角函数解解三、任意角三角函数值的符号

为了便于记忆，现将各三角函数值在各象限的符号用图概括如下（图3-9）.图3-9三角函数值在各象限内的符号解解习题思考题：1.任意角三角函数是由角终边上点的坐标来定义的，是哪六个三角函数？这六个比值只与什么因素有关？2.什么是象限角？什么是界限角？3.在同一平面直角坐标系中，你能将任意角三角函数符号写出来吗？答案答案答案课堂练习题：答案答案答案第三节同角三角函数的关系

根据三角函数的定义,我们可以得到下列同角三角函数间的基本关系式(又称三角函数的基本恒等式).一、同角三角函数间关系

1.倒数关系二、公式应用举例所以(！在运用平方关系时,三角函数的正负号应由角所在的象限来确定,若不能确定,要进行讨论.)解

解

(!本例告诉我们,当不能确定角所在象限时,应分情况讨论.)解解则(!在三角恒等式的证明中,一般采用“切、割化弦”的方法.)左边=右边.证明证明=右边左边=证法一证法二

（！证明三角恒等式的方法有很多种，具体问题应做具体分析，灵活运用各种关系式，采用适当证明方法.）证法三上式显然成立，且以上推证与步骤均可逆，故本题得证.习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答案答案答案第四节诱导公式

一、单位圆及正、余弦函数在单位圆上的表示法二、诱导公式

根据正弦、余弦函数在单位圆上的表示法及同角三角函数的关系得：(a)(c)(d)(b)从而得到负角三角函数的简化公式为:解[！利用了终边相同的三角函数简化公式（3-2）及负角三角函数的简化公式（3-3）.]解原式=所以有:解(a)(b)(c)(d)解解原式=解解原式=解左边=(!由于本节公式比较多，容易混淆，建议在学习中，理解、对比记忆.)(a)(b)(c)(d)

根据正弦、余弦在单位圆上的表示法及同角三角函数之间的关系，得：解解解解证明习题思考题：课堂练习题：1.什么叫单位圆？2.诱导公式的作用是什么？4.应用诱导公式时的思路是什么？答案答案答案答案答案单击左键显示答案答案答案第五节三角函数的图像和性质一、正弦函数的图像和性质000.500.8710.870.500-0.50-0.87-1-0.87-0.500表3-4部分正弦函数值图3-15正弦曲线二、五点作图法三、余弦函数的图像和性质表3-5部分余弦函数值010.870.500-0.500.87-1-0.87-0.5000.500.8710010-1010121010-101-1010-1四、正弦型曲线0020-200060-60五、正切函数的图像和性质0-1.7-1-0.58-0.2700.270.5811.7六、余切函数的图像和性质习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答案答案参考答案思考题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答