垂径定理 一等奖

24.1垂径定理

实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．活动一如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：

AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ

重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．即ＡＥ＝ＢＥCD⊥ABＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒若直径ＣＤ平分弦ＡＢ(不是直径),又有哪些线段，弧相等?CD与AB的位置关系如何?③AE=BE,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,由①CD是直径③AE=BE⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得ＤＣＡＢＥＯ几何语言表达垂径定理：推论：通常情况下的图为：oBMAoMA∵OM⊥AB于M∴AM=BM1:弦的垂直平分线经过

2:已知一无圆心的圆，怎样确定他的圆心呢？1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中

此题用到的知识点是：垂径定理与勾股定理；此题用到的线段有：弦，弦心距，半径2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴矩形ADOE为正方形.例3:半径为５的圆中，有两条平行弦AB和CD，并且AB=６,CD=８，求AB和CD间的距离..EF.EFDABCO(2)ABDC(1)O做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.4.如图,已知⊙O的半径为6cm,弦AB与半径OA的夹角为30°,求弦AB的长.OAOCABM5.如图,已知⊙O的半径为6cm,弦AB与半径OC互相平分,交点为M,求弦AB的长.630°EB6:如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.●OCDEF┗7..如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥拱的跨度AB=16米，则拱高为

米。AB·CD4O8.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.ED┌

600CD9.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAO600ø650DCED┌

600CDE课堂小结:

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=BAMCON5㎝1㎝或9㎝64Cm达标测评5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．ＡＢＣＯＤＥ谢谢！再见！不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.努力吧同学们！

某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2m